第7章应力状态分析

材料力学,30.04.2020,.,2,身是菩提树，心如明镜台。,时时勤拂拭，勿使惹尘埃。,菩提本无树，明镜亦非台。,本来无一物，何处惹尘埃。,佛:无上正等正觉,菩萨:正等正觉,罗汉:正觉,神秀,惠能,30.04.2020,.,3,释迦牟尼佛,文殊菩萨,普贤菩萨,阿弥陀佛,大势至菩萨,观世音菩萨,山西五台山,中国四大菩萨道场,四川峨眉山,安徽九华山,浙江普陀山,药师佛,日光菩萨,月光菩萨,30.04.2020,.,4,一、应力状态和单元体1.应力状态通过受力物体上一点的任意截面上的应力情况=一点的应力状态2.单元体围绕一点取出正六面体：三对面每对面上3个应力分量：共9个,第7章应力状态分析,7.1应力状态的概念,应力单元,30.04.2020,.,5,考虑到剪应力互等定理，9个应力分量中6个独立应力分量已知的单元体称为原始单元,对材料力学所研究的杆件，原始单元必然包含一对横截面，因为横截面上的应力已经有公式可计算,根据原始单元上的已知应力分量，就可以计算任意斜截面上的应力分量。,单元体及各面上的应力就代表了该点处的应力状态,30.04.2020,.,6,3.基本变形应力单元,4.主单元体主平面：剪应力为零的平面主单元：由主平面构成的单元体,过一点一定存在三对相互正交的主平面,形成主单元体,30.04.2020,.,7,5.主应力和主方向（1）主应力主平面上的正应力称为主应力。过一点存在三对相互正交的主平面，由此构成主单元。受力物体上任意一点均有三个主应力。,按代数量的大小排序：1第一主应力2第二主应力3第三主应力,（2）主方向主应力的方向称为主方向它也是主平面的法线方向,30.04.2020,.,8,二、应力状态分类1.分类依据根据不为零的主应力个数分类。2.分类结果单向应力状态（单轴应力状态）仅一个主应力不为零者，可能的情况有：1、0、0单向拉伸；0、0、3单向压缩。,30.04.2020,.,9,二向应力状态（双轴应力状态，平面应力状态）有二个主应力不为零者，可能的情况有1、2、0；双向受拉1、0、3；一拉一压0、2、3；双向受压三向应力状态（三轴应力状态）三个主应力均不为零者,单向应力状态称为简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。,30.04.2020,.,10,7.2平面应力状态分析,一、斜截面上的应力分量已知条件一个主应力为零：设为前后面正应力和剪应力x拉为正y拉为正xy绕单元体顺时针转者为正图示应力均为正值,凡与图示指向不一致者为负,30.04.2020,.,11,2.斜截面上应力分量,A,B,C,取脱离体,设AB面积dA，则BC面积为dAsin，AC面积dAcos,为斜截面与竖向面（x作用面）的夹角，逆时针转为正,30.04.2020,.,12,整理得,解得,利用三角关系,30.04.2020,.,13,容易得到,最后得到,应力的第一不变量,30.04.2020,.,14,特殊情况一：单向拉伸或压缩,=0的横截面,=45斜截面,剪应力在该斜截面上最大。,铸铁的受压破坏与此有关。,30.04.2020,.,15,特殊情况二：扭转等纯剪切,正应力的极值出现在=45的斜面上,正应力就是主应力,铸铁、粉笔等脆性圆试样扭转破坏就是由于最大拉应力引起的。,30.04.2020,.,16,例题7.1图示单元体，试计算=60及=-45斜面上的应力分量。解：已知,30.04.2020,.,17,二、极值应力1.极值正应力,由斜截面上正应力的公式求驻点,说明：剪应力等于零的斜截面上正应力取极值,极值正应力就是主应力,30.04.2020,.,18,主平面方位剪应力（切应力）为零的平面为主平面，该面与铅垂面的夹角0，称为主方向。,解得：,正交二主平面，对应于二个主应力。,或,30.04.2020,.,19,主应力大小为,设i是与i对应的主方向,或,xy时，|i|0时，i=-45;xyy时，D点在D之右，|20|45；,x=y时，D点和在D在同一竖直线上，|20|=90,xy0时，D点在下，0=45。,30.04.2020,.,33,2.极值剪应力最高点G的纵坐标为剪应力的极大值最低点G为剪应力的极小值,3.斜截面上的应力CD线转动2与圆交于EE点的坐标就是斜截面上的应力,可直接从图上按比例量取,30.04.2020,.,34,7.4空间应力状态简介,一、主应力1.应力单元空间应力单元三对面9个应力分量剪应力互等定理：ij=ji,应力矩阵如下,且,33阶对称矩阵,30.04.2020,.,35,2.主应力主应力就是应力矩阵的特征值,三个应力由如下行列式所表示的关于的一元三次方程求解,应力矩阵的特征矢量就是相应主方向,30.04.2020,.,36,二、莫尔圆和八面体上的应力1.莫尔应力圆三个主应力形成三个应力圆任意斜截面上的应力位于大小圆之间的阴影面积内2.正八面体上应力正八面体概念正八面体上应力,30.04.2020,.,37,例题7.5应力单元如图所示，求主应力和最大剪应力解,应力矩阵,主应力控制方程,展开得,30.04.2020,.,38,即,解得三个根,三个主应力,最大剪应力,30.04.2020,.,39,本题的应力状态比较特殊，可有另一种解法,前后面上无剪应力，就是一对主平面。已知一个主应力-30MPa，余下的应力分量按平面应力考虑。,三个主应力,结果完全一样！,30.04.2020,.,40,7.5广义胡克定律,一、应力应变关系1.主应力表示的物理关系,其中的应变分量称为主应变，最大主应变为,30.04.2020,.,41,2.一般坐标下的物理关系,对于平面应力状态，应为z=0，所以,但,30.04.2020,.,42,3.应用于应变测量测量方法电阻应变测量光纤测量直接测正应变，间接测剪应变,光纤传感器,电阻应变测试,测定构件表面一点三个方向的正应变（应变花），就可以计算出x、y方向的正应变，剪应变，利用胡克定律计算应力，并求出主应力。,任意方向的正应变满足关系,30.04.2020,.,43,所以,应力分量为,进一步，按平面应力状态分析主应力和主方向,30.04.2020,.,44,二、体积应变1.体积应变的定义,略去二阶以上微量,体积应变等于三个正应变之和,30.04.2020,.,45,2.体积应变和应力的关系,=0.5，不可压缩材料,+,三个