控制理论第5章

第5章根轨迹法,主要内容根轨迹的基本概念根轨迹所遵循的幅值和幅角条件绘制根轨迹的基本规则及步骤,5.1控制系统的根轨迹,控制系统的稳定性可由闭环极点唯一地确定,控制系统的过渡过程的基本特性是由闭环极点和零点在s平面上的位置共同决定,分析研究控制系统的性能时，确定闭环系统极点、零点在s平面上的位置显得尤为重要。,特别是设计控制系统时，希望通过调节系统开环极点、零点，使闭环极点、零点处于s平面上的合理位置上。,求解闭环系统的特征方程困难,观察不到系统参数变化对闭环系统性能的影响,1948年，由伊文思（W.R.Evans）提出。是一种求闭环系统特征根的简便的图解法，该方法在控制工程中广泛应用。是在已知控制系统开环传递函数极点、零点分布的基础上，研究某种参数的变化对控制系统闭环传递函数极点分布影响的一种图解法。,根轨迹法的提出,根轨迹法的任务由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。,开环增益,5.1.1根轨迹的基本概念,根轨迹系统开环传递函数的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上的变化轨迹。,特点：（1）图解方法，直观、形象。（2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势。（3）近似方法，不十分精确。,5.1.1根轨迹的基本概念,图5.1单位负反馈控制系统方框图,(5.1),开环传递函数为:,(5.2),式(5.2)中k=2K，T=0.5，此式便是根轨迹法所使用的传递函数形式,开环放大系数,根轨迹放大系数可变系数,两个开环极点为：闭环传递函数为:,特征方程为:,(5.3),(5.4),作当可变参数k从零变到无穷大时的根轨迹，求特征方程的根，其根为,(5.5),图5.2控制系统所有k值范围的根轨迹图,根轨迹：系统开环传递函数的可变参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上的变化轨迹。根轨迹起点是可变参数等于零时的开环极点。,5.1.2控制系统根轨迹的分析,化成闭环系统通式的形式为：,(5.6),(5.7),系统的运动方程为,(5.1),拉氏变换反变换,如果控制系统输出信号与输入信号之间的关系可用二阶微分方程来描述的系统，均称为二阶系统。二阶系统的闭环传递函数标准形式为,(5.8),式中：无尼阻自振频率；尼阻比；时间常数。,将式(5.6)化成闭环传递函数的标准形式,(5.9),由式(5.9)得二阶系统特征方程为,(5.10),由式(5.10)得二阶系统两个根，即闭环极点为,(5.11),(5.9),(5.11),因根轨迹在s平面虚轴的左半面，所以该系统对所有K值都是稳定的。当0K0.5(即0k1)时，系统具有两个不相等的负实根，此时系统的动态响应是非振荡的。当0.5K(即1k6时，闭环主导极点位于右半s平面，因而导致系统不稳定。,如果有必要可以利用幅值条件，将增益k标定到根轨迹上。这时只要在根轨迹上选择一点，并测量出三个复数量s、s+1和s+2的幅值大小，然后使这三个量相乘，它们的乘积就等于该点上的增益k值，即,2)系统动态性能指标的计算,己知时，；系统的闭环极点为,由上式知,应用闭环主导极点的概念，将负实极点忽略，将系统近似成二阶系统，则,从而可以求得系统动态性能指标为：,超调量：,上升时间：,峰值时间：,过渡过程时间：,振荡次数：,系统性能,系统的开环零、极点位置,根轨迹,闭环极点位置,（1）系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。（2）如果闭环极点均为负实数，且无零点，则系统的暂态响应为非振荡的，响应时间取决于距离虚轴最近的极点，若其它极点距离虚轴的距离比最近极点的距离大5倍以上，可以忽略不计。,系统闭环零、极点位置与暂态响应的关系,（3）如果系统具有一对闭环主导极点，则系统的暂态响应呈振荡性质，其超调量主要取决于主导极点的衰减率,并与其它极点接近原点的程度有关，调整时间主要取决于主导极点的实部,（4）如果系统中存在非常接近的零点和极点，其相互距离比其本身的模值小一个数量级以上，则把这对闭环零、极点称为偶极子。偶极子的位置距离原点非常近时，其对暂态响应的影响一般需要考虑，但不会影响闭环主导极点的主导作用。偶极子的位置距离原点较远时，其对暂态响应的影响可以忽略。,（5）除其它闭环极点外的其它极点的存在会增大系统的阻尼比，使响应速度减慢，超调量减少。闭环零点的存在减小系统阻尼，使响应速度加快，超调量增加。,第5章复习题1.何谓根轨迹法？它的作用是什么？2.根轨迹的幅值条件和辐角条件如何表达？3.