第八讲 模糊数学简介

模糊数学简介,模糊数学(Fuzzymathematics,弗晰数学)是解决模糊性问题的数学分支.这里所谓的“模糊”是相对于“明晰”而言的,而所谓的“明晰”即非此即彼.明晰数学数学的基础是经典集合论:一个元素a,要么属于集合A,要么要么属于A的余集,二者必居其一.但是并非所有的现象和概念都象经典集合论这样“明晰”,有许多概念没有明确的界限,特别是在人类的思维与语言中，例如:高矮、胖瘦、美丑等.模糊数学的出现与计算机智能模拟密切相关.,1965年,美国加利福尼亚大学自动控制专家L.A.Zadeh第一次提出了模糊性问题,从不同于经典数学的角度,研究数学的基础集合论,给出了模糊概念的定量表示方法,发表了著名的论文“模糊集合”(Fuzzysets).这篇论文的问世,标志着模糊数学的诞生.随着研究的深入,模糊数学的内容日益丰富,其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技术的很多领域,取得了很多重要成果,例如:模糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测等.,L.A.Zadeh是美国工程科学院院士,1921年2月出生在前苏联的阿塞拜疆,1942年毕业于伊朗的德黑兰大学,1949年获美国哥伦比亚大学电机工程博士学位,现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授,曾多次在一些大学和公司做访问研究,其中包括MIT和IBM实验室.他的著名论文L.A.Zadeh,Fuzzysets,Informationandcontrol,1965,8(3):338-353.,第一章模糊集合,1.1经典集合,经典集合的元素彼此相异,即无重复性,并且边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA),二者必居其一.集合A的特征函数：,集合的表示法：(1)枚举法；(2)描述法，A=x|P(x).AB若xA，则xB；AB若xB，则xA；A=BAB且AB.集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集,记为2A.并集AB=x|xA或xB；交集AB=x|xA且xB；设全集是X,AX,余集Ac=x|xX,xA.,集合的运算规律幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：(AB)C=(AC)(BC);(AB)C=(AC)(BC);,0-1律：AX=X，AX=A；A=A，A=；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；排中律：AAc=X，AAc=,其中X为全集，为空集.,集合运算的特征函数表示,这里表示取大运算,表示取小运算.,集合的笛卡儿积：XY=(x,y)|xX,yY.映射f:XY,二元关系XY的子集R称为从X到Y的二元关系,特别地，当X=Y时，称之为X上的二元关系.二元关系简称为关系.若(x,y)R,则称x与y有关系，记为R(x,y)=1；若(x,y)R,则称x与y没有关系，记为R(x,y)=0.映射R:XY0,1实际上是XY的子集R上的特征函数.,关系的矩阵表示法,设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,yn,R为从X到Y的二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)mn，则R为布尔矩阵(Boolematrix)，称为R的关系矩阵.布尔矩阵是元素只取0或1的矩阵.,关系的合成,设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1R2是X到Z上的一个关系.,(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY,关系合成的矩阵表示法,设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn,且X到Y的关系R1=(aik)ms，Y到Z的关系R2=(bkj)sn，则X到Z的关系可表示为矩阵形式：R1R2=(cij)mn，其中cij=(aikbkj)|1ks,R1R2称为矩阵的布尔乘积.,例设X=1,2,3,4,Y=2,3,4,Z=1,2,3,R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,R1=(x,y)|x+y=6,=(2,4),(3,3),(4,2),R2=(y,z)|yz=1,=(2,1),(3,2),(4,3),则R1与R2的合成,R1R2=(x,z)|x+z=5,=(2,3),(3,2),(4,1).,等价关系：设R为X上的关系,如果满足(1)自反性：X中的任何元素都与自己有关系，即R(x,x)=1；(2)对称性：对X中的两个元素x,y,若x与y有关系,则y与x有关系,即若R(x,y)=1，则R(y,x)=1；(3)传递性：对于X中的三个元素x,y,z，若x与y有关系，y与z有关系，则x与z有关系，即若R(x,y)=1,R(y,z)=1，则R(x,z)=1.则称R为X上的等价关系.,设R为X上的等价关系.如果(x,y)R,即x与y有关系R,则记为xy.集合上的等价类设R是X上的等价关系，xX.定义x的等价类：xR=y|yX,yx.集合的分类设X是非空集合，Xi是X的非空子集族，若Xi=X，且XiXj=(ij)，则称集合族Xi是集合X的一个分类.,(1)对任意xX，xR非空；(2)对任意x,yX，若x与y没有关系R，则xRyR=；(3)X=xXxR.,定理集合X上的等价关系R可以确定X的一个分类.即,证明:(1)由于R具有自反性，所以xxR,即xR非空.(2)假设xRyR,取zxRyR，则z与x有关系R，z与y也有关系R.由于R具有对称性，所以x与z有关系R，z与y也有关系R.又由于R具有传递性，x与y也有关系R.这与题设矛盾.(3)显然.,1.2模糊集合及其运算,模糊集合与隶属函数,设X是全集(或论域)，称映射A：X0,1确定了一个X中的模糊子集A，A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,模糊集合的表示,设X是全集，A(x)是模糊集合A的隶属函数.如果X是有限集合或可数集合,则将模糊集合A表示为,如果X是无限不可数集合,则将模糊集合A表示为,X中的所有模糊子集记为F(X),显然F(X)2X.,例设论域X=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：cm)表示人的身高，如果X中模糊集合A=“高个子”的隶属函数A(x)定义为,则A表示为,例设论域X=0,100表示年龄的集合，X中模糊集合A=“年老”和B=“年轻”的隶属函数可分别定义为,A=“年老”,B=“年轻”,例设X中元素是各种单连通凸区域x,以光滑的封闭曲线为边界,用l表示边界的周长,S表示区域的面积,模糊集合A=“圆的程度”,可定义A的隶属函数为,常用的隶属函数(1)S型函数(偏大型隶属函数),(2)Z型函数(偏小型隶属函数),(3)型函数(中间型隶属函数),模糊子集的运算,相等：A=BA(x)=B(x)；包含：ABA(x)B(x)；并：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).,例设论域X=x1,x2,x3,x4,x5(商品集),在X中定义两个模糊集:A=“商品质量好”,B=“商品质量差”,并设,则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不差”.,可见AcB,BcA.并且,模糊子集的运算性质除了排中律以外与经典集合的运算性质一致,即AAc=X，AAc=不一定成立.模糊子集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.,设A是论域X中一个模糊集合,01,称集合,1.3模糊集的分解定理,A=x|A(x),为A的水平集(或截集).,模糊集A的水平集A是一个经典集合,由论域中隶属度不小于的元素构成.显然,A0=X.,(1)ABAB；(2)AA；(3)(AB)=AB，(AB)=AB.,水平集的性质设A,B是两个模糊子集,0,1,于是,模糊集的分解定理设A是一个模糊子集,则即A(x)=|0,1，xA.,证明因为,所以,注模糊集的分解定理给出了模糊集合与经典集合之间的关系.,1.4模糊矩阵,若0rij1，则称矩阵R=(rij)mn为模糊矩阵.显然布尔矩阵是模糊矩阵的特殊形式.当模糊方阵R=(rij)nn的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.,设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵.A=Baij=bij；ABaijbij；AB=(aijbij)mn；AB=(aijbij)mn；Ac=(1-aij)mn.有限论域中的模糊集合可以表示为模糊矩阵.,模糊矩阵的并、交、余运算性质,幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：AO=A，AO=O；AE=E，AE=A；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(AB)c=AcBc,(AB)c=AcBc.,模糊矩阵的乘积,设A=(aik)ms，B=(bkj)sn，定义模糊矩阵A与B的乘积为：AB=(cij)mn，其中cij=(aikbkj)|1ks.,模糊方阵的幂若A为n阶方阵,定义A2=AA,A3=A2A，Ak=Ak-1A.,(AB)C=A(BC)；AkAl=Ak+l，(Am)n=Amn；A(BC)=(AB)(AC)；(BC)A=(BA)(CA)；OA=AO=O，IA=AI=A；AB，CDACBD.,模糊矩阵乘积运算的性质,注：乘积运算关于的分配律不成立，即(AB)C(AC)(BC),模糊矩阵的转置,设A=(aij)mn,称AT=(aijT)nm为A的转置矩阵，其中aijT=aji.,转置运算的性质,(AT)T=A；(AB)T=ATBT，(AB)T=ATBT；(AB)T=BTAT；(An)T=(AT)n；(Ac)T=(AT)c；ABATBT.,模糊矩阵的截矩阵,设A=(aij)mn,对任意的0,1，称A=(aij()mn,为模糊矩阵A的截矩阵,其中当aij时，aij()=1；当aij时，aij()=0.显然,A的截矩阵为布尔矩阵.,ABAB；(AB)=AB，(AB)=AB；(AB)=AB；(AT)=(A)T.,设A=(aij)ms,B=(bij)sn,AB=C=(cij)mn,cij()=1cij(aikbkj),存在k,(aikbkj)存在k,aik,bkj存在k,aik()=bkj()=1(aik()bkj()=1;,cij()=0cij(aikbkj),k,(aikbkj)k,aik或bkjk,aik()=0或bkj()=0(aik()bkj()=0.,所以,cij()=(aik()bkj().,证明(AB)=AB,1.5模糊关系,设论域X，Y，XY的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系.模糊子集R的隶属函数为映射R:XY0,1.并称隶属度R(x,y)为(x,y)关于模糊关系R的相关程度.特别地，当X=Y时，称之为X上各元素之间的模糊关系.,模糊关系的运算,由于模糊关系R就是XY的一个模糊子集,因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.设R,R1,R2均为从X到Y的模糊关系.,相等：R1=R2R1(x,y)=R2(x,y)；包含：R1R2R1(x,y)R2(x,y)；并：R1R2的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；交：R1R2的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；余：Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).,(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度,(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度,Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.,模糊关系的矩阵表示,对于有限论域X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn,则X到Y模糊关系R可用mn阶模糊矩阵表示，即R=(rij)mn，其中rij=R(xi,yj)0,1表示(xi,yj)关于模糊关系R的相关程度.,如果R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi与yj之间要么有关系(rij=1),要么没有关系(rij=0).,设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的复合R1R2是X到Z上的一个关系:(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY.当论域为有限时,模糊关系的合成可表示为模糊矩阵的乘积.,模糊关系的合成,设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn,且X到Y的模糊关系R1=(aik)ms,Y到Z的模糊关系R2=(bkj)sn,则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的乘积：R1R2=(cij)mn，其中cij=(aikbkj)|1ks.在有限论域情况下,模糊关系合成的性质就是模糊矩阵乘积运算的性质.值得注意的是模糊关系合成关于的分配律不成立.,模糊等价关系,若X上的模糊关系R满足：(1)自反性:R(x,x)=1,即IR(rii=1);(2)对称性:R(x,y)=R(y,x),即RT=R(rij=rji);(3)传递性:R2R,即R2R.则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,当论域X=x1,x2,xn为有限时,X上的一个模糊等价关系的矩阵R称为模糊等价矩阵,即R是主对角线元素是1的对称矩阵,且,R2R(rikrkj)|1knrij).,定理1若R具有自反性(IR)和传递性(R2R),则R2=R.证明IR,RRRR2R2=R.定理2若R是模糊等价矩阵,则对任意0,1，R是等价的Boole矩阵.,证明(1)自反性：IR0,1,IR0,1,IR；(2)对称性：RT=R(RT)=R(R)T=R;(3)传递性：R2R(R2)R(R)2R.,定理3若R是模糊等价矩阵,则对任意的01,R所决定的分类中的每一个类是R决定的分类中的某个类的子类.,证明对于论域X=x1,x2,xn，若xi,xj按R分在一类，则有rij()=1rijrijrij()=1，即若xi,xj按R也分在一类.所以，R所决定的分类中的每一个类是R决定的分类中的某个类的子类.,模糊相似关系,若X上模糊关系R满足：(1)自反性:R(x,x)=1,即IR(rii=1);(2)对称性:R(x,y)=R(y,x),即RT=R(rij=rji).则称R是X的一个模糊相似关系.当论域X=x1,x2,xn为有限时,X上的一个模糊相似关系的矩阵R称为模糊相似矩阵，即R是主对角线元素是1的对称矩阵.,定理4若R是模糊相似矩阵,则对任意的正整数k,Rk也是模糊相似矩阵.定理5若R是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小正整数k(kn),对于一切大于k的正整数l,恒有Rl=Rk,即Rk是模糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称Rk为R的传递闭包,记作t(R)=Rk.上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.,1.6模糊映射与模糊变换,设论域X,Y.映射f:XF(Y)称为从X到Y的模糊映射.例如X=x1,x2,Y=y1,y2,y3,那么下面的f和g都是从X到Y的模糊映射.,X到Y的一个模糊映射f可唯一确定X到Y的一个模糊关系Rf;X到Y的一个模糊关系R可唯一确定X到Y的一个模糊映射fR.有时在不发生混淆的情况下,不区分模糊关系和模糊影射.,若映射T将X的一个模糊子集A映射到Y的一个模糊子集B,则称映射T为从X到Y的模糊变换.若模糊变换T满足(1)T(AB)=T(A)T(B),(2)T(A)=T(A),则称T为模糊线性变换.设X=x1,x2,xn,Y=y1,y2,ym,则对任意的X到Y的模糊关系R都可以确定X到Y的模糊线性变换TR(A)=AR.模糊变换的意义是论域的转换.,例设X=x1,x2,x3,x4,x5,Y=y1,y2,y3,y4,X到Y的模糊关系R为,如果A=x1,x2,如果于是,TR(B)=(0.5,0.6,0.9,1,0)R=(0.6,1,0.4,0.5),TR(A)=(1,1,0,0,0)R=(1,0.3,0,1),于是,第一章完,第二章模糊决策,2.1模糊集中意见决策,为了对论域X=x1,x2,xn中的元素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分别对X中的元素排序,得到m种意见：V=v1,v2,vm,其中vi是第i种意见序列,即X中的元素的某一个排序.,若xj在第i种意见vi中排第k位,设第k位的权重为ak，则令Bi(xj)=ak(nk)，称,若xj在第i种意见vi中排第k位,则令Bi(xj)=nk,称,为xj的Borda数.论域X的所有元素可按Borda数的大小排序.,为xj的加权Borda数.,例设X=a,b,c,d,e,f,|M|=m=4人,v1:a,c,d,b,e,f;v2:e,b,c,a,f,d;v3:a,b,c,e,d,f;v4:c,a,b,d,e,f.,B(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按Borda数集中后的排序为：a,c,b,d,e,f.,例设6名运动员X=x1,x2,x3,x4,x5,x6参加五项全能比赛,他们每项比赛的成绩如下：200mx1,x2,x4,x3,x6,x5；1500mx2,x3,x6,x5,x4,x1；跳远x1,x2,x4,x3,x5,x6；掷铁饼x1,x2,x3,x4,x6,x5；掷标枪x1,x2,x4,x5,x6,x3.,B(x1)=5+0+5+5+5=20;B(x2)=4+5+4+4+4=21;B(x3)=2+4+2+3+0=11;B(x4)=3+1+3+2+3=12;B(x5)=0+2+1+0+2=5;B(x6)=1+3+0+1+1=6.按Borda数集中后的排序为：x2,x1,x4,x3,x6,x5.,B(x1)=7,B(x2)=5.75,B(x3)=1.98,B(x4)=1.91,B(x5)=0.51,B(x6)=0.75.按加权Borda数集中后的排序为：x1,x2,x3,x4,x6,x5,如果考虑加权Borda数排序,设权重为,设论域X=x1,x2,xn为n个被选方案,在n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化,然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.在xi与xj作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求rij满足rii=1；0rij1；当ij时,rij+rji=1.,2.2模糊二元对比决策,这样的rij组成的矩阵R=(rij)nn称为模糊优先矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.,模糊二元对比决策的方法与步骤,建立模糊优先关系:两两进行比较，建立模糊优先矩阵.,排序方法：隶属函数法对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X中模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.,通常采用的方法取小法：A(xi)=rij|1jn,i=1,2,n;平均法：A(xi)=(ri1+ri2+rin)/n,i=1,2,n.,截矩阵法对阈值0,1,给出截矩阵R=(rij()nn.当由1逐渐减小时,若R中第k行首次出现元素全等于1时,则取xk为第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取第二优先对象,如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.,下确界法先求模糊优先矩阵R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk为第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,再以此类推.,2.3模糊综合评判决策,对一个事物的评价或评估,常常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事物,这就是综合评判.模糊综合评判决策的数学模型设X=x1,x2,xn为n种因素(或指标),V=v1,v2,vm为m种评判(或等级).由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,可用权重A=(a1,a2,an)来描述,它是,论域X的一个模糊子集.对于每一个因素xi,单独作出的一个评判f(xi),可看作是X到V的一个模糊映射f,由f可诱导出X到V的一个模糊关系Rf,由Rf可诱导出X到V的一个模糊线性变换TR(A)=AR=B,它是评判集V的一个模糊子集,即为综合评判.(X,V,R)构成模糊综合评判决策模型,X,V,R是此模型的三个要素.,模糊综合评判决策的方法与步骤,建立因