电磁场理论B-3静电场及其边值问题的解法

,第3章静电场及其边值问题的解法,第3章静电场及其边值问题的解法,3.1静电场的基本方程与边界条件3.2电位及其电位方程3.3静电场的能量和导体的电容3.4静电场边值问题的分类以及唯一性定理3.5直接积分法3.6分离变量法3.7镜像法3.8静电场的数值解法,电磁场理论B,基本要求,掌握静电场的基本方程和边界条件；掌握电位的基本概念，会利用直接积分法求解简单的问题；了解分离变量法的基本概念；会利用镜像法求解平面与导体球的镜像问题。,第3章静电场及其边值问题的解法,第3章静电场及其边值问题的解法,电磁场理论B,第3章静电场及其边值问题的解法,第3章静电场及其边值问题的解法,静电场由静止电荷所产生的电场。时变电磁场的退化情形。基本方程：无磁场；场量不随时间变化。静电场边界条件也可从时变场边界条件导出。静电场边值问题=求解满足一定边界条件的微分方程。静电场边值问题的分析方法（解析方法、数值方法）可推广。,静电场的基本概念,电磁场理论B,3.1静电场的基本方程与边界条件,3.1.1静电场的基本方程,静电场基本方程的积分形式,第3章静电场及其边值问题的解法,电磁场理论B,3.1静电场的基本方程与边界条件,3.1.1静电场的基本方程,静电场基本方程的积分形式,第3章静电场及其边值问题的解法,电磁场理论B,3.1静电场的基本方程与边界条件,静电场基本方程的微分形式,第3章静电场及其边值问题的解法,3.1.1静电场的基本方程,电磁场理论B,3.1静电场的基本方程与边界条件,3.1.1静电场的基本方程,静电场基本方程的微分形式,第3章静电场及其边值问题的解法,方程（3.1.3）描述静电场的旋度特性：静电场是无旋场。电力线不闭合。方程（3.1.4）描述静电场的散度特性：静电场是有散场。电力线从正电荷（或无穷远）出发终止于负电荷（或无穷远）。,（3.1.3）,（3.1.4）,电磁场理论B,3.1静电场的基本方程与边界条件,静电场边界条件的基本概念,第3章静电场及其边值问题的解法,静电场媒质：主要有电介质（以极化现象为主的物质）和导体（以传导现象为主的物质）。电介质内部无自由电荷，而导体有大量自由电荷；在静电平衡状态，导体总电荷及其内部电场为零，电荷只能分布在导体的表面；静电场的边界条件：不同电介质的分界面、电介质与导体的分界面。,3.1.2静电场的边界条件,电磁场理论B,3.1静电场的基本方程与边界条件,第3章静电场及其边值问题的解法,3.1.2静电场的边界条件,1.不同电介质的分界面的边界条件,不同电介质的分界面上不存在自由面电荷，即,静电场中的不同电介质分界面上，电场强度的切向分量和电位移的法向分量均连续。,电磁场理论B,3.1静电场的基本方程与边界条件,第3章静电场及其边值问题的解法,3.1.2静电场的边界条件,2.导体与电介质分界面的边界条件,导体表面电场强度的切向分量等于零，即电力线总是垂直于导体表面。导体表面电位移的法向分量等于导体表面的面电荷密度。,导体内部电场为零，表面存在自由面电荷,电磁场理论B,3.1静电场的基本方程与边界条件,第3章静电场及其边值问题的解法,3.1.2静电场的边界条件,例3.1.1设静电场中有一个电介质分界面，两边介质的介电常数分别为和。已知在介质1一侧，电场强度的大小为，方向与界面正法线方向的夹角为。试求介质2一侧的电场强度的大小及其与界面正法线方向的夹角。,电磁场理论B,3.1静电场的基本方程与边界条件,第3章静电场及其边值问题的解法,3.1.2静电场的边界条件,例3.1.1设静电场中有一个电介质分界面，两边介质的介电常数分别为和。已知在界面的介质1一侧，电场强度的大小为，方向与界面正法线方向的夹角为。试求介质2一侧的电场强度的大小及其与界面正法线方向的夹角。,解：静电场折射定律,（3.1.13）,电磁场理论B,3.1静电场的基本方程与边界条件,第3章静电场及其边值问题的解法,3.1.2静电场的边界条件,例3.1.1设静电场中有一个电介质分界面，两边介质的介电常数分别为和。已知在界面的介质1一侧，电场强度的大小为，方向与界面正法线方向的夹角为。试求介质2一侧的电场强度的大小及其与界面正法线方向的夹角。,解：,容易解得,电磁场理论B,3.1静电场的基本方程与边界条件,第3章静电场及其边值问题的解法,3.1.2静电场的边界条件,静电场折射定律,（3.1.13）,在界面上电场强度的方向将会发生突变。,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,1.电位和电位差,根据场论，静电场无旋，可用一标量函数的梯度描述。,由静电场的环量定律，电场力所做功（电场沿一个开放路径的线积分）仅与路径的起、终点有关，与积分路径无关。,电位差静电场中两点之间的电位差被定义为电场力将电荷从一点移动到另外一点是，电场力对单位电荷所作的功（与路径无关）。,电磁场理论B,（3.2.4）,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,1.电位和电位差,电位将单位正电荷由某点移动至零电位点时电场力所做的功,电位与电位差一样，是一个标量，单位为伏特（）。,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,1.电位和电位差,有限的区域内不同形式电荷分布的电位,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,1.电位和电位差,有限的区域内不同形式电荷分布的电位,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,1.电位和电位差,源电荷分布区域延伸至无限远时的电位,零电位参考点不能选择在无限远处，而须选在有限远处，电位表达式应加待定常数。,点电荷体电荷,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,1.电位和电位差,等位面电位相同之点组成的空间曲面,因为每一点只对应着一个确定的电位值，所每一点必属于也仅属于一个等值面。所有的点均有等值面通过，所有的等值面均互不相交。同一个电位值可以对应几个分离的等位面。,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,1.电位和电位差,例3.2.1真空中有一圆形带电结构，如图3.2.2所示。设这个圆形带电结构分别为（1）半径为的均匀带电圆盘，其上面电荷密度为；（2）半径为的均匀带电圆环，其上的线电荷密度为，试分别计算中心垂直轴线上的电位。,圆柱坐标系中的长度元和面积元圆柱坐标系中的距离计算取无限远为参考点,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,2.电位梯度,对体电荷所产生的电位计算梯度分布可以得到,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,2.电位梯度,大小等于电位的梯度（最大的方向导数）。方向指向电位减小的方向。电力线与等位面相互垂直。电位不唯一，取决于零电位参考点。电场强度唯一，与零电位参考点无关。,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,例3.2.2设真空中的电偶极子由间距为的一对等值异号电荷和构成，试求远离该电偶极子的区域内的电位和电场。,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,例3.2.2设真空中的电偶极子由间距为的一对等值异号电荷和构成，试求远离该电偶极子的区域内的电位和电场。,解：当观察点远离电偶极子时，应用二项式展开（或平行线概念），可以近似得到,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,例3.2.2设真空中的电偶极子由间距为的一对等值异号电荷和构成，试求远离该电偶极子的区域内的电位和电场。,解：远离电偶极子处的电位和电场强度,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.1电位和电位梯度,例3.2.2设真空中的电偶极子由间距为的一对等值异号电荷和构成，试求远离该电偶极子的区域内的电位和电场。,解：远离电偶极子的区域内的电位和电场强度的分布图,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.2电位的微分方程和边界条件,1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程,电位的泊松方程和拉普拉斯方程,由两个微分形式基本方程和矢量恒等式可以得到,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.2电位的微分方程和边界条件,1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程,电位的泊松方程和拉普拉斯方程,均匀、线性和各向同性电介质中有源区电位的泊松方程,（3.2.19）,均匀、线性和各向同性电介质中无源区电位的拉普拉斯方程,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.2电位的微分方程和边界条件,1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程,电场强度的泊松方程和拉普拉斯方程,均匀、线性和各向同性电介质中有源区电场的泊松方程,（3.2.21）,均匀、线性和各向同性电介质中电荷均匀分布时电场强度的拉普拉斯方程,电磁场理论B,均匀、线性和各向同性电介质中无源区电场的拉普拉斯方程,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.2电位的微分方程和边界条件,1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程,直角坐标系中的泊松方程和拉普拉斯方程,（1.3.4）,直角坐标系中电位的泊松方程和拉普拉斯方程,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.2电位的微分方程和边界条件,1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程,直角坐标系中的泊松方程和拉普拉斯方程,（1.3.4）,直角坐标系中电场强度的泊松方程和拉普拉斯方程,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.2电位的微分方程和边界条件,1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程,圆柱坐标系中电位的泊松方程和拉普拉斯方程,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.2电位的微分方程和边界条件,1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程,球面坐标系中电位的泊松方程和拉普拉斯方程,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.2电位的微分方程和边界条件,2.电位的边界条件,电位边界条件与电场边界条件的关系,电位边界条件可由电场边界条件导出；由梯度定义得到的法向分量、切向分量与方向导数的关系,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.2电位的微分方程和边界条件,2.电位的边界条件,两种不同电介质的分界面的边界条件,由电位的定义（电场力所做的功）可知，电位连续，包括在边界上。,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.2电位的微分方程和边界条件,2.电位的边界条件,两种不同电介质的分界面的边界条件,电磁场理论B,3.2电位及其电位方程,第3章静电场及其边值问题的解法,3.2.2电位的微分方程和边界条件,2.电位的边界条件,导体表面的边界条件,导体内部不存在静电场；导体必为等位体，导体与电介质的交界面为等位面。,电磁场理论B,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.1静电场的能量和能量密度,静电场的能量基本概念,静电场是有能量分布的系统，对其中的电荷有作用力。由于产生静电场的电荷静止，所以不必考虑与运动有关的动能，只考虑与位置有关的位能。在讨论静电场的能量时，假设电荷的移动足够慢，以至动能和辐射效应可忽略。,电磁场理论B,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.1静电场的能量和能量密度,静电场的能量基本概念,点电荷电场的位能：把该点电荷从零电位的无穷远处移动到所在位置上时，外力为克服电场力所需做的功。任意形式的分布电荷：静电场所具有的能量等于建立该电场的过程中所需外力做的功。图3.3.1点电荷系统的能量,电磁场理论B,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.1静电场的能量和能量密度,点电荷系的电场的能量外力所做的总功,（3.3.1）,电场能量的单位是焦耳（）。是由除电荷本身以外的其它点电荷所产生的的电位。这里的能量仅代表相互作用的能量，即互能。没有涉及每个点电荷本身建立时所需的能量，即自能。,电磁场理论B,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.1静电场的能量和能量密度,体电荷分布的电场的能量,用电荷密度和电位表示的能量,（3.3.2）,用场量表示的能量,（3.3.3）,电磁场理论B,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.1静电场的能量和能量密度,静电场的能量密度,静电场的能量密度（线性和各向同性的介质中）,（3.3.4）,静电场的总储能能量,（3.3.5）,能量密度的单位是焦耳每立方米（）。能量密度恒大于零，也就是说，静电场能量恒为正。,电磁场理论B,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.2导体系统的电容,导体系统的电容的基本概念,电磁场理论B,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.2导体系统的电容,导体系统的电容的基本概念,由导体所组成的电容器就是利用导体的充放电来储存和释放电场能量的。电容器这种能力的大小就用电容来描述。,电磁场理论B,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.2导体系统的电容,“孤立”的带电导体的电容导体所带的电量与导体的电位之比,（3.3.6）,例如：真空中一个半径为的带电球体的电容,电磁场理论B,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.2导体系统的电容,两个带电导体的电容,电磁场理论B,令,自部分电容,互部分电容,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.2导体系统的电容,电容器的电容,电容器两个带有等值异号电荷的导体,电磁场理论B,电容器的电容仅与电容器的形状、尺寸以及周围的电介质有关，而与电容器极板上所带的电荷量的多少无关，也与两个极板间的电位差无关。它是一个大于零的正数。,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.2导体系统的电容,电容器的电容,电容器的电容与场量的关系,电磁场理论B,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.2导体系统的电容,平板电容器的电容,电磁场理论B,3.3静电场的能量和导体的电容,第3章静电场及其边值问题的解法,3.3.2导体系统的电容,常见简单电容器的电容,同轴电容器的电容和电导是指单位长度的电容和电导。,电磁场理论B,3.4静电场边值问题的分类以及唯一性定理,第3章静电场及其边值问题的解法,3.4.1静电场边值问题的分类,分布型问题和边值型问题,静电场分布型问题已知场中的电荷分布，求取场内的电场强度分布或电位分布。例如利用库仑定律或高斯定律求静电场分布。,静电场边值型问题根据已知某一给定区域内的电荷分布以及包围该区域的表面上的边界条件来求电场的问题。其中最常见的是已知两种不同媒质分界面上（主要是指导体与电介质的分界面上）的电位边界条件，通过求解电位泊松方程或拉普拉斯方程以获取电介质内的电位分布。,电磁场理论B,3.4静电场边值问题的分类以及唯一性定理,第3章静电场及其边值问题的解法,3.4.1静电场边值问题的分类,静电场的三类边值问题,（1）第一类边值问题（Dirichlet狄利赫里边值问题）已知边界上（导体表面）的电位分布,（2）第二类边值问题（Neumann诺依曼边值问题）已知的是边界上（导体表面）的电位沿法线方向的方向导数分布（即导体表面的面电荷密度分布）,电磁场理论B,3.4静电场边值问题的分类以及唯一性定理,第3章静电场及其边值问题的解法,3.4.1静电场边值问题的分类,静电场的三类边值问题,（3）第三类边值问题（混合边值问题）已知部分边界上的电位和另一部分边界上电位沿法线方向的方向导数,电磁场理论B,3.4静电场边值问题的分类以及唯一性定理,第3章静电场及其边值问题的解法,3.4.2静电场唯一性定理,静电场的唯一性定理如果带电导体的形状、尺寸和位置均已固定，则满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。,静电场的唯一性定理的证明是采用反证法，利用格林第一定理，通过以泊松方程为例来证明。证明静电场中唯一性定理的过程，完全可以推广到以后的恒定电场和恒定磁场以及时变电磁场中。,电磁场理论B,3.4静电场边值问题的分类以及唯一性定理,第3章静电场及其边值问题的解法,3.4.2静电场唯一性定理,静电场的边值问题解法,直接积分法求解一维场满足的常微分方程。分离变量法坐标曲面边界内的拉普拉斯方程。镜象法形状简单的边界及其附近的点电荷和线电荷。复变函数法二维平面场，由解析函数确定的特殊边界。数值解法有限差分法，有限元法，矩量法其它解法格林函数法,静电场边值问题的各种不同的解法都可以推广应用至一般的电磁场边值问题的分析中去。,电磁场理论B,3.5直接积分法（DirectIntegralMethod）,第3章静电场及其边值问题的解法,直接积分法的基本概念,直接积分法直接求解一维电位分布所满足的二阶常微分方程，即直接求解一维的泊松方程（有源区）或一维的拉普拉斯方程（无源区）。,可以采用直接积分法分析的电磁场问题必须满足的条件：（1）电荷分布本身是一元函数；（2）媒质分界面都是坐标曲面；（3）给定的等位面是坐标曲面。,电磁场理论B,3.5直接积分法（DirectIntegralMethod）,第3章静电场及其边值问题的解法,直接积分法的基本概念,直接积分法的解题步骤：,（1）根据题目给定的条件选定坐标系，设定各区域内的一元电位函数；（2）求解每个电位分布所满足的泊松方程或拉普拉斯方程得到电位函数的通解；（每个函数带有两个待定常数）（3）利用边界条件以及特殊的定解条件（有界、零电位、对称性）确定待定常数得到各区域内的电位分布，从而得到其它得物理量（电场、能量、电容）。,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的直接积分法实例,例3.5.1已知在两块相互平行的导体极板之间充满着介电常数为的电介质和均匀分布着体电荷密度为的电荷，极板之间的距离远小于极板平面的尺寸，极板之间的电压为，如图3.5.1所示。试求极板之间的电位和电场强度。,解：忽略边缘效应，近似认为板间电位仅与坐标有关，它应满足下列泊松方程，即,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的直接积分法实例,例3.5.1已知在两块相互平行的导体极板之间充满着介电常数为的电介质和均匀分布着体电荷密度为的电荷，极板之间的距离远小于极板平面的尺寸，极板之间的电压为，如图3.5.1所示。试求极板之间的电位和电场强度。,解：将上式直接积分，得出电位的通解表示式为,式中，和为积分常数，它可以通过边界条件来确定，即,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的直接积分法实例,例3.5.1已知在两块相互平行的导体极板之间充满着介电常数为的电介质和均匀分布着体电荷密度为的电荷，极板之间的距离远小于极板平面的尺寸，极板之间的电压为，如图3.5.1所示。试求极板之间的电位和电场强度。,解：求得极板平面之间的电位和电场强度分别为,注意：该两块平板不是所谓的电容器，不能定义电容。,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,圆柱坐标系中的直接积分法实例,例3.5.2设有一根长直的同轴电缆，内外导体的半径分别为和（），它们之间填充了介电常数为的电介质，其截面如图3.5.2所示。已知内外导体之间的电压为，试求内外导体之间的电位和电场强度分布以及单位长度电缆的电容。,解：由于内外导体之间的电位仅随坐标而变化，即内外导体之间的电位应满足一维的拉普拉斯方程,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,圆柱坐标系中的直接积分法实例,解：对上式直接积分，得出通解表示式为,积分常数和可以通过下面的边界条件来确定,例3.5.2设有一根长直的同轴电缆，内外导体的半径分别为和（），它们之间填充了介电常数为的电介质，其截面如图3.5.2所示。已知内外导体之间的电压为，试求内外导体之间的电位和电场强度分布以及单位长度电缆的电容。,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,圆柱坐标系中的直接积分法实例,解：对上式直接积分，得出通解表示式为,积分常数和可以通过下面的边界条件来确定,例3.5.2设有一根长直的同轴电缆，内外导体的半径分别为和（），它们之间填充了介电常数为的电介质，其截面如图3.5.2所示。已知内外导体之间的电压为，试求内外导体之间的电位和电场强度分布以及单位长度电缆的电容。,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,圆柱坐标系中的直接积分法实例,解：求出内外导体之间的电位及其电场强度分布分别为,例3.5.2设有一根长直的同轴电缆，内外导体的半径分别为和（），它们之间填充了介电常数为的电介质，其截面如图3.5.2所示。已知内外导体之间的电压为，试求内外导体之间的电位和电场强度分布以及单位长度电缆的电容。,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,圆柱坐标系中的直接积分法实例,解：内导体的表面的电荷密度为,例3.5.2设有一根长直的同轴电缆，内外导体的半径分别为和（），它们之间填充了介电常数为的电介质，其截面如图3.5.2所示。已知内外导体之间的电压为，试求内外导体之间的电位和电场强度分布以及单位长度电缆的电容。,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,圆柱坐标系中的直接积分法实例,解：单位长度同轴电缆的电容为,例3.5.2设有一根长直的同轴电缆，内外导体的半径分别为和（），它们之间填充了介电常数为的电介质，其截面如图3.5.2所示。已知内外导体之间的电压为，试求内外导体之间的电位和电场强度分布以及单位长度电缆的电容。,电容器的电容总是为正。,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,球面坐标系中的直接积分法实例,解：设球内的电位和电场强度分别表示为和，球外的电位和电场强度分别表示为和，它们均仅为坐标的函数。和分别满足一维的泊松方程和拉普拉斯方程，即,例3.5.3有一半径为的球体，均匀分布着密度为的体电荷。设球内外介质的介电常数分别为和，试求球内外的电位和电场强度分布。,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,球面坐标系中的直接积分法实例,例3.5.3有一半径为的球体，均匀分布着密度为的体电荷。设球内外介质的介电常数分别为和，试求球内外的电位和电场强度分布。,解：将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为,在球体表面上，依不同介质的分界面上的边界条件有,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,球面坐标系中的直接积分法实例,例3.5.3有一半径为的球体，均匀分布着密度为的体电荷。设球内外介质的介电常数分别为和，试求球内外的电位和电场强度分布。,解：除此以外还有另外两个定解条件,前一个条件是由设定无限远为零电位参考点得到。后一个条件可以借助积分形式的高斯定律直接求出。,和,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,球面坐标系中的直接积分法实例,例3.5.3有一半径为的球体，均匀分布着密度为的体电荷。设球内外介质的介电常数分别为和，试求球内外的电位和电场强度分布。,解：将四个定解条件代入电位的通解表达式，联立解得四个积分常数为,电磁场理论B,3.5直接积分法,第3章静电场及其边值问题的解法,球面坐标系中的直接积分法实例,例3.5.3有一半径为的球体，均匀分布着密度为的体电荷。设球内外介质的介电常数分别为和，试求球内外的电位和电场强度分布。,解：最终得出球内外的电位和电场强度分布分别为,电磁场理论B,3.6分离变量法（MethodofSeparationofVariables）,第3章静电场及其边值问题的解法,分离变量法的基本概念,分离变量法将待求的多变量的未知函数分离成多个单变量的函数后分别进行求解。,电磁场理论B,3.6分离变量法（MethodofSeparationofVariables）,第3章静电场及其边值问题的解法,分离变量法的基本概念,分离变量法将待求的多变量的未知函数分离成多个单变量的函数后分别进行求解。,分离变量法的解题步骤三个步骤,（1）选定坐标系，分离变量，找出含有分离常数和积分常数的通解；（共性问题要求）（2）由边界条件确定分离常数以及解的具体形式；（特定问题不讲）（3）利用调和函数的正交性定出积分常数，得到问题的特解。（数学问题不讲）,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,令代入拉普拉斯方程得,直角坐标系中的通解直角坐标系中的变量分离,左边的每一项仅与一个坐标变量有关，要使其成立，每一项必然与任何坐标变量都无关，即均为常数。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,如果令,直角坐标系中的通解直角坐标系中的变量分离,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的通解直角坐标系中的变量分离,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,直角坐标系中的分离方程,（3.6.7）,分离常数可以是实数、虚数或零，可以是一切实数，即大于零、小于零或等于零；,不能同时大于零或小于零，即不能同号；,如果是二维场（），必有。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的通解直角坐标系中的变量分离,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,分离函数的解：,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的通解直角坐标系中的变量分离,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,分离函数的解：,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的通解直角坐标系中的变量分离,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,分离函数的解：,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的通解直角坐标系中的变量分离,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,关于通解的说明：,通解包含了三种函数形式，即线性函数、三角函数和指数函数（或双曲函数）。通解只是满足了直角坐标系中边值问题所满足的微分方程，即拉普拉斯方程。通解对所有能够采用直角坐标系中的分离变量法求解的边值问题都是适用的。边值问题的解还必须满足特定的边界条件，只有在通解中满足边界条件的函数才是该特定边值问题的解。分离变量法最重要的就是确定既能满足拉普拉斯方程又能满足边界条件的函数形式。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中通解的选择,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,选择通解中的函数形式的几个原则：,（1）通解中的分离常数可以取各种不同的数值。在三维空间中，三个分离常数中只有两个是独立的，第三个由分离方程所确定。如果是二维场，只有一个独立的分离常数；（2）不能同时大于零或小于零，即不能同号。所以静电场的三个分离函数的通解不可能同为三角函数和同为指数函数（或双曲函数）。对于二维场，一个分离函数是三角函数，另一个必为指数函数（或双曲函数）。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中通解的选择,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,选择通解中的函数形式的几个原则：,（3）满足边界条件的分离常数不止一个。当分离常数为离散值，解是所有的分离常数所对应的解的和，即级数形式；当分离常数为连续值，解是一个积分。（4）分离常数是利用给定的边界条件，根据三角函数、线性函数和双曲函数的函数性质来确定；例如，三角函数具有两个以上的函数或导函数的零点，双曲函数在无穷远处趋于无限大等等。函数选择的合适将会给求解带来方便。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中二维静电场边值问题通解的选择,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,两种典型的二维问题的边界面,无限长的矩形区域和无限长的半无限深的矩形区域,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中二维静电场边值问题通解的选择,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,二维场的基本问题沿着某一个坐标方向的两个边界上场的边界条件为齐次（函数或导函数为零）的二维场。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中二维静电场边值问题通解的选择,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,二维场的基本问题通解的形式,（1）沿方向的两个边界上具有齐次的边界条件,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中二维静电场边值问题通解的选择,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,二维场的基本问题通解的形式,（2）沿方向的两个边界上具有齐次的边界条件,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中二维静电场边值问题通解的选择,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,二维场的基本问题通解的形式,例如：,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中二维静电场边值问题通解的选择,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,二维场边值问题的分解,利用场的叠加性，可以将任意的二维场分解成若干个二维基本问题的场的叠加。（有时还要加上一个线性项）由于分解的方式不止一种，所以最后得到的解的形式也是不一样的。但是根据解的唯一性，它们都是原问题的解。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中二维静电场边值问题解的确定,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,由边界条件确定解的具体形式的两个步骤：,（1）代入相关的齐次边界条件确定分离常数和部分待定常数。由于分离常数通常不止一个，所以将会得到级数形式的解，其中级数的每一项的系数还是未定的；（2）代入非齐次的边界条件，利用三角函数的正交性确定级数中每一项的待定系数，得到问题的最终解。也可以直接利用确定傅立叶级数系数的公式来确定级数的系数。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的分离变量法的实例,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,例3.6.1有一只长直的金属槽，其横截面如图3.6.1所示。上方的盖板与槽壁有无限小的间隙以使之相互绝缘，盖板的电位为，槽壁电位为零。试求该槽内的电位分布。,解：这是一个二维场的基本问题。由于在槽内场沿着轴方向将出现两个电位零点，即电位沿着轴方向必为三角函数，通解应选择成下列形式：,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的分离变量法的实例,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,例3.6.1有一只长直的金属槽，其横截面如图3.6.1所示。上方的盖板与槽壁有无限小的间隙以使之相互绝缘，盖板的电位为，槽壁电位为零。试求该槽内的电位分布。,解：该边值问题的解为,级数的每一项都独立地满足三个齐次的边界条件，而级数求和后满足第四个非齐次的边界条件。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的分离变量法的实例,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,解：利用数值计算，可以画出该导体槽内的电位分布。其中实线代表等位面，而虚线代表的是电力线。,例3.6.1有一只长直的金属槽，其横截面如图3.6.1所示。上方的盖板与槽壁有无限小的间隙以使之相互绝缘，盖板的电位为，槽壁电位为零。试求该槽内的电位分布。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的分离变量法的实例,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,根据场的叠加性求解边值问题的一个例子,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的分离变量法的实例,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,根据场的叠加性求解边值问题的一个例子,第一个边值问题的解已经求过了（例题3.6.1）。第二个边值问题的解可以按照类似的过程求得，也可以利用坐标转换和平移的方法由第一个边值问题的解直接写出来。（）,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的分离变量法的实例,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,根据场的叠加性求解边值问题的一个例子,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的分离变量法的实例,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,根据场的叠加性求解边值问题的另一个例子,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的分离变量法的实例,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,根据场的叠加性求解边值问题的另一个例子,第一个边值问题的解与平板电容器的解是一样的。第二个边值问题的由于沿着方向场域是无限的，所以解取指数函数而不是双曲函数。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的分离变量法的实例,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,根据场的叠加性求解边值问题的另一个例子,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的三维边值问题的分离变量法的实例,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,例3.6.2有一长方形金属盒子，如图3.6.5所示。在除顶面以外的五个矩形表面上，电位均为零；顶面与其它表面绝缘，其上电位为常数。试求盒内电位分布。,解：这是一个三维边值问题的基本问题，其通解为,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,直角坐标系中的三维边值问题的分离变量法的实例,3.6.1直角坐标系中的分离变量法,例3.6.2有一长方形金属盒子，如图3.6.5所示。在除顶面以外的五个矩形表面上，电位均为零；顶面与其它表面绝缘，其上电位为常数。试求盒内电位分布。,解：利用三角函数的正交性得到最后的解为,级数的每一项满足齐次的边界条件，而级数的和满足非齐次的边界条件。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,圆柱坐标系中的通解圆柱坐标系中的变量分离,3.6.2圆柱坐标系中的分离变量法,令，得到三个微分方程,圆柱坐标系的分离变量法只有两个分离常数，它们都是独立的，不需要满足分离方程。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,圆柱坐标系中的通解圆柱坐标系中的变量分离,3.6.2圆柱坐标系中的分离变量法,圆柱坐标系中的三个分离方程的常用解,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,球面坐标系中三个分离函数所满足的三个微分方程,3.6.3球面坐标系中的分离变量法,方程（3.6.54）称为欧拉（Euler）方程，它的解为幂函数；方程（3.6.53）称为勒让德（Legendre）方程，它的解为勒让德函数；方程（3.6.54）的解类似于直角坐标系。,电磁场理论B,3.6分离变量法,第3章静电场及其边值问题的解法,球面坐标系中的常用的通解,3.6.3球面坐标系中的分离变量法,和分别称为第一类和第二类阶次连带勒让德函数。,电磁场理论B,3.7镜像法（MethodofImages）,第3章静电场及其边值问题的解法,镜像法的基本概念,导体附近的点电荷与照镜子,电磁场理论B,3.7镜像法（MethodofImages）,第3章静电场及其边值问题的解法,镜像法的基本概念,照镜子时，对观察者而言人镜子人像（无镜子）采用镜像法时，对场点而言电荷导体面电荷镜像电荷（无导体面）,导体附近的点电荷与照镜子,电磁场理论B,3.7镜像法（MethodofImages）,第3章静电场及其边值问题的解法,镜像法的基本概念,镜像法用镜像电荷代替导体面或介质面的影响，利用原电荷和镜像电荷来求解场分布。,当电荷附近存在着形状比较特殊的导体面或介质面（无限大平面、无限长圆柱面、球面等）时，可以采用镜像法。镜像法的关键是要确定镜像电荷的位置、大小和符号，使场量原来所满足的方程及其边界条件保持不变。若能做到这一点，则根据静电场唯一性定理，用镜像法所求出的解就成为所要求的场的唯一解。镜像电荷实际上并不存在，它只是导体表面的感应电荷或者是介质表面的极化电荷的一种等效。镜像电荷不能出现在所求的场的区域。,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷大小相等、极性相反，位置以平面为对称。,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,无限大导体平面上方的点电荷所产生的电位和电场,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,（3.7.3）,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,无限大导体平面上的电荷密度和总电荷,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,（3.7.6）,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,无限大导体平面上方的点电荷所产生场的分布图,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,几点说明：,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,镜像电荷实际上并不存在，它只是导体表面的感应电荷的一种等效。等效性仅仅在导体平面的上方才存在；在下半空间，这种等效性是不存在的。（下半空间电场为零）,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,几点说明：,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,严格地说，只有当导电平面为无限大时，镜像电荷才与原电荷等值异号，并位于原电荷的镜像位置上。对于有限的导体平面，利用镜像法得到的只是近似结果。实际中，只要导电平面的面积足够大，满足一定的条件，都可以按无限大导体平面处理。此外，如果导电面是曲率半径足够大的光滑曲面（地球表面），也可以利用镜像法求解。,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的应用,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,（1）线电荷与无限大导体平面的镜像法,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的应用,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,（1）线电荷与无限大导体平面的镜像法,上半空间的电位分布,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的应用,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,（1）线电荷与无限大导体平面的镜像法,上半空间的电位分布,若将零电位参考点取在导体平面上，即，则有,其中,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的应用,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,思考：线电荷不是无限长？线电荷与导体平面不平行？面电荷？体电荷？不止一个点电荷？导体平板？导体平板有空腔？,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的应用,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,（2）点电荷与两个半无限大相交导体平面的镜像法,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的应用,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,（2）点电荷与两个半无限大相交导体平面的镜像法,必须要有足够多的镜像电荷才能满足两个导体平面的边界条件。只有夹角满足条件时，才能利用镜像法进行求解。镜像电荷总数为个。将包括镜像电荷在内的所有电荷所产生的场叠加，就得到所要求的场。如果将点电荷换成线电荷，可以采用类似的方法求解。,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的应用,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,（2）点电荷与两个半无限大相交导体平面的镜像法,当夹角时，点电荷产生的电位分布为,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的应用,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,（2）点电荷与两个半无限大相交导体平面的镜像法,当夹角时，线电荷产生的电位分布为,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的应用,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,（3）点电荷与两个平行的无限大导体平面的镜像法,此时为了满足两个平行的导体平面的边界条件，需要无穷多的镜像点电荷。显然，最后所得到的电位分布将会是一个级数。但是，通常只需计算离场域较近的镜像电荷的影响即可。如果将点电荷换成无限长均匀线电荷，将得到无穷多的镜像线电荷。,电磁场理论B,3.7镜像法,第3章静电场及其边值问题的解法,点电荷关于无限大导体平面的镜像法的补充说明,3.7.1点电荷关于无限大导体平面的镜像法,镜像法不仅可以应用于一个点电荷与一个导体平面，而且还可以应用于多个电荷与一个导体平面或者一个电荷与多个导体平面或者多个电荷与多个导体平面的边值问题。不仅点电荷可以是任意形式的电荷分布，导体平面也可以是后面要讨论的介质平面、导体球面或圆柱面。只要能确定适当的镜像电荷