抽屉原理练习题.doc

抽屉原理练习题1、某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个图形能借到两本或两本以上的书？2、有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，至少要取出多少根才能保证达到要求？3、一副扑克牌（大王、小王除外）有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽几张，才能保证有四张牌是同一张花色的？4、在从1开始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。5、在任意的10人中，至少有两个人，他们在这10个人中认识的人数相等？6、一副扑克牌有54张，至少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?7、某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？8、某校五年级学生共有380人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这380个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？9、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，让你闭上眼睛去摸，（1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子？为什么？10、任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数，这是为什么？11、从任意3个整数中，一定可以找到两个。使得它们的和是一个偶数，这是为什么？12、从任意的5个整数中，一定可以找到3个数，使这3个数的和是3的倍数，这是为什么？13、从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52，这是为什么？14、在100米的路段上栽树，至少要栽多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？（两端各栽一棵）15、从110这10个数中，任取多少个数，才能保证这些数中一定能找到两个数，使其中的一个数是另一个数的倍数？16、任意取多少自然数，才能保证至少有两个自然数的差是7的倍数？17、有尺寸、规格相同的6种颜色的袜子各20只，混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证有3双袜子？18、把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋有至少分得一块饼干，那么不管怎么分，一定会有两个小朋友分得的饼干数目相同，这是为什么？19、下图中画了3行9列共27个小方格，将每一个小方格涂上红色或蓝色，请你想一想，为什么不管如何涂色，其中必定可以找到两列，它们的涂色方式相同？20、学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个同学从中任意借两本，那么至少要多少名学生一起来借书，其中才一定有两人所借的图书种类相同？21、（1）从1到100的自然数中，任取52个数，其中必有两个数的和为102.（2）从1到100的所有奇数中，任取27个不同的数，其中必有两个数的和等于102 ，请说明理由1. 某班37名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？2. 42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？3. 口袋中有红、黑、白、黄球各10个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4个颜色相同的球？4. 饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？5. 从13个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12的倍数。6. 一个班有40名同学，现在有课外书125本。把这些书分给同学，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？ 一、填空题1.一个联欢会有100人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这100人中至少有 个人的朋友数目相同.2.在明年(即1999年)出生的1000个孩子中,请你预测:(1)同在某月某日生的孩子至少有 个.(2)至少有 个孩子将来不单独过生日.3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸 次.4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取 颗.如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出 颗.5.从1,2,3,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有 对.6.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有 人的头发根数一样多.7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有 个.8.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取 张牌,才能保证其中必有3种花色.9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了 个球.10.某班有37名小学生,他们都订阅了小朋友、儿童时代、少年报中的一种或几种,那么其中至少有 名学生订的报刊种类完全相同.二、解答题11.任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10的倍数.12.在边长为1的正方形内任取51个点,求证:一定可以从中找出3点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50.13.某幼儿园有50个小朋友,现在拿出420本连环画分给他们,试证明:至少有4个小朋友分到连环画一样多(每个小朋友都要分到连环画).14.能否在88的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或2,或3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由.答 案 1. 2因为每个人至少有1个朋友,至多有99个朋友,将有1个朋友的人,2个朋友的人,99个朋友的人分成99类，在100个人中,总有两个人属于同一类,他们的朋友个数相同.2. (1)3;(2)636因为1999年有365天,故在1999年出生的孩子至少有(个)孩子的生日相同;又因为1000-(365-1)=363,即至少有363个孩子将来不单独过生日.3. 91当摸出的2个球颜色相同时,可以有4种不同的结果;当摸出的2个球颜色不同时,最多可以有3+2+1=6(种)不同结果.一共有10种不同结果.将这10种不同结果看作10个抽屉,因为要求10次摸出结果相同,故至少要摸910+1=91(次).4. 4;7将三种不同颜色看作3个抽屉,对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子,一次至少要取13+1=4(颗)珠子.对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗,一次至少要取4+(12+1)=7(颗)珠子.5. 1将112这十二个数组成这六对两数差为6的数组.任取7个数,必定有两个数差在同一组中,这一对数的差为6.6. 267将4千万人按头发的根数进行分类:0根,1根,2根,150000根共150001类.因为40000000=(266150001)+99743266150001,故至少有一类中的人数不少于266+1=267(个),即该省至少有267个人的头发根数一样多.7. 7将每10块颜色相同的木块算作一类,共3类.把这三类看作三个抽屉,而现在要保证至少有三块同色木块在同一抽屉中,那么至少要有23+1=7(块).8. 29将4种花色看作4个抽屉,为了保证取出3张同色花,那么应取尽2个抽屉由的213张牌及大、小王与一张另一种花色牌.计共取213+2+1=29(张)才行.9. 9将5个同学投进的球作为抽屉,将41个球放入抽屉中,至少有一个抽屉中放了9个球,(否则最多只能进58=40个球).10. 6订阅报刊的种类共有7种:单订一份3种,订二份3种,订三分1种.将37名学生依他们订的报刊分成7类,至少有6人属于同一类,否则最多只有66=36(人).11. 将整数的末位数字(09)分成6类:在所给的7个整数中,若存在两个数,其末位数字相同,则其差是10的倍数;若此7数末位数字不同,则它们中必有两个属于上述6类中的某一类,其和是10的倍数.ABCEFGH12. 将边长为1的正方形分成25个边条为的正方形,在51个点中,一定有(个)点属于同一个小正方形.不妨设A、B、C三点边长为的小正方形EFGH内,由于三角形ABC的面积不大于小正方形面积EFGH的,又EFGH的面积为.故三角形ABC的面积不大于.13. 考虑最极端的情况,有3个小朋友分到1本,有3个小朋友分到2本,有3个小朋友分到16本,最后两个小朋友分到17本,那么一共至少要3(1+2+3+16)+217=442(本),而442420,故一定有4个小朋友分了同样多的书.14. 注意到8行、8列及两对角线共有18条“线”,每条线上有8个数字,要使每条线上的数字和不同,也就是需要每条线上的数字和有18种以上的可能.但我们填入的数只有1、2、3三种,因此在每条线上的8个数字中,其和最小是8,最大是24,只有24-8+1=17(种).故不可能使得每行,每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等. 1，口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？2，口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？3，一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？4，一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？5，在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？五年级趣味数学抽屉原理 应用抽屉原理是解决一些数学竞赛题的一把钥匙。 什么是抽屉原理呢？抽屉原理可以这样表达：把（n+1）个物体，放进n个抽屉里去，不论怎样放法，至少有一个抽屉内的物体不少于2个。 A组： 1.有29个人都在2月份出生，其中一人说：“我的生日肯定和其他人重复。”这话对吗？ 2.某校有366名1979年出生的学生，那么是否至少有2个学生的生日是同一天的？ 3.参加数学竞赛的210名学生，能否保证有18名或18名以上的学生在同一个月出生？为什么？ 4.一个袋子里有些球，这些球除颜色不同外，其他都相同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个，某人闭着眼睛从其中取出若干个。试问他至少要取多少个球，方能保证至少有4个球颜色相同？ 5.有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？（1986年“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题） B组： 6.有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各若干个，每个人可以从中任意选择两个，那么需要几个人才能保证至少有2人选的小球颜色相同？为什么？ 7.某电影院共有1987个座位，有一天，这家电影院上、下午各演一场电影。看电影的正巧是甲、乙两所中学的各1987名师生。同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场。因此，有人推断说：“这天看电影时，肯定有的座位在上午、下午坐的是两所不同学校的师生。”你能说明这种断言正确与否吗？ 8.10名乒乓球运动员进行单循环比赛（每两个运动员之间都要赛一场而且只赛一场）。证明每天比赛结束时，一定有两名运动员，他们累积比赛的场数是相同的。 9.在我国至少有两个人出生的时间相差不会超过4秒钟。你能证明这个结论是正确的吗？ C组： 10.证明在任何6个人的聚会上，总有3个人互相认识或者3个人互相不认识。 11.老师将一批课外读物随意分给10名学生，保证每个学生至少分到1本，可以肯定在这10名学生中，一定有一些学生所得到的书的总和是10的倍数吗？为什么？ 12.从13个自然数中，一定可以找到两个，它们的差是12的倍数。 答案： A组：1.不对。因为闰年2月份有29天，29个人有可能两两生日都不相同。 2.这道题中的“1979年”是平年，一年有365天，应用抽屉原理，把365天看作365个抽屉，把366名学生看作366本书，把366本书放到365个抽屉中，至少有一个抽屉中有2本书。因此，366名学生中至少有2名学生的生日是同一天的。3.这道题问的是在210名学生中能否有18名以上的学生是同一个月出生的。应用抽屉原理，把一年的12个月看作12个抽屉，把210名学生看作210本书，如果每个抽屉里放17本书，那么共放1712=204（本），因为210204，所以一定有18本或18以上的书在同一个抽屉里。因此，参加数学竞赛的210名学生中，肯定有18名或18名以上的学生在同一个月出生。 4.3+3+3+2+112（个）。 5.在黑暗中摸筷子，如果摸8根都是同一颜色，只能保证有一双筷子。再摸2根，如果颜色不同，一样一根，也不能配成一双。这时，10根筷子共有三种颜色，再摸一根，不论是什么颜色，总可以从“一样一根”的筷子中选出一根来配成一双。所以，至少要取出11根，才能保证取出颜色不同的两双筷子。 B组：6.这道题问的是需要几个人才能保证至少有2人选的小球颜色相同，那么从红、黄、蓝、黑四种颜色的小球中任意选择两个，有几种不同的选法呢？共有10种不同的选法：（1）红+红；（2）黄+黄；（3）蓝+蓝；（4）黑+黑；（5）红+黄；（6）红+蓝；（7）红+黑；（8）黄+蓝；（9）黄+黑；（10）蓝+黑。即10个人参加选，每人选的小球颜色不相同。应用抽屉原理，把10种选法看作10个抽屉，每人任意选2个球，需要有11人，才能保证至少有2人选的小球颜色相同。7.这种说法是正确的。甲乙两校师生都是1987名，电影院的座位也恰是1987个，上、下午两场共有19872人看电影，显然上、下午都满场。 由于电影院共有1987个座位，是个奇数，且为：9932+1，因此，上午场看电影的师生中至少有一个学校的人数不少于994人，假设甲校看电影人数不少于994人，那么甲校下午看电影的人数不多于1987-994=993（人），这些学生即使全坐在上午甲校学生的座位上，也不能坐满，至少还余下一个座位，这个座位下午要坐的一定是乙校看电影的师生。8.由于比赛是单循环进行的，所以在整个比赛过程中每个运动员都要赛9场。这样在每天比赛结束时，都可以出现两种情况，一种情况是每一运动员都还没有赛9场，也就是说这9名运动员已经赛过的场数只可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8这9种。这9种可能性就是抽屉，元素是10名运动员，可见一定有两个人赛的场数是一样的。 还有一种情况，就是已经有某个运动员赛了9场，由于是单循环，不能还有运动员没有赛过。这样10名运动员赛过的场数只可能是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种。还是9个抽屉10个元素。 总之，无论是哪一种情况，一定有两个人赛的场数是一样多的。 9.首先我们要明确在我国有12亿人口，而每个人的寿命设为不超过110岁，这样我们看一看在110年里共包括多少个4秒间隔，这个数字也就是抽屉的个数，如果这个数小于12亿，那么就可以肯定有两个人出生的时间相差不超过4秒。 110年大致合4万天，一天有360024秒，这样在110年中共有3600244万秒，于是4秒间隔数为3600244万4=86400万，即八亿六千四百万。 这就是抽屉数，元素数是12亿。于是一定有两个人在同一抽屉里，也就是说，至少有两人出生时刻相差不到4秒。 C组：10.为了便于说明问题，我们在纸上取6个点A、B、C、D、E、F来代表6个人。如果两个人认识就用红线（图10-16中的实线）把代表他们的点连接起来，如果两个人互相不认识就用蓝线（图中的虚线）把代表两人的点连接起来，每两点之间都有一条红线或者蓝线连结着，这些点和线组成了若干个三角形。问题就转化了，如果有三个人互相认识（或不认识），那么以代表这三个人的三个点为顶点的三角形的三条边全是红色（或蓝色）的。考虑从A点出发的五条线。由于它们不是红色的就是蓝色的，由抽屉原理知，至少有三条边的颜色是相同的，不妨设为AB、AC及AD为红色的。 下面考虑点B、C、D之间的连线。如果三条连线中至