参数的区间估计完整版本

.,6.4参数的区间估计,2010年11月,.,矩估计与极大似然估计，都是一种点估计。点估计的两个缺陷:(1)不能说明估计值与真值的偏差到底有多大(精确性);(2)不能说明这个估计有多大的可信度(可靠性);区间估计是指用一个(随机)区间去做未知参数的估计，可以解决这两个不足。,点估计与区间估计:,.,例:设有一批电子元件的寿命XN(a，），现从中抽取容量为的一组样本，算得其样本均值为小时，试估计a,解：由点估计,a的估计值为.实际上a的值是非真是000呢？显然，不同的抽样，可得到不同的值，故000与a会有差异这种差异有多大呢？我们从另一个角度考虑,.,.,取=0.05,在保持面积不变的条件下,以对称区间的长度为最短.,.,.,置信度为0.95是指100组样本值所得置信区间的实现中,约有95个能覆盖,而不是说一个实现以0.95的概率覆盖了.要求以很大的可能被包含在置信区间内,就是说,概率要尽可能大,即要求估计尽量可靠.置信度即可靠度.区间的宽度反映了估计的精度.显然,区间越小,精度越高.区间估计中的精确性与可靠性是相互矛盾的.当样本容量一定时,提高估计的可靠度，将降低估计的精度，相反，提高估计的精度，将降低估计的可靠度.在实际使用中,总是在保证一定的可靠度的情况下尽可能地提高其精度.,.,区间估计的步骤,X,S2分别是其样本均值和样本方差,XN(,2/n),求参数、2的置信水平为1-的置信区间.,设X1,Xn是总体XN(,2)的样本,确定未知参数的估计量及其函数的分布,是的无偏估计量,由分布求分位数Z/2,即得置信区间,(一)单个正态总体置信区间的求法,(1)已知方差2时,故可用X作为EX的一个估计量,N(0,1),对给定的置信度1-,由Z/2确定置信区间,有了分布就可求出U取值于任意区间的概率,简记为,由抽样分布定理知,1.均值的置信区间,故不能采用已知方差的均值估计方法,由于与有关,但其解决的思路一致.,由于S2是2的无偏估计量,查t分布表确定/2分位数,令,T=,(2)未知方差,用分布的分位数求的置信区间.,故可用S替代的估计量:,S,t(n-1),即为的置信度为1-的区间估计.,2时,由抽样分布定理知,实用价值更大!,t/2(n-1),(2)未知时,所以2的置信水平为1-的区间估计为,因为2的无偏估计为S2,2.方差2的,置信区间的求法,由抽样分布定理知,2=,由确定2分布的/2分位数,找一个含与S,但不含,且分布已知的统计量,为了计算简单,在概率密度不对称的情形下,如2分布,F分布,习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.,并不是最短的置信区间,/2,/2,.,.,.,.,设X1,Xm分别是总体XN(1,12)的样本,Y1,Yn分别是总体YN(2,22)的样本,X,Y分别是总体X和Y的样本均值,求参数1-2和12/22的置信水平为1-的置信区间.,由于X,Y分别是1,2的无偏估计量,即得置信区间,(二)两个正态总体,(1)已知方差12,22时,故可用X-Y作为1-2的一个估计量,N(0,1),对给定的置信度1-,查正态分布表可得u/2,由抽样分布定理知,1.均值1-2的置信区间,SX2,SY2分别是总体X和Y的样本方差,置信区间的求法,设X1,Xm分别是总体XN(1,12)的样本,Y1,Yn分别是总体YN(2,22)的样本,X,Y分别是总体X和Y的样本均值,求参数1-2和12/22的置信水平为1-的置信区间.,即得置信区间,(二)两个正态总体置信区间的求法,(2)未知方差12,22,但12=22=2时,仍用X-Y作为1-2的一个估计量,t(n+m-2),对给定的置信度1-,查t分布表可得,由抽样分布定理知,1.均值差1-2的置信区间,SX2,SY2分别是总体X和Y的样本方差,t/2(n+m-2),设同上,求参数12/22的置信水平为1-的置信区间.,即得12/22的置信区间,(二)两个正态总体置信区间的求法,(2)未知1,2时,F(m-1,n-1),对给定的置信度1-,查F分布表可得分位数,由抽样分布定理知,2.方差比12/22的置信区间,F/2(m-1,n-1),F1-/2(m-1,n-1),主要根据抽样分布Th,(二)两个总体,由的概率分布和置信水平1-,确定其相应的分位数x/2;,小结正态总体置信区间的求法,(一)单个总体,均值,已知方差2,均值差1-2,已知方差12,22,方差2,未知方差2,解得所求的置信区间,根据未知参数的无偏估计量,确定其某个估计量;,由不等式,已知均值,未知均值,未知方差12,22,方差比12/22,已知均值1,2,未知均值1,2,但相等!,.,6.4分布参数的区间估计,一、置信区间公式,二、典型例题,.,一、置信区间公式,.,推导过程如下:,因为(01)分布的均值和方差分别为,因为容量n较大,由中心极限定理知,.,.,二、典型例题,设从一大批产品的100个样品中,得一级品60个,求这批产品的一级品率p的置信水平为0.95的置信区间.,解,一级品率p是(0-1)分布的参数,例1,.,p的置信水平为0.95的置信区间为,.,设从一大批产品的120个样品中,得次品9个,求这批产品的次品率p的置信水平为0.90的置信