微分方程省级精品课程

,第七篇微分方程,第九章常微分方程函数是客观事物的内部联系在数量关系上的反映，利用函数关系，可以对客观事物的规律性加以研究。如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义。而在许多实际问题中，往往不能直接找出函数关系，而根据问题提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。未知函数是一元函数时就称为常微分方程。,1常微分方程的基本概念1引例例1一曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M（x,y）处的切线斜率为2x，求此曲线的方程。解：根据导数的几何意义，可知所求曲线y=y(x),应满足方程此外，未知函数y=y(x)还满足当x=1时，y=2。对（1）式积分，得，其中c为任意常数。再把条件x=1,y=2代入上式，就得c=1。,故所求曲线方程为，例1求初速度为零，初始位移为零的匀加速度为a的直线方程。解：设其运动方程为s=s(t),根据加速度的物理意义知,它满足条件对上式两边积分，得，再积分一次得，故所求运动方程为,1微分方程的基本概念由上面两个例子可以抽象出微分方程的基本概念，微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式。微分方程的阶：方程中未知函数最高阶导数的阶数。常微分方程：一元未知函数的微分方程。偏微分方程：未知函数为多元函数的微分方程。N阶微分方程的一般形式：,特别地，一阶微分方程形如或者，微分形式表达M(x,y)dx+N(x,y)dy=0微分方程的解：如果一个函数，代入微分方程后，使方程变成一个恒等式，则称次函数为该方程的解。,通解：若微分方程的解中含有与方程阶数相同个数的相互独立的任意常数，这样的解称为微分方程的通解。定解条件：为了确定微分方程的一个特定的解，通常已知这个解所必须满足的条件，这些条件称为定解条件。特解：根据定解条件确定了任意常数后所得的解称为微分方程的特解。隐式解：若解是一个隐函数，则称这个隐函数是方程的隐式解。3.求微分方程通解和特解的步骤第一步，根据题设条件，建立未知函数所满足的微分方程；第二步，求微分方程的通解；第三步，根据定解条件，确定通解中的任意常数的特定取值；第四步，写出特解。,2可分离变量方程形如的一阶微分方程方程称为可分离变量方程。,对于可分离变量方程我们可以分离变量然后直接积分获得通解，解：当y0,方程可化为直接积分得，可以验证它是微分方程的通解。,3齐次方程1齐次方程对于这类方程，可以通过如下的变量代换化为可分离变量的方程。可分离变量为,2可化齐次方程,因为0，故这样的解唯一存在,4一阶线性方程1一阶线性齐次方程其中，p(x)和q(x)为已知函数，称q(x)为方程的自由项。特别当q(x)=0时，方程其“线性”含义是方程中所含y及其导数是一次幂的。,一阶线性齐次方程属可分离变量方程，求解如下，从而得一阶线性齐次方程的通解。例1解微分方程原方程通解为：2.一阶线性非齐次方程令q(x)=0，得到它所对应的齐次方程,求解非齐次方程的常数变异法：先求出齐次方程的通解，再将任意常数c换成关于x的待定函数c(x),假定，为非齐次方程（1）的解，将它代入（1）应满足，从而得那么非齐次方程的通解为：解：此方程属于一阶线性非齐次方程,3伯努力方程此时n0,1。从而伯努力方程化为一阶线性非齐次方程然后按一阶线性非齐次方程求解。,5全微分方程1概念如一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0（1）的左边表达式是某个二元函数u=u(x,y)的全微分，则称此方程为全微分方程。2判别方法方程（1）为全微分方程的充分必要条件：3求解方法1）曲线积分法：因右边的曲线积分与路径无关，所以，因为du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,所以，u(x,y)=C为方程的通解。,例1解方程(4x+2y)dx+(2x-6y)dy=0.解:M(x,y)=4x+2y,N(x,y)=2x-6y故方程为全微分方程,取故原方程的通解为,2)直接积分法:上式两端直接积分,可得,再由所以通解为,凑微分法例2解方程解:将等式左边进行分组组合故方程通解为:,6可降阶的高阶微分方程1.可直接积分求解的高阶方程例如在方程两端接连积分三次可得通解一般的,对形如的N阶微分方程可接连积分N次得通解.2.两种可降阶的高阶微分方程类型1)不显含未知函数型令则方程可降为N-k阶方程,特别地,二阶微分方程(不显含未知函数y)令则方程化为一阶方程例1解方程解:令则原方程化为分离变量直接积分得通解:,类型2)不显含自变量型令视z为y的未知函数,则方程变为n-1阶的方程:特别的,不显含自变量的二阶微分方程令则代入原方程变为设其通解为分离变量积分的原方程通解,例2解方程解:令原方程化为由得是原方程的一解由即为一阶线性齐次微分方程得从而分离变量直接积分得通解,7线性微分方程解的结构线性微分方程是常微分方程中的一类重要方程,它不仅理论发展完整,而且应用及其广泛。前面我们讨论了一阶线性微分方程，下面讨论高阶线性微分方程，且以二阶为例，阐述线性微分方程的理论，然后将结论推广到n阶线性微分方程。1.二阶线性齐次方程1)形似(1)2)重要性质:定理1:若函数是方程(1)的两个解,则函数是方程(1)的解.3)解的线性组合:定义1:设函数在区间I上有定义,称函数为的一个线性组合.4)解的线性相关与线性无关:定义2:设函数在区间I上有定义,如果存在一组不全为零的数使得如下等式成立,则称函数组在I上线性相关,否则称线性无关.例如,函数组在整个数轴上线性相关,而函数组在任何区间(a,b)内是线性无关的.若函数组中有一个是零函数,那么这个函数组必定线性相关.两个函数线性相关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是5)二阶线性齐次方程解的结构定理2若是齐次方程的两个线性无关的解,那么,是方程(1)的通解.(是两个相互独立的任意常数)由定理2知,求解二阶线性微分方程关键是求出它的两个线性无关的特解.如果已知方程(1)的一个非零解,就可用以下方法求得另一个与它线性无关的解.,定理3如果是方程(1)的一个非零特解,则是方程(1)的与线性无关的特解.例1已知是方程的解,试求此方程的通解.解:由定理3,故通解2.二阶线性非齐次方程1)形式(2)其中f(x)称为方程(2)的自由项.当时,(2)称为二阶线性非齐次方程.2)解的结构定理4设是方程(1)的通解,是方程(2)的一特解,则非齐次方程(2)的通解为3)求非齐次方程特解的常数变异法假定非齐次方程(2)所对应的齐次方程(1)的通解是则设非齐次方程(2)的一个特解代入非齐次方程(2),可确定出待定函数例2求微分方程的通解解:首先观察到sinx,cosx是对应齐次方程的两个线性无关的特解.故齐次方程的通解为现设原方程的一个特解为令那么,将代入原方程整理得,联立方程可解得积分得于是通解为4)非齐次线性方程解的叠加原理定理5设有非齐次方程若分别是方程的特解,则是原方程的一个特解.,前面所论二阶线性微分方程解的结构定理可平行推广到n阶线性微分方程.8常系数线性微分方程1.二阶常系数线性齐次方程1)形式(1)(其中,p,q为实数)2)解法:可证明函数是方程(1)的解的充分必要条件是是特征方程的根.将求解线性齐次方程的特解转化为求解它的特征方程的根,由它的根来确定它的两个线性无关的解.第一步:写出(1)的特征方程为第二步:求出特征根,根据特征根的三种情况,对应的写出两个线性无关的特解.当特征方程有两个不相等的实根,对应两个线性无关的特解,则方程(1)的通解当特征方程有两个相等的实根,对应两个线性无关的特解为,方程通解为,当特征方程有共轭复根,对应两个线性无关的解是,方程通解为:例求解下列方程的通解(1)(2)(3)解:(1)特征方程特征根通解:(2)特征方程特征根通解(3)特征方程特征根,通解2.N阶常系数线性齐次方程1)形式(3)2)解法:可证明是方程(3)的解的充分必要条件是是特征方程(4)的根.定理1设是特征方程(4)的根,那么,若是单实根,则方程(3)有特解,若是r重实根,则方程(3)有特解若是单复根,则(3)有特解若是r重复根,则(3)有特解,n个根按上述方法对应的特解是线性无关的.例2求方程的通解解:特征方程对应5个根对应时的特解为对应二重共轭复根的特解是原方程通解3.二阶线性常系数非齐次方程1)形式(5)(f(x)为连续实函数)2)解法:由前面讨论可知,现只须讨论非齐次方程的特解求法.特解待定形式法:首先将自由项按如下两种形式进行讨论,类型1.,特解待定形式其中,为待定的m次多项式.例3求方程的通解解:特征方程特征根因自由项中,3不是特征根,故特解待定形式代入原方程得:7ax+7b+4a=x+2比较同次幂系数得:原方程通解为:例4写出下列二阶线性非齐次方程的特解待定形式(1),(2)(3)解:(1)特征方程特征根特解待定形式(2)特征方程特征根特解待定形式(3)特征方程特征根特解待定形式类型2.其中,为实数,记m=maxs,t其中,例4求解解:特征方程特征根特解形式将代回原方程可得特解原方程通解为:,9欧拉方程1.形式(1)(其中是常系数)2.解法:作变换,可把方程(1)化为常系数的线性微分方程.再按常系数线性微分方程求解.例解欧拉方程解:令,从而原方程化为可解得,1