状态空间描述法ppt课件

.,第九章状态空间描述法,9.1线性系统的状态空间描述,9.2状态方程求解,9.3可控性与可观测性,9.4状态反馈与状态观测器,End,.,9.1线性系统的状态空间描述法,1控制系统的两种基本描述方法：输入输出描述法经典控制理论状态空间描述法现代控制理论2经典控制理论的特点：(1)优点：对单入单出系统的分析和综合特别有效。(2)缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入单出系统。3.现代控制理论(1)适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。(2)可处理时变、非线性、多输入多输出问题。(3)应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制,9.2,9.3,9.4,一、问题的提出,.,1.先看一个例子：例9.1试建立图示电路的数学模型。,二.状态和状态空间,.,2.状态与状态变量的定义,在已知ur(t)的情况下，只要知道uc(t)和i(t)的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记,控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组，该组中的每个变量称为状态变量。,如上例中,为系统的状态，为状态变量。,.,3.状态向量,4.状态空间:定义:所有状态构成的一个实数域上的(线性)向量空间称为状态空间。5.方程:状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达式称为状态方程(见上例);系统输出量y(t)与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程。,.,三.状态变量的选取,1.状态变量的选取是非唯一的。2.选取方法（1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。（2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i、电容电压uc、质量m的速度v等。,.,例9.2图示弹簧质量阻尼器系统，外作用力u(t)为该系统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状态方程和输出方程。,.,例9.3已知系统微分方程组为,其中，ur为输入，uc为输出，R1、C1、R2、C2为常数。试列写系统状态方程和输出方程。,.,解：,选,写成向量矩阵形式：,.,四.状态空间表达式,1.单输入单输出线性定常连续系统,.,2.一般线性系统状态空间表达式（p输入q输出）,3.线性定常系统状态空间表达式,.,.,五.线性定常系统状态空间表达式的建立,1.方法:机理分析法、实验法2.线性定常单变量系统(单输入单输出系统)(1)由微分方程建立,在输入量中不含有导数项时：,.,例9.4已知系统微分方程为,列写系统的状态空间表达式。,写成向量-矩阵形式(或系统动态结构图):,解：选,输入量中含有导数项时：,.,可控规范型实现,(2)由传递函数建立即实现,.,B）bn0,.,例9.5已知系统的传递函数为,试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。,解:由bn=b3=0,对照标准型,可得实现为,.,例9.6已知系统的传递函数为,试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。,解:由bn=b30,对照标准型,.,例9.7已知系统的传递函数为,试求其能观测规范型实现，并画出系统状态图。,与能控规范型关系：A*=AT，B*=CT，C*=BT,能观测规范型实现,.,对角线规范实现,.,结构图,的对角线规范型实现，并画出系统状态图。,例9.8求,.,解：,则对角线规范型实现为,.,约当规范型实现-特征方程有重根时,.,.,.,当G(s)有重极点时，设-pi中有k重极点,.,.,例9.9,.,(3)状态空间表达式的线性变换,思路：,变换前后系数矩阵关系：,代入原状态方程，有,.,变换为对角线规范型。,例9.10试将状态方程,解：.求特征值：,.求特征向量和变换矩阵P,=-1对应的p1,.,3线性定常多输入多输出系统,(1)传递函数矩阵与状态系数矩阵间的关系,.,(2)开环与闭环传递矩阵,(3)传递矩阵的对角化,.,(4)传递矩阵的实现,1)单输入多输出时的实现,.,可控规范型,.,例9.11试求下列单输入双输出系统传递函数矩阵的可控标准形实现。,解：,.,2)多输入单输出时的实现,解题思路：求对应的单入多出系统GT(s)的实现；利用对偶关系求G(s)的实现。,例9.12线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标准形实现。,解：1）先求对应的单输入双输出系统的实现,.,.,2）再转换为双输入单输出系统的实现,故原系统的实现为:,.,方法的验证,.,对比原题所给传递函数，可见结果一致。,.,本节作业,刘豹.P481-41-5(1)1-7,.,9.2状态方程求解,线性定常连续系统,1.齐次状态方程的解,（1）幂级数法设解为：,9.3,9.4,9.1,.,.,拉氏变换法,由两边取拉氏变换，得SX(s)-X(0)=AX(s)(SIA)X(s)=X(0)X(s)=(SIA)-1.X(0)两边取拉氏反变换x(t)=L-1X(s)=L-1(SI-A)-1X(0)=L-1(SI-A)-1X(0)比较前式，有eAt=L-1(SI-A)-1,.,状态转移矩阵的运算性质,(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+(1/k！)Aktk+(0)=I初始状态,(2),(t1t2)=(t1)(t2)=(t2)(t1)-线性关系-1(t)=(-t)，-1(-t)=(t)-可逆性x(t)=(t-t0)x(t0)x(t0)=(t0)x(0),.,则x(t)=(t)x(0)=(t)-1(t0)x(t0)=(t)(-t0)x(t0)=(t-t0)x(t0)（6）(t2-t0)=(t2-t1)(t1-t0)=e(t2-t1)Ae(t1-t0)A可分阶段转移,(t)k=(kt)e(A+B)t=eAt.eBt=eBt.eAt(AB=BA)e(A+B)teAt.eBteBt.eAt(ABBA)引入非奇异变换后，两种常见的状态转移矩阵,.,.,例9.13设有一控制系统，其状态方程为,在t0=0时，状态变量的初值为x1(0)x2(0)x3(0),试求该方程的解。,.,.,.,试求A及(t)。,例9.14设系统状态方程为,.,解方程组得，11(t)=2e-te-2t,12(t)=2e-t2e-2t21(t)=-e-t+e-2t,22(t)=-e-t+2e-2t,.,例9.15设系统运动方程为,式中a、b、c均为实数，试求：求系统状态空间表达式。求系统状态转移矩阵。,.,2.非齐次状态方程的解,直接法（积分法）,(2)拉氏变换法,sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)(sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s)x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)则x(t)=-1(sI-A)-1x(0)+-1(sI-A)-1Bu(s)(由eAt=-1(sI-A)-1可得),.,例9.16在上例中，当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态方程的解。,.,例9.17设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下,所示。试用状态空间法对系统进行分析。,解：由图,.,.,本节作业,刘豹.P772-32-5(3)2-6,.,一、可控与可观测的概念、意义,9.3可控性与可观测性,9.2,9.4,9.1,.,设线性定常连续系统的状态空间表达式为：,如果存在一个控制u(t)，能在有限时间间隔to,tf内，使系统从其一初态x(to)转移到任意指定的终态x(tf)，则称此状态x(to)是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。,二、定义,1.可控性定义,.,三、可控性与可观测性判据,系统在稳定输入u(t)作用下，对任意初始时刻to，若能在有限时间间隔to,tf之内，根据从to到tf对系统输出y(t)的观测值和输入u(t)，唯一地确定系统在to时刻的状态x(to)，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。,2.可观测性定义,可控规范型：,1.可控性判据,.,线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵：必须满秩。即（n为系统维数）,判据一：,试判别其状态的可控性。,解：,例9.18设系统状态方程为：,系统可控！,.,设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：,中，阵不包含元素全为零的行。,判据二:,例9.19已知三阶二输入系统状态方程,试判别其状态的可控性。,解：,不可控！,.,例9.20试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。,.,例9.21试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。,中，与每个约当小块的最后一行相对应的阵中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）,约当规范型,判据三：,.,判据一:线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵:,2.可观测性判据,必须满秩，即rankQo=n（n为系统维数）,可观测规范型：,.,例9.22已知系统的A,C阵如下，试判断其可观性。,例9.23试判别如下系统的可观测性。,解：,解：,.,的矩阵中不包含元素全为零的列。,设线性定常连续系统具有不相等的特征值,则其状态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线规范型:,例9.24试判别以下系统的状态可观测性.,判据二:,.,中,与每个约当块首行相对应的矩阵中的那些列,其元素不全为零。(如果两个约当块有相同的特征值,此结论不成立)。,约当规范型,判据三:,.,例9.25试判别下列系统的状态可观测性。,.,1）可控可观测的充要条件：由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数可约）。2）可控的充要条件：(SI-A)-1b不存在零极点对消。3）可观测的充要条件：c(SI-A)-1不存在零极点对消。,四、能控能观性与传递函数的关系,例9.26判断以下系统的状态可控性与可观测性。,1.单输入单输出系统,.,例9.27系统传递函数如下，判断其可控性与可观测性。,.,2.多输入多输出系统,1）可控的充要条件：(SI-A)-1B的n行线性无关。2）可观测的充要条件：C(SI-A)-1的n列线性无关。,例9.28用两种方法验证：系统（1）的状态可控性；系统（2）的状态可观测性。,.,例9.29,.,.,五、对偶原理,设系统S1(A1,B1,C1)与系统S2(A2,B2,C2)互为对偶系统，则:,若系统S1(A1,B1,C1)可控，则系统S2(A2,B2,C2)可观测；若系统S1(A1,B1,C1)可观测，则系统S2(A2,B2,C2)可控；证明：,.,六、线性系统的规范分解*,例9.30判断以下系统及其的状态可控性与可观测性。,线性系统可分解为四种系统：,能控能观测12.3.4.,.,1.能控性规范分解,定理n阶系统(A,B,C)，rankQc=kn，则通过非奇异变换,可导出原系统按能控性规范分解的新系统(Ac,Bc,Cc)，有,为能控子系统。,.,5-3,Tc的求法：,i)从QC中任选k(rankQC=k)个线性无关的列向量，它为Tc的前k列：V1,V2,Vk；ii)在Rn中再选n-k个列向量，记为Vk+1,Vn,需使得：,为非奇异。,.,设线性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能控，试将该系统按能控性进行分解。,例9.31,解系统能控性判别阵,rankQc=2n=3,所以系统是不完全能控的。,.,其中Tc3是任意的，只要能保证Tc非奇异即可。变换后的系统的状态空间表达式,即,能控子系统为,.,为能观测子系统。,可将原系统变换为按能观测规范分解的新系统(Ao,Bo,Co)，有,5-4,定理n阶系统(A,B,C)，rankQo=r0；当A=0时，|A|=0；(2)|A|=|A|为任意向量；(3)|A+B|A|+|B|；(4)|AB|A|B|；,.,几种常见的矩阵范数：,2范数,1范数,.,9.5.2平衡状态和稳定性,9.5.2.1平衡状态（平衡点）xe,xe一个状态变量，一旦系统到达此状态，则以后在无外力及扰动的情况下，总处于此状态。任意状态x(t)可表达为：x(t)=(t;t0,x(t0),u(t)平衡状态xe零输入状态下的不变状态，有xe=(t;t0,xe,0)=常量对于线性定常连续系统：,xe为平衡状态,线性定常离散系统：,x(k+1)=Gx(k)(2),.,9.5.2.2几个稳定性概念,可见，由线性定常连续系统（1）、离散系统（2）：,xe=0,线性定常系统：xe=0是唯一的渐近稳定的平衡状态。,(1)李亚普若夫意义下的稳定性,(SisLStabilityinthesenseoflyapunov或i.s.L稳定)xe平衡状态，x0初始状态（t0时刻）当且仅当对于任一实数0，对应地存在一个实数0，使：,|x0-xe|时，从任一初始状态x0出发的零输入响应(t;t0,x0,0)都满足,|(t;t0,x0,0)-xe|,tt0则称xe为lyapunov意义下稳定的（SisL）。,.,球域s()，半径为；球域s()，半径为。s()内的状态的自由运动总在s()内。若与t0无关，则称此平衡态xe是i.s.L一致稳定的，如下图。,一般，=(,t0)，即与和t0有关；,状态空间，以xe为原点，对给定正实数，以xe为球心、为半径构造一个超球体，球域记为s()。,几何解释：,.,(2)渐近稳定（ASasymptoticstability）称平衡态xe是渐近稳定（AS）的，如果满足：xe是i.s.L稳定的；,对于(,t0)和任意给定的实数0，对应地存在实数T(,t0)0使得满足的任一初态x0出发的零输入响应都满足：|(t;t0,x0,0)-xe|0(i=0,1,n-1)；有缺项或有负的系统不是AS。,.,2Hurwitz行列式判据:,线性定常系统为AS的充要条件判据,.,3Lienardchipart判据,只需要计算一半Hurwitz行列式。,例9.37,例9.38,.,9.5.3.2线性定常离散系统的渐近稳定性,若对于任意x(0),有,定理4.2特征值判据线性定常离散系统渐近稳定的充要条件为：G的所有特征值的幅值均小于1，即,（即G的特征值i均位于Z平面的单位内）。,.,9.5.4李亚普若夫第二法,基本思路：从能量观点进行稳定性分析：,1)如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的；2)反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是不稳定的；3)如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是Lyapunov意义下的稳定。,由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系;于是Lyapunov定义了一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性。,.,9.5.4.1(实)二次型,一般的一个实二次型是指n个变量的二次齐次多项式,可写成：,其中qij=qji。,其系数确定