数学分析 函数实数

1,数学分析,数学是科学的大门和钥匙.,培根,主讲冼军,(MathematicalAnalysis),2,1.集合(set)概念与记号,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该,一、集合,集合,元素,(简称元),(集),元素(element).,集合的,通常以大写字母,等表示集合,以小写字母,等表示集合的元素.,否则记,记作,或,第一章绪论,3,集合分类,有限集,无限集,只含有限个元素;,不是有限集的集合.,列举法,表示集合方法有两种,描述法,把集合的全部元素一一列出来,例,考察由下列元素,可以用列举法将其表示成,列举法有很大的局限性.,组成的集合,外加花括号.,4,如:,由不超过,的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合,其元素是,很多纸张!,根本无法一一罗列出来.,得用,很多时间,不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质P的办法来表示集合,就是,描述法.,花括号中竖线前的x,而竖线后,是M中元素的通用符号,则是x所具有的性质.,可用列举法表示为,的根组成的集合,也可用描述法表示为,例,由方程,5,对几个常用的数集规定记号如下,数集的字母的,数集内排除0的集.,“”,“”,数集内排除0与负数的集.,全体非负整数即自然数的集合,N,即,N,全体正整数的集合为,N+,全体整数的集合记作,Z,即,Z,右上角,标上:,6,两个集合,一般地,如,则,子集,则称,集合A与B相等,记作,则称,2.集合(set)的关系及集合的运算,(1)集合的关系,子集,(读作A包含于B),或,(读作B包含A).,集合相等,记作,7,如,空集.,不含任何元素的集合称为,则称,真子集,记作,如,N,Z,Q,R.,真子集,空集,规定,空集为任何集合的子集.,今后在,提到一个集合时,一般都是,如不加特别声明,非空集.,8,2.集合(set)的关系及集合的运算,集合的基本运算有三种:,并集,交集,差集.,即,记作,设A,B是两个集合,由所有属于A,称为A与B的,并集,AB,AB,(2)集合的运算,于B元素,或者属,组成的集合,9,称为A与B的,记作,即,交集,由所有既属于A,由所有属于A,称为A与B的,差集,记作,即,又属于B元素,集合的基本运算有三种:,并,交,差.,AB,AB,组成的集合,而不属于B的元素,组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集,推广,并与交.,10,研究某个问题时所考虑的对象的全体,记作,例如,则,余集或补集.,AB,AB,并用I表示,称为,全集或基本集,并把差积,特别称为A的,例如,在实数集R中,集合,的余集,11,3.集合(set)的运算法则,为任意三个集合,则下列法则成立:,(1)交换律,AB,=BA,AB,=BA;,(2)结合律,(AB)C,=A(BC),(AB)C,=A(BC);,(3)分配律,(AB)C,=(AC)(BC),(AB)C,=(AC)(BC);,(4)对偶律,(AB)C,=ACBC,(AB)C,=ACBC;,12,(5)幂等律,AA,AA,(6)吸收律,A,=A,=A;,=A,A,=,4.直积(乘积集或笛卡儿乘积),法国数学家、哲学家(Descartes15961650年),设A,B是两个集合,则称,为A,B的,直积.,如,又如,即为xOy面上,全体点的集合,常记作,即,13,2实数连续统数系一个数集如果它上面定义了若干种运算（不管封闭与否），这些运算满足一定的规律，那末称是一个数系.,14,自然数系,Property（1）加法交换律：（2）加法结合律：（3）乘法交换律：（4）乘法结合律：（5）加法与乘法的分配律：（6）对加法，乘法运算封闭.,15,整数系有理数系Property（1）减法在中封闭；（2）除法在中封闭；（3）具有稠密性，而无.,16,顺序关系,数系上的顺序关系是指满足下面两个性质的关系：（A）下列关系中有且只有一个成立：（B）传递性：若则在有理数系中，还满足对加法和乘法的不变性：（C）若则（D）若则,17,分划,Def1.1若把一个有大小顺序的数系分成两类，满足下面的性质：（1）不空：（2）不漏：或者或者（3）不乱：对任意有则称为数系的一个分划，记为称为分划的下类，称为上类.,18,戴德金（Dedekind）连续性准则设是一个有大小顺序的稠密数系，若对它的任一分划都存在唯一的均有则称连续.Property有理数系非连续集.实数基本定理（Dedekind实数连续性定理）实数系为连续集.,19,映射,小结思考题作业,函数,第二章函数,第一节映射与函数,(Function),(mapping),(function),第二章函数,20,5.区间(interval),区间是指介于某两个实数之间的全体实数.,称为,称为,这两个实数叫做区间的端点.,开区间,闭区间,21,称为,有限区间,无限区间,半开半闭区间.,全体实数的集合R也可记作,是无限区间.,22,区间长度的定义,两端点间的距离(线段的长度),称为区间的,今后在不需要辨明所论区间是否包含,有限区间、,称它为,“区间”,常用I表示.,长度.,无限区间的场合,端点、,简单地,23,3.邻域(neighbourhood),数集,即,邻域,记作,几何表示,24,有时简记为,去心(空心),即,两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形,区域.,如,即为xOy平面上的矩形区域,这个区域在x轴与y,轴上的投影分别为闭区间,和闭区间,25,4.逻辑符号,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“”,表示“任取”,或“任意给定”.,“”,表示“存在”,“至少存在一个”,或“能够找到”.,如实数的阿基米德(Archmed)公理是这样叙述的:,任意给定两个正的实数a,b,都存在一个,自然数n,用逻辑符号,将阿基米德公理改写:,Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写,Exist(存在)的字头E的倒写,练习,26,符号,“”,表示“蕴含”,或“推出”.,符号,“”,表示“等价”,或“充分必要”.,5.绝对值(absolutevalue),运算性质,绝对值不等式,27,X中所有元素的像所组成的集合,记作,或f的,即,称为,在中学数学中所接触的函数实际是:,实数集(或其子集),到实数集的映射.,例如,映射f:,正弦函数,值域,像集,28,二、映射,1.映射概念,(mapping),定义,设X、Y是两个非空集合,如果存在,一个法则f,使得对,通过f,在Y中有唯一,确定的元素y与之对应,则称f为,从X到Y的映,(或算子),记作,并称y为x(在映射f下)的,像,并记作,即,x称为y的,原像.,射,定义域,即,记,29,对,元素x的像y是唯一的;,而对,元素y的原像不一定是唯一的;,映射f的值域,是Y的一个子集,不一定,(2),(1),集合X,即定义域,集合Y,即值域的范围:,对应法则f,使对,有唯一确定的,与之对应.,三个要素:,构成一个映射必须具备以下,30,设映射,值域,即Y中任一元素y都是X中某,元素的像,则称f是,满射.,若,必有,则称f是,单射.,若映射f,则称f是,一一映射,(或双射).,2.几类重要映射,又是单射,既是满射,31,例,设,对应关系:,既非满射,又非单射;,满射,非单射;,单射,非满射;,满射,单射,即为一一映射.,对定义域内的任一x,32,(1)如图,令由X到Y的对应关系为,则f是一个从X到Y的映射.,练习,满射,单射,即为一一映射.,(2),令,则f是一个从X到Y的映射.,满射,单射,即为一一映射.,33,2.逆映射与复合映射,设有单射,则由定义,有唯一的,适合,于是,可定义一,个从,的新映射g,即,规定,这x满足,这个映射g称为,f的逆映射,记作,其定义域,值域,34,设有两个映射,其中,2.逆映射与复合映射,显然,由,它将,映成,这个对应法则是从X到Z的一个映射,此映射称为由g和f构成的,复合映射,记作,即,对应法则,可确定出从X到Z的一个,35,例,设有映射,和映射,则映射g和f构成的复合映射,有,36,1.常量(constantquantity)与变量(variable),三、函数(function),而是相对“过程”而言的.,常量;,变量.,在某过程中数值保持不变的量称为,而在过程中数值变化的量称为,一个量是常量还是变量,不是绝对的,常量与变量的表示方法:,在高等数学中,通常用字母a,b,c等表示常量,用字母x,y,t等表示变量.,37,初等数学,就其总体来说是,进入变量的数学微积分.,“常量的数学”,从现在开始,38,定义,设数集,则称映射,为定义在D上的函数,通常简记为,自变量,因变量,定义域(domain),定义中,按对应法则f,总有唯一,确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的,函数值,记作,函数关系,函数值,全体组成的集合称为,range,记作,即,函数f的值域,2.函数概念,39,含义的区别.,自变量x和因变量y之间的对应法则;,与自变量x对应的函数值;,定义在D上的函数,应理解为由它所确定的函数f.,(1),(2),函数的记号:,除常用的f外,可任意选取,如,相应地,函数可记作:,等,等,也可记作:,在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时.,40,(3),对应的函数值y总是唯一的,否则称为,如,是多值函数,它的两个单值支是:,单值函数,多值函数.,约定:,今后无特别说明时,函数是指单值函数.,这种函数称为,(4),构成函数的,是两个不同的函数.,(因为定义域不同).,如,与对应法则f.,定义域,两个要素:,41,函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即,简称函数表示法的,答案,表达式求解,练习,(5),而与用什么字母无关,的有效方法.,无关特性,42,利用函数表示与变量字母无关的特性.,代入原方程得,代入上式得,令,即,令,即,三式联立,解,练习,43,定义域一般有两种:,(1),自变量所能取的使算式有意义的一切,定义区间.,由问题的实际意义所确定.,(2),函数的定义域常用区间来表示,又可称为:,实际问题(几何或物理问题);,在纯数学的研究中(函数由一个公式,实数组成的集合,这种定义域称为,自然定义域.,表示的).,44,例,求下列函数的定义域:,解,定义域是,定义域是,45,常用的函数关系表示法,公式法(解析法);,主要有三种形式,表格法.,各种表示法,都有其优点和不足.,图形法;,公式法(解析法),图形法,表格法,今后以公式法为主,便于进行理论分析和计算;,形象直观,富有启发性,便于记忆;,便于查找函数值,但它常常是不完全的.,也可用语言描述.,配合使用图形法和表格法.,是多种多样的.,46,函数的图形(图象),取自变量在横轴上,在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指,变化,平面点集:,通常是一条或几条,曲线(包括直线).,中的集合,47,例,按国家规定,个人月收入x不超过880元不纳税,超过880元而小于1380元的部分按5纳税,而,超过1380元小于2000元的部分按10纳税,则个人月收入x与交纳所得税y的函数关系为,除了可用一个数学式子表示函数外,有些函数随着自变量取不同的值,分段函数.,我国部分工薪人员应纳多少税,这种函数称为,函数关系也不同,48,例,49,几个今后常引用的函数,绝对值函数,例,定义域,值域,50,符号函数,定义域,值域,对,例,有,或,51,取整函数,如,例,当,阶梯曲线,定义域,值域,表示不超过x的最大整数,52,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(x为有理函数),(x为无理函数),定义域,值域,有理数点,无理数点,53,2.用分段函数表示函数,分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:,即,而不是几个函数.,54,有界性(bounded),设函数y=f(x)在区间I上有定义,则说f(x)在区间I上有上界.,(下),使得对所有,若存在,常数A,都有,(B),3.函数的几种特性,55,若存在常数,使得对所有,则称f(x)在I上有界.,在I上无界;,都有,若这样的M不存在,则称f(x),即为对于任何,总存在,使,则称f(x),在I上无界.,有界,无界,56,在定义域上有界的函数叫做,例,是有界函数;,是无界函数,但它在区间上,在区间上,一定要把区间明确出来!,不是有界函数,就是无界函数.,显然,(boundedfunction),有界函数.,有界等同于既有上界又有下界.,有下界,有界.,57,Proposition2.1在上有界的充要条件是存在使得对任意,58,练习,A.有上界无下界,B.有下界无上界,C.有界,且,D.有界且,解,C,解题提示,将函数取绝对值,然后用不等式,放缩法.,59,六个常见的有界函数,60,单调性(monotonicity),是单调增加;,如果对,恒有,monotoneincreasing,61,应指明单调区间,否则会产生错误.,是单调减少.,如果对,恒有,monotonedecreasing,62,奇偶性,偶函数的图形,称f(x)为,偶函数(evenfunction);,63,奇函数的图形,称f(x)为,奇函数(oddfunction).,64,(1)不要把奇偶函数当作两个完全相反的,(2)奇偶性是对称区间而言的,否则无从谈,奇偶函数的运算性质:,(1)奇(偶)函数的代数和仍为奇(偶)函数;,(2)偶数个奇(偶)函数之积为偶函数;,奇数个奇函数的积为奇函数.,(3)一奇一偶的乘积为奇函数.,概念.,奇、偶.,65,练习,判别给定函数的奇偶性,解题提示,奇函数的,有效方法.,判别下列函数的奇偶性:,奇函数,偶函数,有时也用其运算性质.,主要是根据,奇偶性的定义,66,周期性(periodicity),的周期.,周期函数(periodfunction).,如果存在一个,正数,且总有,称为f(x),通常称周期函数的周期是指,最小正周期.,周期为的周期函数,设函数f(x)的定义域为D,则称f(x)是,67,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(当x是有理函数时),(当x是无理函数时),这是一个周期函数,任何正有理数r都是它,的周期.,因为不存在最小的正有理数,所以没有,最小正周期.,68,周期函数的运算性质:,解题提示,判别给定函数是否为周期函数,有时也用其运算性质.,为周期的函数.,函数,主要是根据周期的定义,为周期的,的最小公倍数,69,4.反函数与复合函数,设函数f:,单射,则它存在逆映射,称此映射,为函数f的,反函数.,习惯上,的反函数记成,(1),定义,反函数(inversefunction),如,单射,反函数,直接函数,通常将,写作,一般地,70,直接函数与反函数的图形,直线,对称.,关于,71,如,其反函数为,指数函数,定义域为,值域为,写成,并不是所有函数都存在反函数.,如,函数,定义域为,值域为,但对,都有两个,和,与之对应,x不是y的函数,不存在反函数.,并称为对数函数.,72,(减),而且反函数也是单调递增(减).,在什么条件下,?,一个函数存在反函数,反函数存在定理,若直接函数,在D上单调递增,求反函数的步骤,(1),(2),即得所求函数的反函数,则函数f:,单射,则它必存在反函数,73,练习,选择题,(1)函数的反函数是().,D,(2)函数,(A)完全不同的;(B)部分相同,部分不同;,(C)完全相同的;(D)可能相同,也可能不同.,C,与它的反函数,在同一坐标系中的图象是().,74,4.反函数与复合函数,(2),复合函数(compoundfunction),定义,设函数,的定义域是,函数,有定义,且,则由下式,确定的函数,称为由函数,构成的,复合函数.,记作,即,它的定义域为,75,(1)并非任何两个函数都能复合成为复合函数;,(2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,因为的值域,不能构成复合函数.,不能包含于,的定义域,之中.,(3)反过来,一个复杂的函数根据需要也可以,分解为若干简单函数的复合.,76,复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),由函数的最外层运算一层层剥到最,里边,切不可漏层.,如,都是中间变量.,复合函数的定义域是,即,而不是,的定义域,剥皮法,77,Property,的反函数存在的充要条件是为一一对应函数，即若则严格递增（减）的函数必有反函数，且其反函数也是严格递增（减）的.若有反函数则习惯上，会记为与的图形关于对称.,78,例,解,故定义域为,的值要落在外边函数的定义域内.,注意保证套在里边的函数,79,将两个或两个以上函数进行复合是本节的难点,根据函数的特点分别讲几种复合的方法.,(1)代入法,将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代,这种构成复合函数的方法,法,称为代入,该法适用于初等函数的复合.,例,设,求,解,80,由以上两式可推测:,由数学归纳法可证明上式成立.,81,(2)分析法,及中间变量的定义域进行,抓住最外层函数定义域的各区间段,结合,该法适用于初等函数与分段函数或分段函,数之间的复合.,中间变量的表达式,分析.,例,82,例,解,83,综上所述,84,5.函数的运算,设函数,的定义域分别为,则可定义这两个函数的下列运算:,和(差),积,商,且,线性组合,为实数,85,1)幂函数(powerfunction),定义域与的取值有关.,6.初等函数(elementaryfunction),(basicelementaryfunction),(1)基本初等函数,86,幂函数的定义域根据值的不同而不同当是有理数时(其中是整数，且互质)，其定义域见下表：,其中,87,当是无理数时，定义为故定义域为在总有定义，且必过点单调性（只考虑情形）时严格上升，时严格下降.,88,2)指数函数(exponentialfunction),定义域为,值域为,89,Property（1）值域：（2）必过点（3）时，严格上升