现代控制理论1

继续退出,第五章状态反馈与状态观测器,目录5.1状态反馈与输出反馈5.2单输入单输出状态反馈系统的极点配置法5.3状态重构问题5.4观测器的极点配置,引言,一般u依赖于系统的实际响应。形式为：u=-kx+v状态反馈控制（2）u=-Fy+v输出反馈控制（3）其中：k为pn常阵，状态反馈矩阵。F为pq常阵，输出反馈矩阵。v参考输入向量。,二性能指标的类型性能指标非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达到或好于期望指标就算实现了综合目标。优化型性能指标：是一类极值型指标，综合的目的是要使性能指标在所有可能值中取为极小（或极大）值。,常用非优化型性能指标：（1）以渐近稳定性为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题。（2）以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题为极点配置问题。系统运动的形态，即动态性能（如超调量、过渡过程）主要由极点的位置所决定。（3）以使系统的输出y无静差地跟踪一个外部信号作为性能指标，相应的综合问题为跟踪问题。,（4）以使一个多输入多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。优化型性能指标:常取一个相对于状态x和控制u的二次型积分性能指标，其形式为：,三研究综合问题的思路1建立可综合的条件：建立相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，使相应的控制存在，并实现综合目标所应满足的条件。2建立起相应的用以综合控制规律的算法。利用这些算法，对满足可综合条件的问题，确定出满足要求的控制规律，即确定出相应的状态反馈和输出反馈矩阵。,5.1状态反馈与输出反馈,一、反馈的两种基本形式状态反馈输出反馈1、状态反馈（方块图如右）受控系统：线性反馈规律：通过状态反馈构成闭环系统,一般D=0，可化简为：闭环传递函数矩阵为：2、输出反馈方块图：一般(D=0)，引入线性反馈规律：通过输出反馈构成的闭环系统,闭环传递函数矩阵：或二、对两种反馈形式的讨论1）两种形式反馈的重要特点是，反馈的引入并不增加新的状态变量，即闭环系统和开环系统具有相同的阶数。2）状态反馈的引入能保持原系统的能控性，但不一定保持原系统的能观测性，而输出反馈既能保持原系统的能控性，又能保持能观测性。3）在工程实现时，两种形式反馈各有其局限性。实现状态反馈基本前提是状态变量必须是物理上可量测的。输出反馈基本形式不能满足任意给定的动态性能指标要求，如稳定性的要求。,三、反馈形式的改进形1、带有观测器的状态反馈系统设法由输出y和控制v把系统的状态x构造出来，以实现状态反馈。方块图：,是X的重构状态，阶数小于等于X的阶数。闭环系统阶数为与X阶数之和。2、带有补偿器的输出反馈系统方块图：闭环系统阶数为受控系统与补偿器阶数之和。补偿器阶数3的复杂系统或多输入系统的极点配置时，由于K中的未知参数较多，这时可采用一种较简便的方法：先选K矩阵中某几个参数，使闭环系统特征矩阵A-BK变为能控规范型，再用特征值不变性原理方法，确定K中的其余参数，以满足希望极点的要求。（4）补充的算法。,三、极点配置的方法问题,举例:例1：给定受控系统，其传递函数为综合指标为输出超调量超调时间,u,v,y,+,-,X,图1,L,K,系统频宽；跟踪误差试用极点配置进行综合。解:（1）确定受控系统的能控规范形（2）确定希望极点希望极点n=3，选其中一对主导极点，另一个为,远极点，并且认为系统性能主要是由主导极点决定的，远极点只有微小的影响。根据二阶系统关系式，选定出主导极点式中：为此二阶系统的阻尼比和自振频率。1）,2）由，得3）由，和已选得与2）式中结果比较，取,远极点应选使得它与原点的距离远大于，现取因此（3）确定状态反馈矩阵K受控系统特征方程希望特征多项式,状态反馈矩阵：（4）确定输入放大系数L对应闭环传递函数为由要求跟踪阶跃信号的误差，有,再用对跟踪速度信号的误差要求来验证（5）画出对应能控规范形闭环系统方块图,对应规范形状态方程,闭环系统方块图:,6）确定对应图1的状态空间方程将图1的受控系统方块图表示成下图所示的形式,按上图列状态空间方程：,7）确定非奇异变换矩阵若作变换，就可建立起给定的和能控规范型之间的关系式,求,方法1：,方法2：,8）确定图3形式的受控系统的状态反馈矩阵,9）画出相应于图3形式的受控系统的闭环方块图,-12,-6,96.1,-291.8,10000,6582.4,u,+,+,+,-,+,+,例2：给定两输入受控系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统特征值为,解：（1）判断极点配置的条件Qk=BABA2B=rankQk=4，因此系统具有完全能控性，可任意配置极点。,（2）设K=则有：BK=，A-BK=（3）选择参数使A-BK具有能控规范型，先求出k1，k2，k3，k4。（4）再利用特征值不变性原理求出k5，k6，k7，k8。已知,5.3状态重构问题,一、状态观测器的基本思想(Luenberger伦伯格)1、状态重构的必要性2、状态重构的可能性状态重构问题：能否从系统的可量测参量，如输入u和输出y来重新构造一个状态，使之在一定的指标下和系统的真实状态X等价。状态重构在满足一定条件下是可行的。因为:如果,那么根据输出y的测量，可以唯一地确定出系统的初始状态，而系统任意时刻的状态所以只要满足一定的条件，即可从可测量y和u中把x间接重构出来。3、等价性指标构造动态系统原系统构造动态系统与原系统在结构与参数上相同,其解：原系统初始状态重构状态的初始状态如，必有完全等价。但实际很难，一般因而不能完全等价。但只要系统稳定，即A特征值均具有负实部，就可做到是稳态等价的，即4、观测器的结构形式上述并未完全解决状态重构的问题，因系统状态是不能直接量测，因此很难判断是否逼近X。另一方面不一定能,因而我们得到了状态观测器的一般结构形式：,保证A的特征值均具有负实部，为此我们用对输出量间的差值,的测量来代替对的测量，而且当时有,这样构成的重构状态方程为：,修正项,结构图1：重构系统是原系统的可量测变量u和y为输入的一个n维线性定常系统修正项。结构图2:改进结构形式,C,C,用表示真实状态和估计状态间的误差。所应满足的动态方程为上式表明，不管初始误差为多大，只要使矩阵（A-GC）的特征值均具有负实部，那么一定可做到即实现状态的渐近重构。二、观测器的定义1、定义：设线性定常系统的状态X是不能直接量测的，如果动态系统的输入u和输出y作为它的输入量；,的输出满足如下的等价性能指标则称动态系统的状态观测器。2、构成系统观测器的原则1）观测器以原系统的输入和输出作为其输入。2）为了满足等价性指标，原系统应当是完全能观测的，或者x中不能观测的部分是渐近稳定的。3）的输出应有足够快的速度逼近X，这就要求有足够宽的频带。4）在结构上应尽可能地简单，即具有尽可能低的维数。三、观测器存在的充要条件,定理：线性定常系统不能观测的部分是渐近稳定的（充要条件）。证明：因不完全能观测，故可实行结构分解，状态方程具有如下形式：式中：为能观测状态；为不能观测部分；为的能观测部分。构造如下动态系统：,可通过适当地选择G1,可是的特征值均具有负实部对第二部分,由此导出：,满足等价指标，而等价于A22的特征值均具有负实部，即的不能观测部分是渐近稳定的。,5.4观测器的极点配置,1、定理：线性定常系统，其观测器可以任意配置极点，即具有任意逼近速度的充分必要条件是为完全能观测。反馈阵为：2、方法给定被估计系统设为能观测，再对所要设计的观测器指定一组期望极点则设计观测器的步骤为：,证明略！,方法一、1）导出对偶系统2）利用极点配置算法，对矩阵对来确定使的反馈增益阵K。3）取4）计算（A-GC)，则所要设计的系统状态观测器就为而即为X的估计状态。方法二、1）化一般形式为能观测规范形，变换矩阵为T。2）确定规范形所对应的反馈矩阵,3）确定给定系统状态方程的反馈矩阵4）系统状态观测器为例：设线性定常系统的状态方程和输出方程为试设计一个状态观测器，要求将其极点配置在解：方法一1）导出对偶系统,2）确定反馈增益阵K,3),方法二、1）化系统状态方程为能观测规范形,能观测规范形,2）确定规范形所对应的反馈矩阵3）确定系统状态方程的反馈矩阵G4)系统观测器方程,例2：设计带观测器的状态反馈系统系统的传函为,动态方程为,其中：,要求设计状态反馈阵，使闭环系统的特征值s1,2=-7.07j7.07假设状态x1,x2不可量测，试设计一个状态观测器,s1,2=-50。,解：系统是完全能控的、能观测的，故A-BK的特征值可以配置，并可由输入u和输入y构造一个观测器。1）设计状态反馈阵K设K=k2,k1闭环系统的特征多项式为,带状态反馈的闭环系统的特征多项式为：,两个特征多项式的对应项相等,2)设计观测器设,由极点配置要求，可得相应的闭环系统的特征多项式为：,观测器的特征多项式为：,两个特征多项式的对应项相等,故观测器方程为,带观测器的状态反馈系统如图所示:,100,5,0.0914,2025,2025,95,95,1,y,u,V,+,+,+,+,+,+,-,-,-,-,注意:（1）为了使系统有较好的动态特性，被观测状态的初始值必须调整得尽可能接近实际状态的初始值。（2）观测器的特征值必须远大于系统的特征值，这样可使由初始状态的误差引起的观测器的响应能够很快衰减至零。,MATLAB在时域设计方法中的应用,一、能控性、能观测性的分析MATLAB提供了许多用来分析控制系统模型属性的函数，例如常用的可控性（ctrb)、可观测性(obsv)和可控、可观测的格来姆(Gram)矩阵。用法：（1）gram(),dgram()其可控、可观测的格来姆(Gram)矩阵。Gc=gram(A,B,c)Gc=dgram(A,B,c)Go=gram(A,B,o)Gc=dgram(A,B,o)（2）ctrb(),obsv()求系统的可控性和可观测性。Ac=ctrb(A,B)Ao=obsv(A,C)rank(Ac)或rank(Ao)例：一线性系统如下所示：当分别取-1，0，1时，判断系统的可控性和可观测性，并求出相应的状态方程。,程序如下面的M文件所示：CANDO.M%判断系统在不同参数下的可控性和可观测性foralpha=-101alphanum=1alpha;den=1-15140;A,B,C,D=tf2ss(num,den)Ac=ctrb(A,B);Gc=gram(A,B,c);rAc=rank(Ac);Ao=obsv(A,C);Go=gram(A,B,o);rAo=rank(Ao)end二、极点配置设计方法方法：假定期望的闭环系统极点为，i=1,2,n，则原系统的开环特征方程和闭环系统的特征方程分别可以写成如下形式：,若原系统可控，则状态反馈向量K可由下式求出：,例：系统的开环状态方程如下：,执行下面的M文件：CharA=poly(A);%计算CharN=conv(1,1,conv(1,2,1,3);%计算ii=length(CharA):-1:2;diffA=CharN(ii)-CharA(ii);%计算C=A2*BA*BB;L=100;CharA(2)10;CharA(3）CharA(2)1;K=diffA*inv(L)*inv(C),容易验证，本系统是状态完全可控的，并且原系统有不稳定极点，用极点配置方法，将闭环极点配置到-1，-2，-3。,MATLAB控制工具箱中还提供了极点配置函数place()和acker()，其调用格式是相同的。如下所示：K=place(A,B,p)K=acker(A,B,p)其中p是指定极点的位置列向量，调用这两个函数可以直接得到与前面相同的结果，如下所示：p=-1,-2,-3;K=place(A,B,p);