北京交通大学概率论课件第一章

概率论与数理统计,（面向工科各专业）,教材概率论与数理统计北京交通大学概率统计课程组编科学出版社参考书1.概率论与数理统计（盛聚等编4版高教出版社）2.概率论与数理统计教程（茆诗松等编高教出版社）主讲人：张作泉教授博导（北京交通大学理学院）zqzhang,1.考试内容：本学期第一次考核内容为第一章和第二章，第二次考核内容为第三章、第四章和第五章，第三次考核为期末考试，考核全部内容，即前六章。2.期末最终成绩构成：两次月考各占10%，共占20%，作业与考勤占20%（其中，三次随机点名不到或者严重违纪者取消考试资格；旷课一次扣3-5分;作业一次不交扣2分，扣完为止），期末占60%。,学期考核,本课程ABC,国内有关经典著作,国外有关经典著作,概率(或然率或几率)随机事件出现,的可能性的量度其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B.帕,斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方,法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理,分配赌注问题”(即得分问题).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的数学分支学科.,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,策和行动提供依据和建议的数学分支学科.,论；使概率论成为数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,它们都以随机现象的统计规律为研究对象.,数理统计与概率论是两个有密切联系的学科,但在研究问题的方法上有很大区别：,概率论已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;,数理统计通过对实验数据的统计分析,寻找所服从的分布和数字特征,从而推断整体的规律性.,数理统计的核心问题由样本推断总体,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中.例如,1.气象、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2.产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,6.探讨太阳黑子的变化规律时,时间,可夫过程来描述;,7.研究化学反应的时变率，要以马尔,序列分析方法非常有用;,4.电子系统的设计,火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,3.寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,5.处理通信问题,需要研究信息论；,水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到的知,装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、,8.生物学中研究群体的增长问题时，,提出了生灭型随机模型，传染病流行问,题要用到多变量非线性生灭过程,9.许多服务系统，如电话通信、船舶,识就是排队论.,E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数.,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学试验，也包括对事物的某一特征的观察。其典型的例子有：,1随机试验（randomexperiment）,第一章概率与随机事件,返回主目录,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况。,E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。,E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E5：记录寻呼台一昼夜接到的呼唤次数。E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,返回主目录,随机试验,这些试验具有以下特点：,可以在相同的条件下重复进行；,每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；,我们把满足以上三个特点的试验称为随机试验。,第一章概率与随机事件,一样本空间二随机事件,P(2)取了n次都未取出黑球的概率,则,第一章,条件概率,返回主目录,解：,第一章,条件概率,返回主目录,由乘法公式，我们有,三、全概率公式和贝叶斯公式,S,B1,B2,Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,定义设S为试验E的样本空间，为E的一组事件。若满足(1)(2)则称为样本空间S的一个划分。,第一章,返回主目录,全概率公式：,设随机事件,满足：,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式的证明,由条件：,得,而且由,B1,B2,Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,S,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式的证明（续）,所以由概率的可列可加性，得,代入公式（1），得,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式的证明思路总结：,用样本空间的划分,B1,B2,Bn,.,AB1,AB2,.,ABn,S,第一章,返回主目录,1、划整为零：,2、用乘法公式计算每部分的概率：,全概率公式和贝叶斯公式,全概率公式的使用,我们把事件A看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则要计算结果A发生的概率就用全概率公式,第一章,返回主目录,（已知原因，求结果）,全概率公式和贝叶斯公式,常用的全概率公式有,第一章,返回主目录,是样本空间S的一个划分。,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,返回主目录,如果试验分两个步骤，每一步骤都有随机性。,全概率公式和贝叶斯公式,每一原因对结果的影响程度,例6某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,第一章,返回主目录,分析：试验分两个步骤.,全概率公式和贝叶斯公式,例6某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,第一章,返回主目录,解：,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,返回主目录,一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名,又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32,由全概率公式，有,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,返回主目录,思考：,今随机选一人参加比赛,结果射中了目标，求该选手是一级选手的概率,前面的问题:今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,全概率公式和贝叶斯公式,Bayes（逆概）公式：,设随机事件,满足,全概率公式,条件概率,乘法定理,则,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,Bayes公式的使用,我们把事件A看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件A已经发生，要求此时是由第n个原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章,返回主目录,验前概率,验后概率,（已知结果，求原因）,全概率公式和贝叶斯公式,Bayes公式的使用,如果已知事件A已经发生，要求此时是由第n个原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章,返回主目录,（已知结果，求原因）,全概率公式和贝叶斯公式,例7用某种方法普查肝癌，设：A=用此方法判断被检查者患有肝癌，D=被检查者确实患有肝癌，已知,2）已知现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,第一章,返回主目录,（结果）,（原因）,1）求用此方法判断被检查者患有肝癌的概率；,今随机选一人用此方法做肝癌检查.,全概率公式和贝叶斯公式,2）已知现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,第一章,返回主目录,（结果:A）,（原因:）,1）求用此方法判断被检查者患有肝癌的概率；,分析：今随机选一人用此方法做肝癌检查.,全概率公式和贝叶斯公式,指试验分两个步骤：第一步随机选一人，选到的人可能是真正患有肝癌，也可能是不患有肝癌；第二步用此方法判断被检查者患有肝癌。,例7（续）,解由已知，得,第一章,返回主目录,1）由全概率公式，有,全概率公式和贝叶斯公式,例7（续）,第一章,返回主目录,2）由Bayes公式，得,全概率公式和贝叶斯公式,例8某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂次品率提供晶体管的份额10.020.1520.010.8030.030.05,S,B1,B2,B3,A,第一章,全概率公式和贝叶斯公式,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。,解：设A=“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)=“取到的产品是由第i家工厂提供的”,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,（结果）,（原因）,元件制造厂次品率提供晶体管的份额10.020.1520.010.8030.030.05,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,元件制造厂10.020.1520.010.8030.030.05,A,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,例8（续）,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率；（3）已知第一次取到的零件是一等品，求它是第一箱的零件的概率；,例9,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,第一章,解：设Ai表示“第i次取到一等品”(i=1,2)，,返回主目录,Bi(i=1,2)表示“取到的是第i箱中的产品”,全概率公式和贝叶斯公式,例9（续）,1）由全概率公式，有,第一章,（结果）,（原因）,例9（续）,返回主目录,2）由全概率公式和条件概率公式，有,第一章,例9（续）,返回主目录,3）由贝叶斯公式，有,第一章,例10袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率。,第一章,返回主目录,*,解：设A=取出的球全是白球,全概率公式和贝叶斯公式,则由Bayes公式，得,第一章,返回主目录,例10（续）,全概率公式和贝叶斯公式,例11对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,机器调整得良好产品合格机器发生某一故障,第一章,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,解：,第一章,返回主目录,作业：,全概率公式和贝叶斯公式,1-6四.事件的独立性,第一章,独立性,返回主目录,解决如下问题:在什么条件下,P(AB)=P(A)P(B).,例1,袋中有a只黑球，b只白球每次从中取出一球，取后放回令：A=第一次取出白球，B=第二次取出白球，求,第一章,独立性,返回主目录,例1（续）,第一章,独立性,返回主目录,说明,由例1,可知,这表明，事件A是否发生对事件B是否发生在概率上是没有影响的，即事件A与B呈现出某种独立性事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变,由此，我们引出事件独立性的概念,第一章,独立性,返回主目录,或,1.两事件独立的定义,设A、B是两个随机事件，如果,则称A与B是相互独立的随机事件,两事件独立性的性质：,则事件A与B相互独立的,第一章,独立性,返回主目录,充分必要条件为：,1）如果,第一章,独立性,故“A与B相互独立”，指A是否发生不影响B发生的概率。,第一章,独立性,2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；不可能事件与任意随机事件A相互独立,可知必然事件S与任意事件A相互独立；,可知不可能事件与任意随机事件A相互独立.,由,证明：由,3)若随机事件A与B相互独立，则,也相互独立.,解：为方便起见，只证,相互独立.,第一章,独立性,返回主目录,第一章,独立性,返回主目录,注意1：两事件相互独立与互不相容的区别：“A与B互不相容”，指两事件不能同时发生(A与B没有公共样本点),即AB=,或P（AB）=0。“A与B相互独立”，指A是否发生不影响B发生的概率，即P（AB）=P（A）P（B）或,注意2：,设事件A与B满足：,即：1)若事件A与B相互独立，则AB；,2)若AB=，则事件A与B不相互独立。,证明：,第一章,独立性,返回主目录,则互不相容与相互独立不能同时成立。,2)由于AB=，所以,但是，由题设,这表明，事件A与B不相互独立,第一章,独立性,因此，互不相容与相互独立不能同时成立。,返回主目录,由上面的讨论我们注意到下面的结论：,第一章,独立性,返回主目录,注意3：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。,例1（不独立事件的例子）,袋中有a只黑球，b只白球每次从中取出一球，取后不放回令：A=第一次取出白球，B=第二次取出白球，则,所以，,第一章,独立性,返回主目录,第一章,独立性,返回主目录,因此,这表明，事件A与事件B不相互独立事实上，由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比例也发生变化了，这样，在第二次摸出白球的概率自然也应发生变化或者说，第一次的摸球结果对第二次摸球肯定是有影响的,第一章,独立性,返回主目录,2、三个事件的独立性,设A、B、C是三个随机事件，如果,则称A、B、C是相互独立的随机事件,第一章,独立性,返回主目录,注意4：A,B,C三个事件相互独立,必有A,B,C三个事件两两独立;反之,不一定.,注意5：,在三个事件相互独立的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立不能推出第四个等式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立,第一章,独立性,返回主目录,例2(1),袋中装有4个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色现从袋中任意取出一球，令：A=取出的球涂有红色B=取出的球涂有白色C=取出的球涂有黑色则：A,B,C两两独立，但不相互独立。,第一章,独立性,返回主目录,由此可见,但是,这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的,第一章,独立性,返回主目录,例2(2),记A=1，2，3，4，B=4，5，6，C=3，4，5,第一章,独立性,返回主目录,现掷一枚均匀的骰子，,观察出现的点数。,则：,但,第一章,独立性,返回主目录,注意6三个事件相互独立的性质：若A，B，C是相互独立的三个事件，则,3、n个事件的相互独立性,第一章,独立性,返回主目录,说明,在上面的公式中，,第一章,返回主目录,注意7独立随机事件的性质：,独立性,第一章,返回主目录,独立性,加法公式的推广,第一章,返回主目录,若是相互独立的事件，则,相互独立事件至少发生其一的概率的计算,第一章,返回主目录,独立性,注意8,第一章,返回主目录,独立性,第一章,返回主目录,独立性,例5要验收一批(100件)乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地