高三数学 三角形中的问题 新课标

三角形中的问题,目的与要求,1：运用三角形内角和，正弦定理，余弦定理等解斜三角形。2：运用正弦定理，余弦定理及三角变换公式进行边角转换，研究三角形中的边角或判断三角形的形状。3:运用正弦定理，余弦定理及三角变换公式解三角形中的有关求值问题。,基础知识：一、三角形的分类：（判断，性质）1边：等腰三角形（等边三角形）不等边三角形2角：锐角三角形直角三角形钝角三角形注：含300，450，600的直角三角形,关注特殊:三角形,A,B是锐角三角形的两个内角，则下列不等式成立的是sinA+sinBcosA+cosB;sinA+cosA1;sin(A+B)cos(A+B);cosA+cosB1,一个三角形的三边长之比为3:4:6，则此三角形形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形,已知两线段a=2,b=22，若以a,b为边作三角形,则a边所对的角A的取值范围_.,3、正弦定理,4、余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,两边夹角,角边互化（重视结构）,二、三角形的边角关系1、三边不等式关系2、大边对大角，大角对大边,cosA=,2、一个三角形的三边长之比为3：5：7，则此三角形形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形,课前预习：,3、在ABC中，若则此三角形是（）A.等腰三角形B.等腰或直角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形,课前预习：6：几何画板演示,典型例题：,例题1：在ABC中，A，B，C所对的边分别是a,b,c。1。若a,b,c在成等比数列，且a2-c2=ac-bc,求(1)求角A的度数；(2)求bsinB/c的值。解：（1）a,b,c成等比数列，b2=accosA=A=60(2),2：若cosA=1/3求(1)的值；解：cosA=-cos(B+C)=cos(B+C)=-+cos2A=1-cos(B+C)+2cos2A-1=-1/9(2)若a=3,求bc的最大值。解：a2=b2+c2-2bccosA即3=b2+c2-bcb2+c2bc34bc/3即bc9/4，当且仅当b=c时取等号bc的最大值为9/4,例题2：在三角形ABC中，设角A，B，C的对边a,b,c成等比数列。(1)求证：(2)求证：(3)求y=(1+sin2B)/(sinB+cosB)的取值范围。解:a,b,c成等比b2=ac即sin2B=sinAsinC(1)cosB=(a2+c2-b2)/2ac=(a2+c2-ac)/2ac1/2而B(0,），0B/3（2）=,例题3：已知圆O的半径为R，若在它的内接三角形ABC中，等式2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB成立。求(1)角C的大小；(2)三角形ABC的面积S的最大值。解：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,由已知得：a2-c2=2ab-b2cosC=(a2+b2-c2)/2ab=2/2即C=45（2）a2+b2-c2=2ab又c=2RsinC=2Ra2+b2-2ab=2R2ab-2ab=（2-2）abab（2+2）RSABC=absinC=,例4:在三角形ABC中.c=10,cosA:cosB=b:a=4:3.(1)求证:三角形ABC是直角三角形(2)设圆O过A,B,C三点,点P在位于劣弧AC上,求当点P在何处时,四边形ABCP的面积最大?最大面积是多少?,解:(1)cosA:cosB=b:a=4:3cosA:cosB=sinB:sinA,且ab即sin2A=sin2B2A+2B=即A+B=90即三角形ABC是直角三角形(2)三角形ABC是直角三角形且c=10,b:a=4:3a=6,b=8,cosB=3/5.又CPA=-B,cosCPA=-3/5设CP=x,PA=y,则x2+y2-2xycosCPA=64xy20,当且仅当x=y时取等号.SAPC=2xy/58即当P为弧AC的中点时,四边形ABCP的面积最大,最大值为32.,例5.已知向量m=(1,1),向量n与m的夹角为135,且mn=-1(1)求向量n.(2)若向量n与q=(1,0)的夹角为90,向量p=(cosA,2cos2C/2),其中A,B,C为三角形ABC的内角,A,B,C成等差数列,求n+p的取值范围.,解(1)设n=(x,y),由题意,得:n=(0,-1)或n=(-1,0)(2)n与q的夹