线性方程组的解的结构ppt课件

-1-,第四章,线性方程组的解的结构,4.4线性方程组在几何中的应用,4.3非齐次线性方程组解的结构,4.2齐次线性方程组解的结构,4.1线性方程组解的存在性定理,-2-,在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。,-3-,4.1线性方程组解的存在性定理,1、非齐次方程组解的存在性定理,2、齐次方程组解的存在性定理,-4-,(4-1),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),-5-,一、非齐次方程组解的存在性定理,对于非齐次方程组,(4-1),-6-,的系数行列式,Cramer法则,则方程组有唯一解,且解为:,(4-2),-7-,二、齐次方程组解的存在性定理,(4-3),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),-8-,对于齐次方程组,(1),A的列向量组线性无关,(2),A的列向量组线性相关,推论1,当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)一定有非零解.,齐次方程组解的存在性定理,-9-,有非零解,(4-4),-10-,例：,(1)如果非齐次线性方程组有惟一解，,则只有零解？,非齐次线性方程组有惟一解吗？,-11-,第四章,线性方程组的解的结构,4.4线性方程组在几何中的应用,4.3非齐次线性方程组解的结构,4.2齐次线性方程组解的结构,4.1线性方程组解的存在性定理,-12-,4.2齐次线性方程组解的结构,(2)解集的秩是多少?,(3)解集的最大无关组(又称为基础解系)如何求?,(1)解集的特点?,称：,-13-,性质1：若是(4-3)的解，,性质2：,注：,如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。,性质,推论1,而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。,首先回答问题(1),-14-,线性无关；,的任一解都可以由,线性,基础解系,表示,则称,下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题，同时也是定理4.2.1的例证。,(取任意实数),从而,也是(4-3)的解。,-15-,通过下面的例子,针对一般的方程组,回答所提问题.,第一步:对系数矩阵A初等行变换化行最简形B,从行最简形能得到什么？,-16-,第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边.右边的又叫自由变量),自由变量的个数=?,-17-,是解吗?,线性无关吗?,任一解都可由表示吗?,是基础解系吗?,基础解系所含向量的个数=?,第四步:写出基础解系,-18-,则齐次线性方程组,的基础解系存在，,且每个基础解系中含有,个解向量。,则齐次线性方程组,的任意个线性无关,的解向量均可构成基础解系。,-19-,设,证明,证,因此,移项,重要结论,-20-,设,是的,两个不同的解向量,k取任意实数,则Ax=0的通解是,-21-,且线性无关，则_是AX=O的基础解系。,(2),(3),练习,1、,-22-,2、求下列线性方程组的基础解系与通解.,-23-,证明,设,首先证明,利用这一结论,证,重要结论,第四章,线性方程组的解的结构,4.4线性方程组在几何中的应用,4.3非齐次线性方程组解的结构,4.2齐次线性方程组解的结构,4.1线性方程组解的存在性定理,-25-,4.3非齐次线性方程组解的结构,以下总假设,有解,而其对应的齐次方程组,的基础解系为,这里,-26-,性质,(2)设是(1)的解,是(2)的解,则仍是(1)的解.,设是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解x,是(2)的解,从而存在使得,又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.,由此得:,(3),注：非齐次方程组的解集不是空间。,-27-,设是(1)的任一解,则(1)的通解为,解,-28-,得齐次方程组的基础解系,于是所有通解,即得方程组的一个解,-29-,求下列线性方程组的通解.,-30-,是Ax=0的解,是Ax=b的解,-31-,设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,且,求该方程组的通解.,解,取,则它就是解,从而也是基础解系.,基础解系所含向量个数=43=1,故非齐次方程组的通解为,自学书P.144-145例2、3、5。,-32-,小结：,作业：P1421P1474,第四章,线性方程组的解的结构,4.4线性方程组在几何中的应用,4.3非齐次线性方程组解的结构,4.2齐次线性方程组解的结构,4.1线性方程组解的存在性定理,-34-,4.4线性方程组在