长沙长郡中学 开放性与探索性问题

长郡中学高三数学组,开放性与探索性问题,解决这类问题的途径:通过分析判断，演绎推理，观察联想，化归转化，尝试探求，猜想验证等多种思维形式去寻找解题途径。,探索性问题分条件探索性问题，结论探索性问题和存在探索性问题。,一、条件探索性问题,解决条件探索性问题的策略有：,（1）模仿分析法。将题设和结论视为已知条件，分别进行演绎再有机地结合起来，推导出所需寻求的条件。,（2）设出题目中指定的探索条件，将此假设为已知，结合题设条件列出满足结论的等量或不等量关系，通过解方程或不等式，求出所需寻找的条件。,例1：已知当,时，不等式,恒成立，,的取值范围,试求,解法一：,令x=0,x=1由已知条件可知，,设,由,可知,可得,所以,解法二：,令x=0,x=1由已知条件可知,令,所以,解得,所以,解法一：,的解集,此时显然,，则,得,当,，或,，或,时，,为含有三个元素的集合,如图1,如图2,解法二：,（,（2）如图2，直线m与单位圆相交于（0，1）与另外一点，而直线n与单位圆相切，或直线m与单位圆相切，直线n与单位圆相交于两点，或直线m与直线n相交于（0，1）时，两条直线与单位圆相交于三点。,评注：本题给出了两种探究方式，解法一的方式是从式子的意义出发，联立方程组求解，运用了分类讨论的数学思想，对思维的严谨性要求较高。解法二的方式是从直观图形出发，找到了思维的依靠点，这样便于找到各种情况，很难出现遗漏。,例3：在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BECF,（1）当E、F在何位置时，B1FD1E；,（2）当E、F在何位置时三棱锥C1CEF的体积取得最大值，并求此时二面角C1EFC的大小,设BEx，则有B1(a，0，a)，D1(0，a，a)，E(a，x，0)，F(ax，a，0),因此，无论E、F在何位置均有B1FD1E,，,即二面角C1EFC的大小为,评注：立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数。这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法。,解：,，,（1）由已知条件,所以,所以,。,时，,另一方面，,为常数，也可以理解为,（t与n无关）对n2恒成立，即方程,对n2恒成立，,在条件a1下，同样可得,这里运用了代数恒等思想。,（此时t必等于2）,二、结论性探索性问题,所以原不等式对于任意正数c不都成立。,，,点评：,（1）从一般性入手，讨论原不等式成立的等价条件，然后对所探究的结论下结论；,（2）的探索成功关键是分类讨论，通过分情况为所探讨结论进行研究，然后获得更全面的结论。,（2）求粒子从原点运动到点P(16，44)时所需的时间；,（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。,B5,y,x,B4,B3,B2,B1,A1,A2,A3,A4,A6,A5,C1,C2,C3,C5,即,，,点评：从起始项入手，逐步展开解题思维，由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在。,例7：（2005年全国卷）已知椭圆的中心为坐标原点0，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA+OB与a=(3,1)共线。,（1）求椭圆的离心率,令,则,则,又,故,M(x,y)在椭圆上,由（1）知,点评：两问作为结论性探索性，在考察直线与椭圆的位置关系时，没有设置直线方程，而是设出椭圆上点的坐标，通过整体运算，使问题获解。,三、存在探索性问题,解决存在探索性问题的策略是：,一般是假设结论的某一方面成立，然后进行演绎推理，或导出矛盾，即可否定假设，或推出合理结论验证后即可肯定结论，对于“存在”，“不存在”已肯定的问题，或直接用条件证明或采用反证法说明。,例8：如图，已知正四棱柱,的底面边长为4，,确定P点的位置；若不存在，请说明理由,则有,解得,令z=6得,评注：本题是立体几何的位置确定的探索性问题，,(1）一般是已知P点的位置，求二面角，但在此已知二面角来确定P的位置，可运用方程求解待定参数。,（2）运用了：“要否定一个结论只需寻找一个反例即可”的思维方式。,(1)椭圆C的中心为M(x,y),证明:无论t为何值,椭圆的长、短轴之长均为定值.并写出M的纵坐标y关于横坐标x的函数关系式,解：()由C的方程整理得,消去t得,()由,()从观察特殊情况入手,由,由于,为了推广,可用数学归纳法.,时,命题也成立.,故存在区间,例10、,解（1）,，,（2）用反证法,又,即,点评：例9的推理从特殊到一般，为证明一般结论成立，运用了强有力工具数学归纳法；例10（2）的证明，采用了反证法，对于解决存在性探索性问题，很有代表性。,以上三个方面举例，较全面地讨论了开放性与探索性问题求解的基本思路与方法，但由于这类问题的条件或结论的不确定性，使我们解答过程中不能仅从一个思维层面上思考