函数的平均变化率

第一章导数及其应用,1.1导数,1.1.1函数的平均变化率,学习目标,1、函数的平均变化率的概念2、会求函数在指定区间的变化率。,微积分主要与四类问题的处理相关:,一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。,导言：,1、例子引入:,假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系。A是出发点，H是山顶。爬山路线用函数y=f(x)表示。,H,自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度。想想看，如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及陡峭程度呢？,某旅游者从A点爬到B点，假设这段山路是平直的。设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)，自变量x的改变量为x1x0，记作x，函数值的改变量为y1y0，记作y，即x=x1x0，y=y1y0，,假设向量对x轴的倾斜角为，直线AB的斜率为k，容易看出,于是此人从点A爬到点B的位移可以用向量来表示，,显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。,现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？,一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。例如，山坡DE可近似的看作线段DE，再用对平直山坡AB分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。,注意各小段的是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。,函数平均变化率的概念：,一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x=x1x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).,则当x0时，商称作函数y=f(x)在区间x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均变化率。,进一步理解：1.式子中x、y的值可正、可负，但的x值不能为0，y的值可以为0；2.若函数f(x)为常函数时，y=0；3.变式:,例1求函数y=x2在区间x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均变化率。,解：函数y=x2在区间x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均变化率为,由上式可以看出，当x0取定值时，x取不同的值，函数的平均变化率不同，当x取定值，x0取不同的值时，该函数的平均变化率也不一样。例如，x0取正值，并不断增大时，该函数的平均变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。,思考,例2求函数在区间x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均变化率(x00，且x0+x0).,解：函数的平均变化率为,练习题,1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的改变量为（）Af(x0+x)Bf(x0)+xCf(x0)xDf(x0+x)f(x0),D,2.一质点运动的方程为s=12t2，则在一段时间1，2内的平均速度为（）A4B8C6D6,C,3.将半径为R的球加热，若球的半径增加R，则球的表面积增加S等于（）ABCD,B,4.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+x,2+y)，则为（）ABCD,C,5已知函数f(x)=x2+x的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1+x,2+y),则,3x,函数平均变化率的概念：,一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x=x1x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x