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模线性方程的应用用数论方法解决整数问题,引言,数论是数学的一支它的研究对象是整数的性质,模线性方程,表现形式：axc(modb)或ax+by=c,定理：模线性方程有解的充要条件是gcd(a,b)|c若模线性方程有解，从模的意义上讲有且只有一解。,实现：Extended-Euclid算法,例题ball,小球从棋盘左侧或下侧的某格出发，斜向上运动,碰到棋盘的边规则反弹，碰到角落沿原路返回,问小球第一次回到起点时，有几个格子滚过奇数次？,转化,分析,设转化后的棋盘边长分别为L、H，则小球将会作周期为2Lcm(L,H)的周期运动。,小球的运动有两种：撞到角上，沿原线路返回，以和出发相反的方向回到起点。没有撞到角上，以和出发相同的方向回到起点。,情况1：撞到角上,水平方向运动距离：qL竖直方向运动距离：pH-a,条件：gcd(L,H)|a。,qL=pH-a即pH-qL=a,结论：只有两个点经过了奇数次。,情况2：没有撞到角上,问题：小球滚过一个点至多几次？,推论2：小球不可能以同一方向滚过一个点两次,推论3：小球不可能以相反方向滚过一个点两次,结论：滚过四边上的点至多一次，滚过中间的点至多两次。,推论1：小球经过的总路程为2Lcm(L,H)。,情况2：没有撞到角上,小球经过奇数次的点的个数=2Lcm(L,H)-小球经过偶数次的点的个数*2,情况2：没有撞到角上,经过一个点两次时子情况1：水平方向相反，竖直方向相同；子情况2：水平方向相同，竖直方向相反。,水平方向相反，竖直方向相同,假设这个点在水平方向的投影为x,水平向右运动距离：2k1L+x0k1H/g,水平向左运动距离：2k2L-x0k2H/g,水平距离差：(2k1L+x)-(2k2L-x),(2k1L+x)-(2k2L-x)0(mod2H),水平方向相反，竖直方向相同,(2k1L+x)-(2k2L-x)0(mod2H),(k1-k2)L+x0(modH)0k1H/g0k2H/g,条件：gcd(L,H)|x,结论：x共有L/gcd(L,H)-1个,对于任意的x,(k1-k2)L+x0(modH)0k1H/g0k2H/g,(k1-k2)V(modH/g)只有一解。,无论V为何值，方程有且仅有H/g组解,结论：水平方向相反，竖直方向相同的情况下共有(L/g-1)*H/g组解,水平方向相同，竖直方向相反,类似的可以得到：水平方向相同，竖直方向相反的情况下共有(H/g-1)*L/g组解,结论,所以问题的解为：当g|a，答案为2；否则为2LH/g-2(L/g-1)*H/g+(H/g-1)*L/g)。,小结,从反面思考问题,模线性方程的解的判定定理,分类讨论的思想,简化复杂的问题,总结,数
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