模糊数学第三讲2010.3.23

第3章模糊聚类分析,2.1模糊矩阵,定义1设R=(rij)mn，若0rij1，则称R为模糊矩阵.当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.当模糊方阵R=(rij)nn的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.,定义2设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，相等：A=Baij=bij；包含：ABaijbij；并：AB=(aijbij)mn；交：AB=(aijbij)mn；余：Ac=(1-aij)mn.,模糊矩阵的并、交、余运算性质,幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：AO=A，AO=O；AE=E，AE=A；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(AB)c=AcBc,(AB)c=AcBc.,模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂,设A=(aik)ms，B=(bkj)sn，定义模糊矩阵A与B的合成为：AB=(cij)mn，其中cij=(aikbkj)|1ks.,模糊方阵的幂定义：若A为n阶方阵，定义A2=AA，A3=A2A，Ak=Ak-1A.,合成()运算的性质：,性质1：(AB)C=A(BC)；性质2：AkAl=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A(BC)=(AB)(AC)；(BC)A=(BA)(CA)；性质4：OA=AO=O，IA=AI=A；性质5：AB，CDACBD.,(AB)C,(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC),模糊矩阵的转置,定义设A=(aij)mn,称AT=(aijT)nm为A的转置矩阵，其中aijT=aji.,转置运算的性质：,性质1：(AT)T=A；性质2：(AB)T=ATBT，(AB)T=ATBT；性质3：(AB)T=BTAT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：ABATBT.,模糊矩阵的-截矩阵,定义7设A=(aij)mn,对任意的0,1，称A=(aij()mn,为模糊矩阵A的-截矩阵,其中当aij时，aij()=1；当aij时，aij()=0.显然，A的-截矩阵为布尔矩阵.,对任意的0,1，有,性质1：ABAB；性质2：(AB)=AB，(AB)=AB；性质3：(AB)=AB；性质4：(AT)=(A)T.,2.2模糊关系,与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.,设有论域X，Y，XY的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系.模糊子集R的隶属函数为映射R:XY0,1.并称隶属度R(x,y)为(x,y)关于模糊关系R的相关程度.特别地，当X=Y时，称之为X上各元素之间的模糊关系.,模糊关系的运算,由于模糊关系R就是XY的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.,设R，R1，R2均为从X到Y的模糊关系.相等：R1=R2R1(x,y)=R2(x,y)；包含：R1R2R1(x,y)R2(x,y)；并：R1R2的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；交：R1R2的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；余：Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).,(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度，(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.,模糊关系的矩阵表示,对于有限论域X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，则X到Y模糊关系R可用mn阶模糊矩阵表示，即R=(rij)mn，其中rij=R(xi,yj)0,1表示(xi,yj)关于模糊关系R的相关程度.又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi与yj之间要么有关系(rij=1),要么没有关系(rij=0).,例设身高论域X=140,150,160,170,180(单位：cm),体重论域Y=40,50,60,70,80(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.,模糊关系的合成,设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1R2是X到Z上的一个关系.(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn，且X到Y的模糊关系R1=(aik)ms，Y到Z的模糊关系R2=(bkj)sn，则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R1R2=(cij)mn，其中cij=(aikbkj)|1ks.,模糊关系合成运算的性质,性质1：(AB)C=A(BC)；性质2：A(BC)=(AB)(AC)；(BC)A=(BA)(CA)；性质3：(AB)T=BTAT；性质4：AB，CDACBD.,注：(1)合成()运算关于()的分配律不成立,即(AB)C(AC)(BC)(2)这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.,设为U到U的模糊关系，对及，有：则称为模糊传递关系。,2.3模糊等价矩阵,模糊传递关系,为模糊传递关系的充要条件是：,2.3模糊等价矩阵,模糊等价关系,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)传递性：R2R,则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,当论域X=x1,x2,xn为有限时,X上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵,即R满足：,IR(rii=1),RT=R(rij=rji),R2R.,R2R(rikrkj)|1knrij).,模糊等价矩阵的基本定理,定理1若R具有自反性(IR)和传递性(R2R),则R2=R.定理2若R是模糊等价矩阵,则对任意0,1，R是等价的Boole矩阵.,0,1，ABAB；(AB)=AB；(AT)=(A)T,模糊相似关系,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称模糊关系R是X上的一个模糊相似关系.当论域X=x1,x2,xn为有限时，X上的一个模糊相似关系R就是模糊相似矩阵，即R满足：(1)自反性：IR(rii=1)；(2)对称性：RT=R(rij=rji).,模糊相似矩阵的性质,定理1若R是模糊相似矩阵，则对任意的自然数k，Rk也是模糊相似矩阵.定理2若R是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k(kn)，对于一切大于k的自然数l，恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称Rk为R的传递闭包，记作t(R)=Rk.上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.,平方法求传递闭包t(R)：RR2R4R8R16,2.4模糊聚类分析,数据标准化,设论域X=x1,x2,xn为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:xi=xi1,xi2,xim,i=1,2,n于是,得到原始数据矩阵为,平移标准差变换,其中,平移极差变换,模糊相似矩阵建立方法,相似系数法-夹角余弦法,相似系数法-相关系数法,绝对值倒数法,其中M选取合适的值，使0rij1,绝对值指数法,距离法,海明距离,欧氏距离,Boole矩阵法：,Boole矩阵法的步骤如下：,(1)通过数据标准化以及前面的相似矩阵的建立方法，建立模糊等价矩阵。(2)求模糊等价矩阵的-截矩阵R；(3)若R在某一排列下的矩阵有形如,的特殊子矩阵,则将R中上述特殊形式子矩阵的0改为1，直到在任一排列下R中不再产生上述特殊形式子矩阵为止.,经过4次复合可得到等价关系,进行分割，并分别取,分类图,例：某三个家庭，共有人口16名，各家庭成员之间有（血缘）关系。16个人各有自己的照片，且混在一起。现在要求一个不认识这三个家庭成员的人根据上述像片确定这些成员之间的相似程度。,用对该模糊等价关系进行分割,因此可识别出4个性质不同的类型：1,6,8,13,16,2,5,7,11,14,3,4,9,10,12,15,例：有5个地区受到近期一次地震而造成损害,利用余弦幅度法，得到如下关系：,经两次复合得到等价关系,最佳分类的确定,在模糊聚类分析中，对于各个不同的0,1，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的.但在许多实际问题中，需要给出样本的一个具体分类，这就提出了如何确定最佳分类的问题.,设X=(xij)nm为n个元素m个指标的原始数据矩阵.为总体样本的中心向量.,对应于值的分类数为r，第j类的样本数为nj，第j类的样本标记为,第j类样本的中心向量为,作F-统计量：,如果满足不等式FF(r-1,n-r)的F值不止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，或者进一步考查差(F-F)/F的大小，从较大者中找一个满意的F值即可.,实际上，最佳分类的确定方法与聚类方法无关，但是选择较好的聚类方法，可以较快地找到比较满意的分类.,模糊C均值聚类,给定数据集：X=（x1，x2，.，xn），其中每个样本包含s个属性。模糊聚类就是将X划分为c个类（2cn），V=（v1,v2,.,vn）是c个聚类中心。在模糊划分中，每个样本不能严格地划分为某一类，而是以一定的隶属度属于某一类。其划分准则如下：,其中，为第k个样本属于第i类的隶属度。为样本k与第i个聚类中心的距离。,（1）选择合适的聚类中心数c和m值。并确定初始隶属度矩阵。（2）计算聚类中心V：（3）修正隶属度矩阵：（4）对给定的若，则算法终止，否则，转