ch-集合映射与函数PPT课件

2008年9月24,-,1,通知：9月29日(周四)中午12:30到理学院1楼大厅值班室购作业集，15元/套,2008年9月24,-,2,名称,工科数学分析,总学时,一学年(两学期),教材,工科数学分析基础第二版,本学期96学时,王绵森马知恩主编,2008年9月24,-,3,参考书,数学分析第三版,华东师范大学数学系主编,高等数学第五版,同济大学应用数学系主编,2008年9月24,-,4,书后习题参考书,工科数学分析基础学习指导与习题解析,孙清华孙浩主编,习题册参考书,数学分析同步辅导及习题精解华东师大第三版,张天德韩振来主编,2008年9月24,-,5,本学期的教学内容,1.一元函数的微分学；,4.无穷级数。,2.一元函数的积分学；,3.微分方程；,2008年9月24,-,6,高等数学,工科数学分析,数学分析,计算,计算为主、证明兼顾,证明,2008年9月24,-,7,高等数学是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一，它是理工科大学生必修的数学基础理论课程，也是学习后续数学的必修课程，还是学习其它专业的必修课。,高等数学的性质与作用,高等数学的概念、理论和方法对于学生毕业后从事科学研究、工程技术与管理工作都是不可缺少的内容。同时也是参加具有选拔功能的水平考试的必备基础。,2008年9月24,-,8,掌握高等数学的基本知识、基本理论和基本的计算方法，提高数学素养；,高等数学的教学目的,培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力，以及辩证的思维方法；,培养学生的空间想象能力，培养学生的分析问题和解决问题的能力；,为学生进一步学习数学打下基础，也为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。,2008年9月24,-,9,认识高等数学的重要性，注意高等数学的特点，改进学习方法,如何学习高等数学？,初等数学-研究对象为常量，以静止的观点研究问题；,学数学最好的方法是做数学,高等数学-研究对象为变量，运动和辩证法进入了数学。,2008年9月24,-,10,（2）每次课后均布置作业，希望大家认真完成。,（1）考试内容以课堂上讲的为范围，在第12周前后会安排一次期中考试；,两点说明：,2008年9月24,-,11,第1章函数、极限、连续,第1节集合、映射与函数第2节数列的极限第3节函数的极限第4节无穷小量及无穷大量第5节连续函数,2008年9月24,-,12,第1节集合、映射与函数,1.1集合及其运算1.2实数集的完备性与确界定理1.3映射与函数的概念1.4复合映射与复合函数1.5逆映射与反函数1.6初等函数与双曲函数,2008年9月24,-,13,集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数学家康托（Cantor）创立的，不仅是分析学的基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分割地联系在一起。,2008年9月24,-,14,1.1集合及其运算,1、集合概念,具有某种确定性质对象的全体.,组成这个集合的个别对象称为该,集合,元素,(简称元),(集),元素.,集合的,通常以大写字母,等表示集合,以小写字母,等表示集合的元素.,否则记,记作,或,注：集合中的元素具有确定性、无重复性、无序性。,2008年9月24,-,15,2表示法,(1)列举法：,把集合的全部元素一一列出来,例,有限集合,自然数集,(2)描述法：,x所具有的性质P(x),例整数集合,或,有理数集,p与q互质,实数集合,x为有理数或无理数,外加花括号.,正整数集,2008年9月24,-,16,3集合的关系,两个集合,一般地,如,则,子集,则称,集合A与B相等,记作,则称,子集,(读作A含于B),或,(读作B包含A).,集合相等,记作,2008年9月24,-,17,如,空集.,不含任何元素的集合称为,则称,真子集,记作,如,N,Z,Q,R.,真子集,空集,规定,空集为任何集合的子集.,今后在,提到一个集合时,一般都是,如不加特别声明,非空集.,2008年9月24,-,18,集合之间的相等与包含关系具有以下几个性质:,(1)反身性,(2)反对称性,(3)传递性,注：空集是唯一的。,2008年9月24,-,19,例确定下列命题是否为真（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）aa；（7）aa；（8）aa，a；（9）aa，a。,注:（i）理解符号和的区别和联系(ii)理解集合和；a和a的区别和联系。,2008年9月24,-,20,给定两个集合A,B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,或,4集合的三种基本运算,2008年9月24,-,21,研究某个问题时所考虑的对象的全体,记作,例如,则,余集或补集.,AB,AB,并用X表示,称为,全集或基本集,并把差积,特别称为A的,例如,在实数集R中,集合,的余集,B关于A余(补)集,2008年9月24,-,22,(1),(2),(4),(3),2008年9月24,-,23,例用文氏图表示下列集合。,(1),2008年9月24,-,24,(2),2008年9月24,-,25,(3),2008年9月24,-,26,例用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分,(1),解：,2008年9月24,-,27,(2),解：,2008年9月24,-,28,5.集合的运算法则,为任意三个集合,则下列法则成立:,(1)交换律,AB,=BA,AB,=BA;,(2)结合律,(AB)C,=A(BC),(AB)C,=A(BC);,(3)分配律,(AB)C,=(AC)(BC),(AB)C,=(AC)(BC);,(4)对偶律,(AB)C,=ACBC,(AB)C,=ACBC;,2008年9月24,-,29,(5)幂等律,AA,AA,(6)吸收律,A,=A,=A;,=A,A,=,2008年9月24,-,30,定义两个确定了先后次序的元素a,b组成的元素对,称为有序元素对,简称为有序偶,记为(a,b)。且规定,笛卡儿乘积,(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d.,注:有序偶(a,b)和集合a,b的区别.,2008年9月24,-,31,定义有序偶集合(a,b)|aA,bB称为集合A和B的笛卡儿乘积,记为AB.,例设A=1,2,3,B=x,y,求AB,BA。,(2)一般的,ABBA。,注:(1)A=B=;,特例:,为平面上的全体点集,2008年9月24,-,32,1.2实数集的完备性与确界定理,实数的定义,1实数及其性质,2008年9月24,-,33,实数集的一些重要性质,四则（有理）运算封闭性：,实数全体对加、减、乘、除运算封闭,有序性：,任意两实数a,b必满足下述三个关系之一：,稠密性：,任意两个不相等实数之间还有另一个实数，,所以任意两个实数之间必存在无穷多实数.,有理数集也具有稠密性！,2008年9月24,-,34,完备性:,实数的连续性,有理数集不具有！,（实数的连续性）,2008年9月24,-,35,逻辑符号,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“”,表示“任取”,或“任意给定”.,“”,表示“存在”,“至少存在一个”,或“能够找到”.,Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写,Exist(存在)的字头E的倒写,“”,表示“蕴含”,或“推出”.,“”,表示“等价”,或“充分必要”.,2008年9月24,-,36,2008年9月24,-,37,2绝对值与不等式,运算性质,2008年9月24,-,38,几个常用的绝对值不等式:,2008年9月24,-,39,几个重要不等式,2008年9月24,-,40,几何平均值,算术平均值,2008年9月24,-,41,区间是用得较多的一类数集(实数集合),具体是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,在数轴上可表示为,3.区间,2008年9月24,-,42,在数轴上可表示为,除了开区间和闭区间外,我们还可类似定义如下区间:,2008年9月24,-,43,除了有限区间外,我们还可以定义所谓的无限区间.通过引入记号+(读作正无穷大)及-(读作负无穷大),则可类似地表示无限区间.如:,注:以上这些区间均称为有限区间,数ba称为这些区间的长度(区间两端点间的距离),从数轴上看,这些有限区间是长度有限的线段.,2008年9月24,-,44,注:在不需要辨明所论区间是否包含端点,以及是有限区间还是无限区间时,我们可简单地称其为“区间”,且常用I表示.,全体实数R可记作(-,+),为一无穷区间.,2008年9月24,-,45,4邻域:,2008年9月24,-,46,2008年9月24,-,47,2008年9月24,-,48,5有界数集与确界原理,有界数集,定义1.1(有界数集）,2008年9月24,-,49,2008年9月24,-,50,因此A无上界.,例,2008年9月24,-,51,确界,若数集A有上界,则必有无穷多个上界,而其,中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为,上确界,记作supA.同样,若A有下界,则最大的下界称为下确界，记作infA.,先给定确界的直观定义,M,M2,M1,上确界,上界,m2,m,m1,下确界,下界,2008年9月24,-,52,定义2（确界的精确定义）,设A为实数集R的非空子集，若数s满足以下两条：,则称s为实数集A的上确界，记作supA,若数t满足以下两条：,则称t为实数集A的下确界，记作infA,2008年9月24,-,53,证先证supA=1.,例,2008年9月24,-,54,注：实数集的上界、下界、上确界,下确界均未必存在，若上确界,下确界存在则唯一,2008年9月24,-,55,任一有上（下）界的非空实数集必有上（下）确界.,注：非空有界实数集的上（下）确界是唯一的！,定理1.1(确界原理),以下确界原理也可作公理,不予证明.,问题：满足什么条件的实数集必有上确界和下确界？,上述确界原理的证明利用到实数集的完备性.,2008年9月24,-,56,数集的最大数、最小数与上确界、下确界的关系,设A为实数集R的非空子集，且A有最大值和最小值，则,证明,b0为是数集A的一个上界，并且比b0小的数都不是A的上界，所以b0就是最小的上界。,2008年9月24,-,57,1.3映射与函数的概念,1、映射的概念,定义,设A、B是两个非空集合,如果存在,一个法则f,使得对,通过f,在B中有唯一,确定的元素y与之对应,则称f为,从A到B的映,(或算子),记作,并称y为x(在映射f下)的,象,即,x称为y(在映射f下)的,原象.,射,定义域,即,记,或,称为映射的值域,2008年9月24,-,58,对,元素x的象y是唯一的;,而对,元素y的原象不一定是唯一的;,映射f的值域,是Y的一个子集,不一定,(2),(1),集合A,即定义域,对应法则f,使对,有唯一确定的,与之对应.,二个要素:,构成一个映射必须具备以下,(3),设,若,则称映射,f与g相等，记作,2008年9月24,-,59,2008年9月24,-,60,若,，就称该映射是A到B上的映射(即满射).,若中的每个y，都有唯一的原象，则称为单射.,若,必有,若映射f,则称f是,一一映射,(或双射)，,又是单射,既是满射,即，,即B中任一元素y都是A中某,元素的象.,即，,若,必有,2、一一映射与对等,2008年9月24,-,61,2008年9月24,-,62,例,设,对应关系:,既非满射,又非单射;,满射,非单射;,单射,非满射;,满射,单射,即为一一映射.,对定义域内的任一x,2008年9月24,-,63,(1)如图,令由A到B的对应关系为,则f是一个从A到B的映射.,练习,满射,单射,即为一一映射.,(2),令,则f是一个从N+到B的映射.,满射,单射,即为一一映射.,2008年9月24,-,64,映射又称为,算子。,根据集合A、B的,不同情形,在不同的数学分支中,映射,又有不同的惯用名称：,非空集A到数集B的映射称为,泛函,非空集A到它自身的映射称为,A上的变换,从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为,定义在A上的函数,2008年9月24,-,65,定义设A和B是两个非空集合，若存在映射,则称集合A与B对等(等势），记为,若两个集合彼此对等，则认为它们个数是相同的！,(1)反身性：,(2)对称性：若,，则,(3)传递性：若,，则,等价关系,对任意的集合A，B，C，对等关系具有如下性质,2008年9月24,-,66,例,2008年9月24,-,67,3函数的概念,定义1.4,设实数集,则称映射,为定义在A上的函数,通常简记为,自变量,因变量,定义域(domain),定义中,按对应法则f,总有唯一,确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的,函数值,记作,函数关系,函数值,全体组成的集合称为,range,记作,即,函数f的值域,2008年9月24,-,68,2008年9月24,-,69,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,两函数只有在定义域和对应法则皆相同时才能称为相同.,2008年9月24,-,70,2008年9月24,-,71,2008年9月24,-,72,常用的定义函数的方法,列表法,图像法,2008年9月24,-,73,取自变量在横轴上,在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指,变化,平面点集:,通常是一条或几条,曲线(包括直线).,中的集合,函数的图像,函数的一种直观表示方法.,2008年9月24,-,74,常用的定义函数的方法,解析法显函数形式（y由x的解析式直接表示出来）隐函数形式（y没有由x的解析式直接表示出来)分段函数形式（函数在其定义域的不同范围内具有不同的解析表达式）,2008年9月24,-,75,例,2008年9月24,-,76,练习,设,2,0,填空:,2008年9月24,-,77,2.用分段函数表示函数,分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:,即,而不是几个函数.,2008年9月24,-,78,几个今后常引用的函数,绝对值函数,例,定义域,值域,2008年9月24,-,79,符号函数,定义域,值域,对,例,有,或,2008年9月24,-,80,取整函数,如,例,当,阶梯曲线,定义域,值域,表示不超过x的最大整数,2008年9月24,-,81,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(x为有理函数),(x为无理函数),定义域,值域,有理数点,无理数点,2008年9月24,-,82,取最值函数,例,2008年9月24,-,83,1函数的有界性:,例如函数y=sinx,y=cosx在（-,+)上均为有界函数.,函数的几种特性,2008年9月24,-,84,2008年9月24,-,85,是单调增加;,如果对,恒有,（若改为严格不等号时，称为严格单调增加的）,2函数的单调性:,例：y=ex在（-,+)内单调增加。,2008年9月24,-,86,是单调减少.,如果对,恒有,（若改为严格不等号时，称为严格单调减少的）,2008年9月24,-,87,注:单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.,应指明单调区间,否则会产生错误.,2008年9月24,-,88,3函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,2008年9月24,-,89,4函数的周期性:,2008年9月24,-,90,周期为的周期函数,注:并非所有周期函数都存在最小正周期.,2008年9月24,-,91,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(当x是有理函数时),(当x是无理函数时),这是一个周期函数,任何正有理数r都是它,的周期.,因为不存在最小的正有理数,所以没有,最小正周期.,2008年9月24,-,92,定义.,由上述映射链可定义由A到C的映射称为g与f构成的复,设有映射链,记作,合映射,或,1.4复合映射与复合函数,(1)复合映射,称为复合运算,注意:构成复合映射的条件,不可少.,2008年9月24,-,93,定义.,由上述函数链可定义由A到C的函数称为g与f构成的复,设有函数链,记作,合函数,或,(2)复合函数,复合映射的特例,注意:构成复合函数的条件,不可少.,2008年9月24,-,94,(1)逆映射的定义,定义:,设映射,若存在另一映射,使,记成,例如,映射,其逆映射为,其中,称此映射,为f的逆映射.,称f是可逆映射.,设映射,为f的逆映射的充要条件是,1.5逆映射与反函数,2008年9月24,-,95,定理1.2映射是可逆映射的充分必要条件是为到的一一映射。,定义设是非空集合，定义映射如下：称是上的恒等映射或单位映射。,2008年9月24,-,96,（2）反函数,(i)反函数的概念及性质,设函数,若存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为f的反函数.,2008年9月24,-,97,问题:满足什么条件的函数才有反函数?,回答:构成一一映射的函数就有反函数。,则其反函数,(减).,1)yf(x)严格单调递增,且也严格单调递增,性质:,(减),2008年9月24,-,98,（ii)函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,例如,对数函数,互为反函数,它们都严格单调递增,指数函数,2008年9月24,-,99,1.6初等函数与双曲函数,1.基本初等函数,常数函数;幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数,2008年9月24,-,100,幂函数,2008年9月24,-