第6章：信号的幅值相关功率谱分析

第6章信号的幅值、相关功率谱分析,确定性信号的分析方法:,6.1随机信号的基本概念,第6章信号的幅值、相关功率谱分析,6.2幅值域分析,6.3相关分析,6.4功率谱密度分析,6.5其他信号分析技术简介,6.1随机信号的基本概念,随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。换言之，随机信号是指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。,1、样本函数、样本记录、随机过程,样本函数：对随机信号进行多次长时间的观察记录，其中每次长时间观察记录所获得的时间历程,为一个样本函数,第6章信号的幅值、相关功率谱分析,样本记录：在有限长时间区间（t1,t2）上的样本函数xi(t),第6章信号的幅值、相关功率谱分析,1、样本函数、样本记录、随机过程,随机过程：在试验条件不变时所有样本函数的集合。,第6章信号的幅值、相关功率谱分析,1、样本函数、样本记录、随机过程,集合平均：利用随机过程|x(t)|中所有样本函数xi(t)在ti时刻的观察值进行运算再取其平均的方法。,在t1时刻的均方值,在t1时刻的均值,2、集合平均、时间平均,x1(t)的均方值,x1(t)的均值,时间平均：利用随机过程|x(t)|中第i个样本函数xi(t)，当观察时间T,对所有观察值进行运算再取其平均的方法。,2、集合平均、时间平均,若一随机过程的集合平均统计参数不随时间变化，则该随机过程称为平稳随机过程，反之称为非平稳随机过程。,6.1随机信号的基本概念,（1）平稳随机过程和非平稳随机过程,3、随机过程的分类,噪声信号(平稳),平稳随机过程,非平稳随机过程,（2）各态历经随机过程和非各态历经随机过程,在平稳随机过程中，若某随机过程用集合平均得到的统计参数与任一单个样本用时间平均得到的统计参数相同，则称为各态历经随机过程。,注意：各态历经随机过程一定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经随机过程,引入各态历经随机过程后：,1、可通过对某个样本函数的分析得到该随机过程的全部特征信息；2、以单个样本函数的时间平均统计特征代替集合平均统计特征值，减少了观测次数；3、使时间平均统计特征参数不随时间变化，减少观测时间。,6.1随机信号的基本概念,第6章信号的幅值、相关功率谱分析,6.2幅值域分析,6.3相关分析,6.4功率谱密度分析,6.5其他信号分析技术简介,6.2幅值域分析,第6章信号的幅值、相关功率谱分析,均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。,1、均值：均值Ex(t)表示集合平均值或数学期望值。,（连续量）,周期函数：,一、数字特征参数,2、均方值,工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。,信号的均方值Ex2(t)，表达了信号的强度；其正平方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。,（连续量）,6.2幅值域分析,周期函数：,3、方差,方差：反映了信号绕均值的波动程度。,信号x(t)的方差定义为：,6.2幅值域分析,表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化,样本记录x(t)中，其幅值落在某指定区间(x,x+x)内的总时间Tx为：,二、概率密度函数,表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化,当该样本记录的记录时间T时，其幅值落在(x,x+x)内的概率为：,二、概率密度函数,定义概率密度函数为p(x),以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。,p(x)图,概率密度函数恒为正实数。,正弦信号,正弦信号加随机噪声,窄带随机噪声,宽带随机噪声,不同信号的概率密度函数是不同的,例：求信号x(t)=X0sin(t+)的均值和均方根值xrms和概率密度函数p(x),（1）均值,解：对同期信号，只取一个周期分析，该信号周期为,（2）均方值,例：求信号x(t)=X0sin(t+)的均值和均方根值xrms和概率密度函数p(x),（3）概率密度函数,在一个周期内,例：求信号x(t)=X0sin(t+)的均值和均方根值xrms和概率密度函数p(x),（3）概率密度函数,又：,所以：,1、获得概率分布函数,概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率，其定义为：,概率分布函数又称为累积概率，表示了落在某一区间的概率。,6.2幅值域分析,三、概率密度函数的工程应用,图谱,6.2幅值域分析,获得了概率密度函数就是得到了有关的数字特征参数。,2、获得完成各态历经过程的数字特征,三、概率密度函数的工程应用,（1）判别信号的性质,（2）作为产品设计的依据，也可用于机械零件疲劳寿命的估计和疲劳试验。,（3）机器的故障诊断,在工程实际中，信号的概率密度分析主要应用在以下几个方面：,6.2幅值域分析,3、概率密度分析的应用,6.1随机信号的基本概念,第6章信号的幅值、相关功率谱分析,6.2幅值域分析,6.3相关分析,6.4功率谱密度分析,6.5其他信号分析技术简介,6.3相关分析,一、相关函数的意义,相关指变量之间的相依关系，统计学中用相关系数来描述变量x，y之间的相关性。Rxy是两随机变量之积的数学期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。,例如，玻璃管温度计液面高度(Y)与环境温度(x)的关系就是近似理想的线形相关，在两个变量相关的情况下，可以用其中一个可以测量的量的变化来表示另一个量的变化。,第6章信号的幅值、相关功率谱分析,设两个信号x(t),y(t),把两个信号等间隔分成N个离散值，记,6.3相关分析,考虑信号时间的起始点，在其中一个信号中引入时间平移量，则,如果被比较的信号的总能量相等，则两个信号波形相似程度完全取决于第三项大小。,R越大，Q就越小，表明两信号的相似性较好,可以定量的分析两个信号波形之间的相似程度。由离散值变为连续值进行计算，有定义：,二、互相关函数,6.3相关分析,一个周期内的估计值为：,若信号波形的均方值相等时，则利用互相关函数进行比较。,当Rxy()越大，表明两信号相似度越高。,定义相关系数,有：,若信号波形的均方值不相等时，则利用相关系数进行比较。,计算时，令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差，再相乘和积分，就可以得到时刻二个信号的相关性。,*,图例,6.3相关分析,三、自相关函数,定义自相关系数,6.3相关分析,一个周期内的估计值为：,信号x(t)的自相关函数描述了信号本身在一个时刻与另一个时刻取值之间的相似关系。,四、相关函数的性质,相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。,1、自相关函数的性质,6.3相关分析,（1）偶函数，Rx()=Rx(-)；,（2）当=0时，自相关函数具有最大值。,（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。,求正弦函数,的自相关函数.,为一随机变量.,解:在一个周期内来研究,（4）随机信号的自相关函数将随的增大快速衰减。,2、互相关函数的性质,6.3相关分析,随机过程是平稳的,在t时刻从样本计算的互相关函数应和t-时刻从样本采样计算的互相关函数是一致的,即:,（2）当=0，互相关函数不一定取得最大值,（3）周期信号的互相关函数仍是同频的周期函数，还保留了原信号的相位信息。（同频相关）,解：因为是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，,可见:两个均值为零且具有相同频率的周期信号,其互相关函数中保留了这两个信号的圆频率、对应的幅值以及相位差值的信息.,解：因为两信号的圆频率不等，不具有共同的周期，,可见：两个非同频的周期信号是不相关的,根据正余弦函数的正交性，可知：,例测得某信号的相关函数图形如下,试问该图形是,解：,为非对称图形,五、相关分析的工程应用,案例1：机械加工表面粗糙度自相关分析,被测工件,相关分析,性质3，性质4：提取出回转误差等周期性的故障源。,6.3相关分析,案例2：燃气轮机噪声信号的自相关分析,案例3：自相关分析测量转速,理想信号,干扰信号,实测信号,自相关系数,性质3，性质4：提取周期性转速成分。,6.3相关分析,6.3相关分析,案例4：确定水管漏水部位,地震位置测量,案例5：互相关测速,当船向前移动时，船头和船尾信号源发出信号，传感器1接收船头信号后得到波形图x1(t)，传感器2接收船尾信号后得到波形图x2(t)；,从图中，可以确定其互相关函数的最大值时的m值；,当两传感器的安装距离L已知时，此时船的速度为：,案例6：从噪声背景中分离出有用的信号,又称同频检测技术，在实际测试工作中队混淆在信号中的有用频率成分进行分离的常用手段。,分析：采用互相关分析方法，用标准信号发生器产生频率为1的正弦信号x(t)=Bsin1t,6.1随机信号的基本概念,第6章信号的幅值、相关功率谱分析,6.2幅值域分析,6.3相关分析,6.4功率谱密度分析,6.5其他信号分析技术简介,6.4功率谱密度分析,随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅里叶变换；又因为随机信号的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上讲，一般不做幅值谱和相位谱分析，而是用具有统计特征的功率谱密度来分析。自功率谱密度函数互功率谱密度函数相干函数与频率响应函数,（1）自功率谱密度函数的定义,定义Rx()的傅里叶变换为x(t)的自功率谱密度函数，即,第6章信号的幅值、相关功率谱分析,Sx(f)为偶函数,一、自功率谱密度函数,由于傅里叶变换所得到的是双边谱，变量f的取值从-到+，若将其改变为0+，则：,则称：,Sx(f)为双边自功率谱密度函数Gx(f)为单边自功率谱密度函数,（2）功率谱的物理意义,6.4功率谱密度分析,若=0，则根据自相关函数和自功率谱密度函数的定义，可得到,自功率谱密度函数Sx(f)的物理意义：,Sx(f)曲线下和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率；,Sx(f)就是信号的功率密度沿频率轴的分布；,自功率谱密度表示了信号的功率随频率的分布规律。,（3）自功率谱密度函数与幅值谱间的关系,6.4功率谱密度分析,在整个时间轴上信号平均功率为：,结论：（1）信号x(t)的自功率谱密度函数Sx(f)不仅可从其自相关函数的傅立叶积分变换中获得，也可以从信号的幅值谱获得。（2）自功率谱密度函数Sx(f)和信号的幅值谱都反映了信号x(t)的频率结构，但有各自的量纲。,自功率谱密度函数和幅值谱的关系为：,其估计值为：,（3）Sx(f)反映的是信号的幅值频谱的平方，使信号中的高幅值分量更突出。,使得自功率谱密度分析比幅值频谱分析的实用价值更大，用处更广,（4）谱估计方法,用有限长度T的样本记录计算样本功率谱，作为信号功率谱的初步估计值。,模拟信号,数字信号,6.4功率谱密度分析,经典谱估计（周期图法）,对每段分别用周期图法求其功率谱的初步估计值,求诸段功率谱的初步估计值的平均值,幅值谱X(f),改进算法：,6.4功率谱密度分析,把原样本记录长度T总分段,当N时，功率谱估计的方差并不为0，所以不是一致性估计,原信号为同频率的正弦函数，即：x(t)=Asint,二、互功率谱密度函数,定义为信号x(t),y(t)的互相关函数的傅立叶变换。,（1）互功率谱密度函数的定义,6.4功率谱密度分析,其逆变换为,互功率谱分析通常用来测定线性系统的特性,（2）相干函数,评价输出与输入间的因果关系。,6.4功率谱密度分析,6.4功率谱密度分析,（1）利用互谱求系统的传递函数,（2）在强噪声背景下分析系统的特性,三、功率谱的工程应用,理想的单输入、单输出系统如图所示。,（1）可利用互谱求系统的传递函数,三、功率谱的工程应用,一个测试系统受到外界干扰如图所示:,输出:,一个测试系统受到外界干扰如图所示:,案例：查找电机噪声源,电机的极数为14极，电源频率为50Hz。电机转速为512r/min。声级计拾取电机噪声信号，用压电加速度计拾取电机外壳的振动加速度信号。,噪声功率谱中100Hz处的峰值，正好是电源频率的两倍，判断该噪声是由定子中磁致伸缩作用引起的；,案例：查找电机噪声源,案例：查找电机噪声源,噪声功率谱中490Hz处的峰值频率则与电机转速和滚珠轴承的滚珠数及其直径有关，可判断该噪声是由滚珠轴承的伤痕产生；,案例：查找电机噪声源,噪声功率谱中1370Hz处的峰值的噪声由交变磁场的交变力所引起的振动所产生。由此可采取相应措施减噪。,汽车变速箱在不同负载下的功率谱图,案例：故障诊断,6.1随机信号的基本概念,第6章信号的幅值、相关功率谱分析,6.2幅值域分析,6.3相关分析,6.4功率谱密度分析,6.5其他信号分析技术简介,6.5其他信号分析技术简介,1、功时谱分析,定义：“对数功率谱的功率谱”,应用：振动、噪声分析、故障诊断、系统识别,第6章信号的幅值、相关功率谱分析,2、时序分析,所谓时