第十二讲 常微分方程和差分方程

第十二讲常微分方程与差分方程,基本概念,一阶方程,类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程,4.线性方程,可降阶方程,线性方程解的结构相关定理,二阶常系数线性方程解的结构,特征方程的根及其对应项,f(x)的形式及其特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容微分方程,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,变量代换法,常数变易法,特征方程法,待定系数法,降阶,作变换,基本概念,一阶方程,n阶常系数线性方程,二阶方程,一、主要内容差分方程,特征方程的根及其对应项,f(x)的形式及特解形式,代入法特征根法,待定系数法,线性方程解的结构相关定理,特征方程的根及其对应项,f(x)的形式及特解形式,特征方程法,待定系数法,差分方程解题思路,一阶方程,二阶方程,代入法,特征根法,特征方程法,待定系数法,1.微分基本概念,微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,通解如果微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件用来确定任意常数的条件.,初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,(1)可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2.一阶微分方程的解法,(2)齐次方程,解法,作变量代换,(3)一阶线性微分方程,上述方程称为齐次的,上述方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（用分离变量法）,非齐次微分方程的通解为,（用常数变易法）,3.可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分n次，得通解,型,解法,代入原方程,得,特点,型,解法,代入原方程,得,.线性微分方程解的结构,（1）二阶齐次方程解的结构:,（2）二阶非齐次线性方程解的结构:,.二阶常系数齐次线性方程解法,n阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,特征方程为,.二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法待定系数法.,差分的定义,7.差分方程基本概念,差分方程与差分方程的阶,定义1,定义2,为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.,通解中任意常数被初始条件确定后的解.,初始条件,差分方程的特解,差分方程的解,含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.,差分方程的通解,n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式,n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式,8.常系数线性差分方程解的结构,n阶常系数齐次线性差分方程解的结构,（是任意常数）,9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解,特征方程,特征根,10.一阶常系数非齐次线性差分方程的求解,(1),(2),综上讨论,二、典型例题,例1,解,原方程可化为,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,例2,解,原式可化为,原式变为,对应齐次方通解为,一阶线性非齐次方程,伯努利方程,代入非齐次方程得,原方程的通解为,利用常数变易法,例3,解,代入方程，得,故方程的通解为,例4,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,例5,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,解得,故原方程的通解为,即,例6,解,（）由题设可得：,解此方程组，得,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,(2)这是一个齐次方程，,令y=ux,化为分离变量方程:,方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,例2.求下列方程的通解:,提示:(1),令u=xy,得,(2)将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,令y=ut,(齐次方程),令t=x1,则,可分离变量方程求解,化方程为,例3.,设F(x)f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(2003考研),(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,原方程化为,即,则,故原方程通解,提示:令,例2.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,思考:设,提示:对积分换元,则有,解初值问题:,答案:,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,(1)试将xx(y)所满足的微分方程,变换为yy(x)所满足的微分方程;,(2)求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解:,上式两端对x求导,得:,(1)由反函数的导数公式知,(2003考研),代入原微分方程得,(2)方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得A0,从而得的通解:,