第7章 常微分方程1

第7章常微分方程的数值解法,7.1引言,一阶常微分方程初值问题是其中f(x,y)是给定的已知函数。y=y(x)是未知函数，y(x0)=y0是初值条件。Th7.1设f是在区域D=(x,y)|axb,yR上的连续函数，其中，a,bR，f对y满足Lipschitz条件，即存在常数L0，使得对任意xa,b及y1,y2R，有|f(x,y1)-f(x,y2)|L|y1-y2|则对于任意的x0a,b，y0R，初值问题（*）在a,b存在唯一的连续解。,数值解法:计算精确解y=y(x)在区间a,b上一系列离散节点ax0x1xnb处的近似值y0,y1,yn一般的对区间a,b做等距离分割，即取等距离节点xi=a+ih(i=0,1,n)，h=(b-a)/n。求解常微分方程初值问题采用的是“步进式”:从已知的y0出发（由初始条件给定），通过某一计算公式算出y1，再算出y2，依此类推。若在计算yn时仅用到数据yn-1，称这种方法为单步法；若在计算yn时，不仅用到数据yn-1，还用到数据yn-2,yn-3,yn-k+1(k2），称这种方法为多步法。,7.2简单的数值方法,7.2.1欧拉方法/*EulersMethod*/,显式Euler公式：,亦称为欧拉折线法/*Eulerspolygonalarcmethod*/,隐式Euler公式：,由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。,y1,y0,y2,x2,x1,x0,一般的，单步法可以表示为,7.2.2单步法的局部截断误差和阶,其中称为增量函数。当和yi+1无关时，（*）式称为显示单步法。当和yi+1相关时，（*）式称为隐式单步法。,整体截断误差ei=y(xi)-yi(计算复杂),在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ti=y(xi+1)yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。,定义,若某算法的局部截断误差O(hp+1)，即Ti=y(xi+1)yi+1=O(hp+1)则称该算法有p阶精度。,定义,欧拉法的局部截断误差：,Ri的主项/*leadingterm*/,欧拉法具有1阶精度。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有1阶精度。,7.2.3梯形公式/*trapezoidformula*/,思想：显、隐式两种算法的平均值。,故梯形公式是2阶隐式单步法。,梯形公式的局部截断误差,7.2.4改进Euler法/*modifiedEulersmethod*/,故梯形公式是2阶隐式单步法。,改进的Euler公式的局部截断误差,y1,y0,y2,x2,x1,x0,例1取步长h=0.1，分别用Euler法，改进的Euler法求初值问题,解：Euler法的公式为,改进的Euler公式为,精确解为,将所有结果列于下表，并绘制图形：,7.3Runge-Kutta方法,1.Runge-Kutta(龙格-库塔)法的基本思想,目的建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,斜率一定取K1K2的平均值吗？,步长一定是一个h吗？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数。,一般的，显式Runge-Kutta方法的形式为,使上式是p阶方法，求待定系数i，i，ij的步骤,将K1,K2,Km在(xi,yi)处展开成Taylor展式，余项为O(hp+1)将K1,K2,Km的展开式带入到第一个式子.为使其的局部截断误差为O(hp+1)，令hk(k=0,1,p)的系数为零，建立方程组.求解方程组，确定系数i，i，ij。,首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得,Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,Step2:将K2代入第1式，得到,2.二阶Runge-Kutta法,Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：,一般的，4阶显式Runge-Kutta方法的形式为,用和二阶一样的方法可以确定其中的系数。4阶Runge-Kutta法也有无穷多个。,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h取小。,例6-3试用Euler法、改进的Euler法及四阶经典Runge-Kutta法在不同步长下计算初值问题在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值，并比较它们的结果。解对上述三种方法,每执行一步所需计算f(x,y)=-y(1+xy)的次数分别为1、2、4。为了使计算量大致相等，上述三种方法的步长之比应为1：2：4。因此，在用Euler法、改进的Euler法及四阶经典Runge-Kutta法计算时，取步长分别取为0.05、0.1、0.2，以使三种方法的计算量大致相等。易计算的初值问题的精确解为Euler法、改进的Euler法、四阶经典Runge-Kutta法的结果及精确解见下表,3收敛性与稳定性/*ConvergencyandStability*/,收敛性/*Convergency*/,例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的x=xi=ih，有,3ConvergencyandStability,稳定性/*Stability*/,例：考察初值问题在区间0,0.5上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.00002.00004.00008.00001.60001013.2000101,1.00002.50001016.25001021.56251023.90631039.7656104,1.00002.50006.25001.56261013.90631019.7656101,1.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107,Whatiswrong?!,3ConvergencyandStability,例：隐式龙格-库塔法,而显式14阶方法的绝对稳定区域为,其中2阶方法的绝对稳定区域为,无条件稳定,