控制理论第8章

,8.3活塞销孔镗削加工的表面质量分析与控制,1问题的提出,某国营机械厂，在金刚石镗床上加工直升飞机发动机活塞的销孔,销孔要求：几何精度，同轴度表面粗糙度Ra=0.16m有关尺寸：活塞外径销孔直径38mm孔深53mm镗刀杆直径28mm，刀杆长度70mm,8.3活塞销孔镗削加工的表面质量分析与控制,原机床加工是两个镗头分别镗活塞左右两销孔，两孔同轴度取决于机床的x、y两个方向的调整精度，质量难以保证。,想改为由一个镗杆加工两销孔，镗杆要加长近140mm。改进后问题出现了0.30.5mm的振痕，,销孔切剖后加工表面的照片,自激振动引起不衰减振动频率等于或接近系统的固有频率自振荡是非线性系统内部自发的持续振荡，与外加给定信号及干扰信号无关,利用控制理论分析原因，提出改进措施和解决方法,2绘制系统的结构原理简图及建立物理模型,针对镗刀杆F(t)切削力x0(t)镗刀杆在切削力方向上的变形。,m镗刀系统运动的质量，f镗刀系统粘滞阻尼系数，k镗刀杆的刚度。,建立镗刀系统的物理模型,4建立系统的数学模型,5建立系统的传递函数,以切削力为输入以刀架变形量为输出,系统无阻尼自振频率,阻尼比,建立切削力数学模型,建立切削力与名义切除量之间的关系,若工件名义切除量为u0(t)，而实际切除量为u(t)，则,若主轴转速为n，则镗刀每转一转所需时间为,刀具每一转切下金属量为,其切削力为,式中Kc为切削系数，表示去除金属的难易程度,系统无阻尼自振频率,阻尼比,切削力F(t)与刀架变形量x0(t)的关系,汇总数学方程,名义切除量u0(t)与实际切除量u(t):,切削力F(t)与实际切除量u(t):,名义去除量为输入,镗刀杆变形位移为输出,超越函数,非线性系统,判断系统是否产生自激振动？解决办法？,X0(s),系统传递函数,描述函数法,描述函数法是由P.J.Daniel于1940年首先提出,基本思想：,在一定的假设条件下，将非线性环节在正弦信号作用下的输出用一次谐波分量来近似，并导出非线性环节的等效近似频率特性，即描述函数,描述函数法,主要用途：,分析在无外作用下的非线性系统的稳定性、自振荡特性及消除自振荡的方法,是一种近似方法，其应用有一定的限制条件，而且只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息,特点：,该方法不受系统阶次的限制，对系统的初步分析和设计十分方便，得到广泛应用,给非线性环节作用一个正弦输入，在非线性环节满足一定条件下，其输出为一周期函数，且可展开成傅里叶级数；,一、描述函数的定义,描述函数法将一个非线性装置或环节用一个可变增益的环节来代替，这个可变增益是输入正弦振幅A和振荡频率的函数,求法：,用这个可变放大系数代替非线性环节，即可用线性系统中频率法分析非线性系统,取输出基波分量与输入正限量的复数比，即可求得该非线性环节的描述函数（或可变放大系数）；,描述函数适应于具有以下特点的非线性系统：,1.系统线性部分和非线性环节可以分离,NL和G分别为非线性环节和线性部分的传递函数,非线性系统典型结构,描述函数的适应限制条件,C,2.非线性特性具有奇对称性，且输入输出关系为静特性（不含储能元件）,描述函数的适应限制条件,因此，非线性环节输入为正弦量时，其输出为周期函数，可展开成傅里叶级数，且其直流分量为零,3.线性部分应具有良好的低通滤波特性,可以认为高次谐波完全滤掉，输出仅存在基波分量,若满足以上条件，描述函数可定义为非线性环节输出基波分量与输入正弦量的复数比，记N(A),设非线性环节的输入为正弦量,输出为周期函数，可展开成傅里叶级数,由于非线性为奇对称性，所以A0=0,非线性环节的输出信号y(t)中含有基波及各高次谐波。通常谐波的次数越高,其相应的傅立叶系数越小,即相应的谐波分量幅值就越小,取基波分量，有,则基波分量为,式中,基波初相位,基波幅,如果系统线性部分G(s)具有低通滤波特性,则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计,可以近似认为当输入为正弦信号x(t)时,只有y(t)的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点,其高次谐波分量可忽略不计,即,基波初相位,基波幅,C,C,描述函数：非线性环节输出量的基波分量与其输入正弦量的复数比,描述函数的定义,基波初相位,基波幅,C,描述函数：非线性环节输出量的基波分量与其输入正弦量的复数比,描述函数的定义,描述函数是输入振幅A的函数，是一个可变增益的放大系数,用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述,可将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性系统,但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数N仅是输入信号幅值A的函数,若NL的特性是单值奇对称的，则x(t)是奇函数，则,，描述函数是输入正弦信号幅值A的实函数；,若NL的特性是非单值奇对称的，则x(t)既非奇函数也非偶函数，则描述函数是输入正弦信号幅值的复函数。,说明：,一般描述函数N是输入正弦振幅A和振荡频率的函数,典型非线性特性的描述函数,1.饱和特性,饱和特性输入,饱和特性及输入输出波形,当Aa时，饱和特性输出x(t)为,式中,由于输出波形为奇函数,，（单值奇对称）,基波初相位,则饱和特性的描述函数为：,N(A)是输入振幅A的实函数，而且是非线性关系。因此，可将描述函数看作为一可变放大系数的放大器,2.死区特性,当输入时，死区特性输入输出波形如下：,死区特性及输入输出波形,式中,由图可知，当，且Aa时，死区输出为：,输出亦为奇函数，故,解得,则死区特性的描述函数为：,由式可知当很小，即不灵敏区小，N(A)趋近于K；当变大，N(A)随着减小；当趋近于1时，N(A)趋近于零。,3.间隙特性,当输入时，间隙特性输入输出波形如下：,间隙特性及输入输出波形,由间隙特性的数学描述可知，间隙输出x(t)为,式中,于是，可求得间隙特性的描述函数N(A)为,基波幅,基波初相位,4.继电特性,当输入时，继电特性输入输出波形如下：,具死区和磁滞回环继电特性及输入输出波形,由图可知，在正弦信号作用下，继电特性输出x(t)为,式中,具死区和磁滞回环继电特性的描述函数N(A)为,基波幅,基波初相位,推论：,当a=0时，求得理想继电特性的描述函数为,理想继电特性,当m=1,a0时求得具死区的继电特性的描述函数为,具死区继电特性,当m=-1时求得具滞环的继电特性的描述函数为,具滞环继电特性,多重非线性的描述函数,1.串联非线性,串联非线性特性的描述函数绝不等于两个非线性描述函数的乘积,NL1为死区非线性,NL2为饱和非线性,串联非线性,串联后的复合非线性,2.并联非线性,根据描述函数的定义输出y到输入x之间的描述函数N(A)显然等于两个并联非线性描述函数之和,则,例1求下图所示非线性特性的描述函数,多重非线性,设，NL1为a=0时的理想继电特性，A1=0,求,则,例1求下图所示非线性特性的描述函数,多重非线性,设，NL1为a=0时的理想继电特性，A1=0,求,则,例1求下图所示非线性特性的描述函数,多重非线性,设，NL1为a=0时的理想继电特性，A1=0,求,求,因此，多重非线性的描述函数为,用描述函数法分析非线性系统,NL的描述函数N（A）只是描述环节在正弦信号作用下其输出基波分量与输入正弦的关系，不能像线性系统的频率特性，全面反映线性环节的动力学特性。,在实际非线性系统的分析中，若系统产生自激振荡，由于线性部分的低通滤波特性，非线性环节的输入可近似的看作正弦输入，则可用描述函数来描述非线性环节的动态特性,据此可用描述函数来分析整个系统动力学特性系统是否稳定、系统是否会产生自激振荡,一旦产生自激振荡，如何求出自激振荡参数（即自激振荡振幅和振荡频率）进而寻求克服自激振荡的方法,分析系统产生自激振荡的条件,假定一非线性系统输入为零N(A)为非线性环节的描述函数,假定,则,式中：,如果等于，则意味着产生了自激振荡,设,则,比较，则系统产生自激振荡的条件为,令线性部分的传递函数为G（s）,非线性特性的负倒描述函数,综上，可得出系统产生自激振荡的条件为或,奈魁斯特稳定判据的应用,非线性系统稳定性判断方法：,在复平面上同时作出线性部分的频率特性G（j）及非线性部分描述函数的负倒特性-1N(X),(1)在复平面上,-1N(X)曲线不被G(j)曲线所包围,则非线性系统是稳定的,(2)在复平面上,-1N(X)曲线被G(j)曲线所包围,则非线性系统不稳定,(3)在复平面上，-1N(X)曲线与G(j)曲线相交,则在非线性系统中产生周期性振荡,振荡的振幅由-1N(X)曲线交点处对应的X值决定,振荡的频率由G(j)曲线交点处的值决定,系统稳定（不包围）,的相互关系曲线：,与,系统不稳定（被包围）,系统不稳定（被包围）,系统产生自激振荡,自激振荡的振幅和振荡频率可由下面二式求得：,分析：a点和b点对应的自激振荡，其中，a点对应的自激振荡状态是不稳定的自激振荡状态，b点对应的自激振荡状态是稳定的自激振荡状态。现实的物理系统只会产生一个稳定的自激振荡。,当用描述函数法来分析非线性系统时，可利用系统的闭环传递函数特征方程，首先要把非线性特征方程化简成一个等效的线性部分和一个等效的非线性部分，然后进行稳定性的判断。,6系统稳定性分析,描述函数法是频率域中分析非线性系统的一种工程近似法，实际上是线性系统中的奈氏判据在非线性系统中的推广。,传递函数为,（1）系统特征方程的建立,闭环回路中串联标准形式,等效线性部分,等效非线性部分,可以用轨迹和轨迹之间的相对位置来判断系统的稳定性,相交相切不相交,不稳定临界稳定稳定,传递函数,系统的特征方程为,或者写成,相当于描述函数法中非线性特性的负倒描述函数,根据闭环系统传递函数的特征方程,线性特性部分,非线性特性的负倒描述函数,即当s=0，时，特征方程有一个极点处于s平面的原点上,(2)系统极坐标图的绘制,轨迹包围了整个s平面的右半部，也就包围了特征方程中具有正实部的全部零点和极点,动点S的移动路径,动点s的移动路径：0-,abc0+,j,因为,分母有零根存在,则s的取值必须绕过原点s=0处,即以原点为圆心，以无穷小的为半径画圆，逆时针方向从右侧绕过原点，组成一个封闭的奈氏轨迹曲线,S,系统的极坐标图,Im,=1=0,=0+,=0-,Re,B,A,Gm(s),S,由-0_和0+变化时，Gc(j)在s平面上实部为，虚部为的周期函数,当由0_0+变化，按变化在s平面上是半径为无穷大的圆,当为-和+时，在s平面上是一个点,系统的极坐标图,Im,-,k/2Kc,+,Gc(s),=1=0,=0+,=0-,Re,B,A,Gm(s),S,(3)系统稳定性的判断,当Gm(j)在Gc(j)之外，不相交，系统不发生振荡，则系统绝对稳定，即是无条件稳定,若Gm(j)与Gc(j)相切，系统为临界稳定,若Gm(j)与Gc(j)相交，系统为有条件稳定,Gm(s)：,Gm(j)负实部绝对值的最大值应，即,Gm(s)实部：,Gm(s)实部最大值：,则为无条件稳定,无条件稳定的判断,因为考虑的是负实部，所以取负值,负实部的最大值：,所以无条件稳定应满足,增大镗杆刚度k和粘滞阻尼系数f，或者降低切削系数Kc和质量m都有利于无条件稳定,即A和B,有条件稳定的判断,实部相等,-,k/2Kc,+,Gc(s),=1,=0+,=0-,Re,B,A,Gm(s),S,若两曲线相交，需求两交点的频率A和B,在A、B交点处：,Gm(j)和Gc(j)在交点处的幅值和相角均应相等,n为固有频率,系统的极坐标图,=0,交点处相位相等，即,有条件稳定的判断,nAnB,适当选择，使BB时，则系统稳定,-,k/2Kc,+,Gc(s),=0+,=0-,Re,B,A,Gm(s),S,AB,AB,系统的极坐标图,=1,=0,7系统的改进,合理选择镗刀杆转速，或通过增大粘滞阻尼系数，可明显提高系统的稳定性,2.采用消振镗杆的结构形式,消振镗杆系统的结构及物理模型,物理模型,物理模型示意图,结构原理图,列写方程,拉氏变换，并令初始条件为零，则,改进后系统传递框图,X0(s),改进系统,改进的系统相当于在原系统上加一局部反馈,局部反馈,改进系统,改进后系统传递框图,X0(s),相当于加一局部反馈,原系统传递框图,X0(s),改进后的传递函数为,X0(s),应用描述函数法判断稳定性，其特征方程为,X0(s),改进系统传递函数,线性特性部分,非线性特性的负倒描述函数,改进前,改进后,系统改进前后对比,系统改进前后的奈氏图对比,改进前：不稳定,改进后：稳定,消振器参数对系统稳定性的影响,1.镗杆消振器的弹性系数kd对系统的影响,Kd越大，奈氏图与距离为负实部的直线距离越远，则系统越稳定,消振器参数对系统稳定性的影响,2.镗杆消振器有阻尼固有频率对系统影响,越大，奈氏图与距离为负实部的直线距离越远，则系统越稳定,消振器参