第10章常微分方程

第10章常微分方程,10.1常微分方程的一般概念,10.2可分离变量的微分方程,10.3一阶线性微分方程,10.4几种可降阶的二阶微分方程,10.5二阶线性微分方程,10.1常微分方程的一般概念,10.1.1常微分方程的一般概念,10.1.2微分方程的解,定义1凡含有未知函数导数(或微分)的方程，,称为微分方程，,有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称做常微分方程，,未知函数是多元函数的微分方程称做偏微分方程.,本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程.,10.1.1常微分方程的一般概念,(1)y=kx,k为常数；,例如，下列方程都是微分方程(其中y,q均为未知函数).,(2)(y-2xy)dx+x2dy=0；,(4),(5),(3),微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，,称为微分方程的阶.,例如，方程(1)-(3)为一阶微分方程，,通常，n阶微分方程的一般形式为,F(x,y,y,y(n)=0，,其中x是自变量，y是未知函数，F(x,y,y,y(n)是已知函数，,而且一定含有y(n).,方程(4)-(5)为二阶微分方程.,10.1.2微分方程的解,定义2任何代入微分方程后使其左右两端相等的函数，都叫做该方程的解.,若微分方程的解中含有任意常数C的个数与方程的阶数相同，,且这些任意常数是相互独立的（即不能合并），则称此解为该方程的通解(或一般解).,若再给出若干个条件（称为初始条件），以确定通解中的所有任意常数，所得到的解，称为微分方程满足初始条件的特解.,例如方程y=2x的解y=x2+C中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，,因此，这个解是方程的通解；,如果求满足条件y(0)=0的解，代入通解y=x2+C中，,得C=0，那么y=x2就是方程y=2x的特解.,二阶微分方程的初始条件是,即y(x0)=y0与y(x0)=y0，,一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题.,求解某初值问题，就是求方程的特解.,通常一阶微分方程的初始条件是,例1验证函数y=3exxex是方程,y+2y+y=0,的解.,解求y=3exxex的导数，,y=-4ex+xe-x,y=5ex-xe-x,将y，y及y代入原方程的左边，,(5ex-xe-x)+2(-4ex+xe-x)+3exxex=0，,即函数y=3exxex满足原方程，,得,有,所以该函数是所给二阶微分方程的解.,得C=2，故所求特解为y=2x2.,例2验证方程的通解,为y=Cx2(C为任意常数)，并求满足初始条件y|x=1=2的特解.,解由y=Cx2得,y=2Cx,易证函数y=Cx2满足原方程.,又因为该函数含有一个任意常数，,所以y=Cx2是一阶微分方程,将初始条件y|x=1=2代入通解，,例3.列车在平直路上以,的速度行驶,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,即求s=s(t).,制动时,一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数y=y(x)，,其图形是一条平面曲线，我们称它为微分方程的积分曲线.,通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分曲线族，,特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线.,这就是微分方程的通解与特解的几何意义.,10.2可分离变量的微分方程,10.2.1可分离变量的微分方程,10.2.2齐次微分方程,例如：形如,的微分方程，称为可分离变量的微分方程.,(1)分离变量,该类微分方程可按照下面方法求解：,10.2.1可分离变量的微分方程,(2)两边积分,（3）整理后即可得方程通解.,我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，,而把积分所带来的任意常数明确地写上.,例1求方程,解分离变量，得,两边积分，得,这就是所求方程的通解,例2求方程,解,两边积分，得,化简得,分离变量，得,当y=0时，原方程是成立的，,综上所述原方程的通解是,对数的一些运算公式：,(1)为了简便起见，本章可采用下列不加绝对值的积分：,(2)当左边是y的对数时，不定常数通常取lnC.,求解过程可简化为：,两边积分，得,整理即得通解：,其中C为任意常数.,分离变量，得,例2求方程,例3求方程dx+2xydy=y2dx+2ydy满足初始条件y(4)=2的特解.,解将方程整理为,分离变量，得,两边积分，有,化简，得原方程的通解：,即,将初始条件y(4)=2代入，,得C=1.,故所求特解为,例4,解分离变量得,即,两边积分，得,因此方程的通解为,作业：P1982,P2001（1）（3）（5）（7）2(2)(4),知识回顾：,（1）微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，,称为微分方程的阶；,（2）通解、特解；,（3）可分离变量微分方程的求解：,分离变量；,两边积分；,整理即得微分方程的通解。,形如,的方程叫做齐次微分方程.,令,代入原方程得,解法:,10.2.2齐次微分方程,此类方程可通过变换转化为可分离变量的微分方程.,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,分离变量，得,例1求解微分方程,解,代入方程得，,积分得，,代回原变量，即得通解，,原方程可写成,解,例2,求解方程,代入上式，得,两边积分得,或写成,分离变量得,例3求解微分方程,解,原方程可转化为：,微分方程的解为,10.3一阶线性微分方程,10.3.0一阶线性微分方程,10.3.1一阶线性齐次微分方程的通解,10.3.2一阶线性非齐次微分方程的通解,形如,的方程称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程.,“线性”是指在方程中含有未知函数y和它的导数,的一次项，,的项都是关于y、,10.3.0一阶线性微分方程,其中q(x)称为自由项。,称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，,0，则称方程为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程.,通常方程称为方程所对应的线性齐次方程.,若q(x),一阶线性齐次方程,是可分离变量方程.,两边积分，得,所以，方程的通解公式为,分离变量，得,10.3.1一阶线性齐次微分方程的通解,例1求方程y+(sinx)y=0的通解.,解所给方程是一阶线性齐次方程，且p(x)=sinx，,由通解公式即可得到方程的通解为,则,一阶线性齐次方程,的通解公式为,例2求方程(y-2xy)dx+x2dy=0的通解.,解将所给方程化为如下形式：,这是一个线性齐次方程，,则,由通解公式得该方程的通解,作业：P2001（2）(4)(6)（8）2（1）（3）(5),知识回顾：,(1)形如,的方程叫做齐次微分方程.,令,代入原方程得,解法:,下面按照分离变量方程来求解。,（2）形如,的方程称为一阶线性微分方程，,其中q(x)称为自由项。,称为一阶线性齐次微分方程；,0，则称为一阶线性非齐次微分方程；,若q(x),(3)一阶线性齐次方程,的通解公式为,对比发现只差自由项不同，,10.3.2一阶线性非齐次微分方程的通解,已知一阶线性齐次方程,的通解公式为,因此猜想将齐次,方程通解中的C改为函数u(x),这就是一阶线性非齐次方程,的通解。,上述讨论中所用的方法，是将常数C变为待定,再通过确定u(x)而求得方程解的方法，,称为常数变易法.,函数u(x)，,例1求方程2y-y=ex的通解.,解法一使用常数变易法求解,将所给的方程改写成下列形式：,这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程为,设所给线性非齐次方程的通解为,将y及y代入该方程，得,于是，有,因此，原方程的通解为,解法二,将所给的方程改写成下列形式：,例1求方程2y-y=ex的通解.,则原方程的通解为,例2求解初值问题：,解,将所给的方程改写成下列形式：,则,因此，所给线性非齐次方程的通解为,将初始条件y(p)=1代入，,所以，所求的特解为,得C=p，,解,将所给的方程改写成下列形式：,例3求方程的通解.,因此，所给线性非齐次方程的通解为,一阶线性非齐次方程,的通解为,例4求方程y2dx+(x-2xy-y2)dy=0的通解.,解将原方程改写为,则,q(y)=1.,代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有,即所求通解为,作业：P2021（1）(要求用2种方法求解)（3）(5)2（2）（4）,(1)一阶线性非齐次方程,的通解：,知识回顾：,（2）一阶线性非齐次方程,的通解：,10.4几种可降阶的二阶微分方程,10.4.1,10.4.2,型的微分方程,型的微分方程,10.4.3,型的微分方程,观察微分方程,10.4.1,型的微分方程,可知该方程右端仅含有自变量x的函数。,若令,则有,同理，可依次求出,例1解微分方程,解积分一次得,再积分一次得,例2解微分方程,解原方程整理后得,这个方程的特点是右端不显含未知函数y，,，,.,的一阶方程,如果能求出上述方程的通解,再由方程,可求得原方程的通解,10.4.2,型的微分方程,可设,代入原方程，可得,则,例3求微分方程,的通解。,解这是不显含y的方程，令,则,于是原方程为,例4.求解,解,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,利用,因此所求特解为,此类方程的特点是不显含x，,这里的,p是y的函数，是x的复合函数。,则,于是原方程化为：,这是以y为自变量,p为未知函数的一阶方程,10.4.3,型的微分方程,可设，,假设能求出该方程的通解：,即,利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为,例5求微分方程,的通解,解令,代入原方程得,分离变量，得,两边积分得,则,分离变量，得,两边积分得,即得原微分方程的通解：,作业：P2051(1)(3)2（2）3（2）,(1),知识回顾：,（2）,型的微分方程;,解法：,积分n次,可设,型的微分方程;,（3）,解法：,型的微分方程;,解法：,可设,则,10.5.1二阶线性微分方程解的结构,10.5二阶线性微分方程,10.5.2二阶线性常系数齐次微分方程,10.5.3二阶线性常系数非齐次微分方程,10.5.0二阶线性微分方程的基本概念,二阶微分方程的如下形式,y+p(x)y+q(x)y=f(x),称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f(x)称为自由项。,方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自变量的已知连续函数.,这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含y或y或y，,且每项均为y或y或y的一次项。,例如y+xy+y=x2就是二阶线性方程.,而y+x(y)2+y=x2就不是二阶线性方程.,10.0二阶线性微分方程的基本概念,y+p(x)y+q(x)y=f(x),当f(x)0时，称为二阶线性非齐次微分方程，,当f(x)恒为0时，称为二阶线性齐次微分方程，,y+p(x)y+q(x)y=0,即,定理1(1)如果函数y1线性齐次方程的解，,y=Cy1,也是该方程的解，,证因为y1方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，,所以有,其中C是任意常数.,则函数,证毕！,10.5.1二阶线性微分方程解的结构,(2)如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，,y=y1+y2,也是该方程的解.,证因为y1与y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0,和,所以有,则函数,两式相加得,的两个解，,如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，,y=C1y1+C2y2,也是该方程的解，,其中C1，C2是任意常数.,则它们的线性组合,由上面的定理，我们可以综合得到如下结论：,定义,如果存在n个不全为0的常数,使,在区间I上恒成立.,则称函数在区间I上是线性相关的，否则称为线性无关.,例如，函数,和函数,因为不存在两个不全为0的常数k1和k2，使得对所有的x都有,是线性无关.,事实上,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；,如果不是常数，则它们线性无关.,当y1(x)与y2(x)线性相关，,定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关的特解，,y=C1y1+C2y2,是该方程的通解，,由前面结论知y=C1y1+C2y2也是该方程的解.,又因为y1与y2线性无关，即y1与y2之比不为常数，,故C1与C2不能合并为一个任意常数，,因此y=C1y1+C2y2是二阶线性齐次方程的通解.,则,其中C1,C2为任意常数.,所以它们中任一个都不能用另一个(形如y1=ky2或y2=k1y)来表示.,求二阶线性齐次方程通解的一般步骤为：,求线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的线性无关的两个特解y1与y2；,则该方程的通解y=C1y1+C2y2.,定理3如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解，,则线性非齐次方程的通解是,证依题意有,y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，,是该方程所对应的线性齐,次方程的通解，,将两式相加，得,因此，,是线性非齐次方程,的通解。,求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：,(1)求线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的线性无关的两个特解y1与y2，,得该方程的通解y=C1y1+C2y2.,(2)求线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的一个特解y*.,那么，线性非齐次方程的通解为,如果二阶线性齐次微分方程为,y+py+qy=0，,其中p、q均为常数，,则称该方程为二阶线性常系数齐次微分方程.,10.5.2二阶线性常系数齐次微分方程,y+py+qy=0,考虑到左边p，q均为常数，,我们可以猜想该方程具有y=ex形式的解，其中为待定常数.,将,由于ex0，因此，只要满足方程,y=ex就是式的解.,代入上式，,得,代数方程,2+p+q=0，,称为微分方程,特征方程的根称为特征根.,的特征方程；,y+py+qy=0,例如，,其特征根是,特征方程是个一元二次方程，其解有三种可能，,因而它的通解为,所以y1与y2线性无关，,都是的解，,则函数,1特征方程具有两个不相等的实根1与2；,下面根据这三种可能分别讨论齐次微分方程通解.,例1求方程y-2y-3y=0的通解.,解该方程的特征方程为223=0,其对应的两个线性无关的特解为y1=e-x与y2=e3x,所以方程的通解为,它有两个不等的实根1=-1，2=3,例2求方程y-5y+6y=0的通解.,解该方程的特征方程为25+6=0,所以方程的通解为,它的特征根是1=2，2=3,作业：P2122（1）（2）3（1）,知识回顾：,（1）如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，,y=C1y1;,都是该方程的解，,其中C1，C2是任意常数.,则,y+p(x)y+q(x)y=f(x),y+p(x)y+q(x)y=0,且如果函数y1与y2是线性无关，则方程的通解就是,y=y1+y2;,y=C1y1+C2y2,y=C1y1+C2y2,y+py+qy=0,（2）二阶线性常系数齐次微分方程：,（其中p、q均为常数）.,其特征方程是,方程的通解为,1特征方程具有两个不相等的实根1与2,y+py+qy=0,10.5.2二阶线性常系数齐次微分方程,2特征方程具有两个相等的实根，,这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个,还需再找一个与y1线性无关的特解y2，,即,特解y1=ex.,其特征方程是,将y2及其一阶导数,y2=ex(u(x)+2u(x)+2u(x)，,为此，设y2=u(x)y1，,其中u(x)为待定函数.,y2=(uex)=exu(x)+u(x)，,二阶导数,代入方程y+py+qy=0中，得,注意到,所以有2+p+q=0,及2+p=0.,ex0且,是特征方程,的重根，,因此只要u(x)满足,则y2=uex就是,为简便起见，取方程u(x)=0的一个解u=x，,于是得到方程且与y1=ex线性无关的解:,因此，式的通解为,式的解。,解,该方程的特征方程是,该方程有两个线性无关的解：,例1,因该方程的通解是,解,该方程的特征方程是,例2,因该方程的通解是,3特征方程具有一对共轭复根,这时有两个线性无关的特解,这是两个复数解，,为了便于在实数范围内讨论问题，,我们再找两个线性无关的实数解.,由欧拉公式,可得,于是有,由定理1知，以上两个函数eaxcosbx与eaxsinbx均为式的解，,且它们线性无关.,因此，这时方程的通解为,例3求方程2y+2y+3y=0的通解.,解该方程