数字电子信号 第1章

数字电子技术,中北大学,DigitalElectronicsTechnology,2,1.1数制和码制,1.2逻辑代数概述,1.3逻辑函数及其表示方法,1.4逻辑代数的基本定律和规则,1.5逻辑函数的代数化简法,1.6逻辑函数的卡诺图化简法,第1章逻辑代数基础,理解BCD码的含义，掌握8421BCD码，了解其他常用BCD码。,主要要求：,掌握十进制数和二进制数的表示及其相互转换。,了解八进制和十六进制。,1.1数制和码制,第1章逻辑代数基础,(一)十进制(Decimal),(xxx)10或(xxx)D,例如(3176.54)10或(3176.54)D,数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,进位规律：逢十进一，借一当十,一、数制,第1章逻辑代数基础,(二)二进制(Binary),例如0+1=11+1=1011+1=100101=1,(xxx)2或(xxx)B,例如(1011.11)2或(1011.11)B,数码：0、1,进位规律：逢二进一，借一当二,权：2i基数：2系数：0、1,将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。,第1章逻辑代数基础,(三)八进制和十六进制,例如(437.25)8=482+381+780+28-1+58-2=256+24+7+0.25+0.078125=(287.328125)10,例如(3BE.C4)16=3162+11161+14160+1216-1+416-2=768+176+14+0.75+0.015625=(958.765625)10,第1章逻辑代数基础,二、不同数制间的关系与转换,对同一个数的不同计数方法,(一)不同数制间的关系,二、不同数制间的关系与转换,不同数制之间有关系吗？,第1章逻辑代数基础,(二)不同数制间的转换,例将十进制数(26.375)10转换成二进制数,1.各种数制转换成十进制,2.十进制转换为二进制,01,一直除到商为0为止,按权展开求和,整数和小数分别转换整数部分：除2取余法小数部分：乘2取整法,第1章逻辑代数基础,一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进制数四位为一组。,3.二进制和十六进制间的相互转换,(3BE5.97D)16=(11101111100101.100101111101)2,(10011111011.111011)2=(?)16,每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列。,二进制十六进制:,从小数点开始，整数部分向左(小数部分向右)四位一组，最后不足四位的加0补足四位，再按顺序写出各组对应的十六进制数。,(10011111011.111011)2=(4FB.EC)16,第1章逻辑代数基础,补0,10011111011.111011,0,0,0,补0,100,1111,1011,1110,11,十六进制二进制:,例如：用四位二进制数码表示十进制数0900000000110010200113010040101501106011171000810019,将若干个二进制数码0和1按一定规则排列起来表示某种特定含义的代码称为二进制代码，简称二进制码。,用数码的特定组合表示特定信息的过程称编码,三、二进制代码（即可表示数值信息，也可表示文字和符号信息）,第1章逻辑代数基础,第1章逻辑代数基础,例如：用三位自然二进制码表示十进制数07：00000011010201131004101511061117,(一)自然二进制码,按自然数顺序排列的二进制码,(二)二-十进制代码,表示十进制数09十个数码的二进制代码,(又称BCD码即BinaryCodedDecimal),1位十进制数需用4位二进制数表示，故BCD码为4位。,4位二进制码有16种组合，表示09十个数可有多种方案，所以BCD码有多种。,常用二-十进制代码表,权为8、4、2、1,比8421BCD码多余3,取四位自然二进制数的前10种组合，去掉后6种组合10101111。,第1章逻辑代数基础,用BCD码表示十进制数举例：,(36)10=()8421BCD,(4.79)10=()8421BCD,(01010000)8421BCD=()10,注意区别BCD码与数制：,(150)10=(000101010000)8421BCD=(10010110)2=(226)8=(96)16,60110,30011,4.0100.,70111,91001,01015,00000,第1章逻辑代数基础,第1章逻辑代数基础,(三)可靠性代码,奇偶校验码,使“1”的个数为奇数的称奇校验，为偶数的称偶校验。,第1章逻辑代数基础,第1章逻辑代数基础,格雷码(Gray码，又称循环码),0110,最低位以0110为循环节,次低位以00111100为循环节,第三位以0000111111110000为循环节,.,0110,0110,0110,00111100,00111100,0000111111110000,0000000011111111,特点:,相邻项或对称项只有一位不同,典型格雷码构成规则：,第1章逻辑代数基础,通常，人们可通过键盘上的字母、符号和数值向计算机发送数据和指令，每一个键符可用一个二进制码表示，ASCII就是其中的一种。它是用7位二进制码表示的，可以表示128个符号，任何符号和控制功能都由高3位b6b5b4和低4位b3b2b1b0确定。例如对所有控制符有b6b5=00，而对其它符号有b6b5=01、10、11。,ASCII码（美国标准信息交换码）,比如字母a：b6b5b4b3b2b1b0=1100001字母A：b6b5b4b3b2b1b0=1000001,主要要求：,理解逻辑值1和0的含义。,1.2逻辑代数概述,理解逻辑体制的含义。,第1章逻辑代数基础,一、逻辑代数,第1章逻辑代数基础,逻辑代数中的1和0不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。,注意,例如：开关闭合为1晶体管导通为1电位高为1断开为0截止为0低为0,第1章逻辑代数基础,主要要求：,掌握逻辑代数的常用运算。,理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。,1.3逻辑函数及其表示方法,掌握真值表、逻辑式、逻辑图和波形图的特点及其相互转换的方法。,第1章逻辑代数基础,一、基本逻辑函数及运算,1.与逻辑,决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生,逻辑表达式Y=AB或Y=AB,若有0出0；若全1出1,与门(ANDgate),第1章逻辑代数基础,开关A或B闭合或两者都闭合时，灯Y才亮。,2.或逻辑,决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。,若有1出1若全0出0,逻辑表达式Y=A+B,或门(ORgate),1,3.非逻辑,决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。,1,非门(NOTgate)又称“反相器”,第1章逻辑代数基础,二、常用复合逻辑运算,由基本逻辑运算组合而成,第1章逻辑代数基础,注意：异或和同或互为反函数，即,第1章逻辑代数基础,第1章逻辑代数基础,注意：“异或”和“同或”逻辑运算都是两个变量进行的运算，不能想当然地推广到多个变量。,例试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。,第1章逻辑代数基础,Y2,Y3,三、逻辑符号对照,第1章逻辑代数基础,四、逻辑函数及其表示方法,逻辑函数描述了某种逻辑关系。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图、逻辑图和波形图等表示。,1.真值表,列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表。,第1章逻辑代数基础,0,0,4个输入变量有24=16种取值组合。,第1章逻辑代数基础,2.逻辑函数式,表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。,逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。,ABC,逻辑式为,(1)找出函数值为1的项。(2)将这些项中输入变量取值为1的用原变量代替，取值为0的用反变量代替，则得到一系列与项。(3)将这些与项相加即得逻辑式。,第1章逻辑代数基础,3.逻辑图,运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。,由逻辑符号及相应连线构成的电路图。,例如画的逻辑图,第1章逻辑代数基础,第1章逻辑代数基础,4.波形图,将输入变量的取值与相应的逻辑函数值按照时间顺序依次排列起来画成的时间波形。,1.4逻辑代数的基本定律和规则,主要要求：,掌握逻辑代数的基本公式和基本定律。,了解逻辑代数的重要规则。,第1章逻辑代数基础,一、基本公式,第1章逻辑代数基础,二、常用公式,普通代数没有！,第1章逻辑代数基础,例证明等式A+BC=(A+B)(A+C),解：,真值表法,0,0,0,0,第1章逻辑代数基础,(二)逻辑代数的特殊公式,吸收律,A+AB=A,A+AB=A(1+B)=A,第1章逻辑代数基础,推广公式：,(2)若已知AB=AC，则B=C吗？,推广公式：,反演律,(又称摩根定律),思考：(1)若已知A+B=A+C，则B=C吗？,第1章逻辑代数基础,三、重要规则,(一)代入规则,AAA,利用代入规则能扩展基本公式的应用。,将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。,第1章逻辑代数基础,变换时注意：(1)不能改变原来的运算顺序。(2)反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非号保持不变。,可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。,原运算次序为,(二)反演规则,对任一个逻辑函数式Y，将“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。,第1章逻辑代数基础,(三)对偶规则,对任一个逻辑函数式Y，将“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数式的对偶式Y。,对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。,应用对偶规则可将基本公式和常用公式扩展。,变换时注意：(1)变量不改变(2)不能改变原来的运算顺序,第1章逻辑代数基础,A+AB=A,A(A+B)=A,主要要求：,了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。,掌握逻辑函数的代数化简法。,1.5逻辑函数的代数化简法,理解最简与-或式的标准。,第1章逻辑代数基础,逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。,一、逻辑函数式的几种常见形式和变换,例如,与或表达式,或与表达式,与非-与非表达式,或非-或非表达式,与或非表达式,转换方法举例,第1章逻辑代数基础,二、逻辑函数式化简的意义与标准,化简意义,使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。,不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与-或式，然后通过变换得到所需最简式。,最简与-或式标准,(1)乘积项(即与项)的个数最少(2)每个乘积项中的变量数最少,用与门个数最少与门的输入端数最少,第1章逻辑代数基础,三、代数化简法,运用逻辑代数的公式对逻辑式进行化简。,并项法,运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。,第1章逻辑代数基础,吸收法,运用A+AB=A和，消去多余的与项。,第1章逻辑代数基础,消去法,运用吸收律，消去多余因子。,第1章逻辑代数基础,配项法,通过乘或加入零项进行配项，然后再化简。,第1章逻辑代数基础,综合灵活运用上述方法,例化简逻辑式,解：,应用,第1章逻辑代数基础,主要要求：,掌握最小项的概念与编号方法，了解其主要性质。,掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。,理解卡诺图的意义和构成原则。,掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。,1.6逻辑函数的卡诺图化简法,第1章逻辑代数基础,代数化简法,优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。,卡诺图化简法,优点：简单、直观，有一定的步骤和方法易判断结果是否最简。缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于四变量以下函数的化简。,一、代数化简法与卡诺图化简法的特点,第1章逻辑代数基础,卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图。,n个变量有2n种组合，可对应写出2n个乘积项，这些乘积项均具有下列特点：包含全部变量，且每个变量在该乘积项中(以原变量或反变量)只出现一次。这样的乘积项称为这n个变量的最小项，也称为n变量逻辑函数的最小项。,1.最小项的定义和编号,(一)最小项的概念与性质,二、最小项与卡诺图,第1章逻辑代数基础,如何编号？,如何根据输入变量组合写出相应最小项？,例如:,3变量逻辑函数的最小项有23=8个,将输入变量取值为1的代以原变量，取值为0的代以反变量，则得相应最小项。,简记符号,第1章逻辑代数基础,2.最小项的基本性质,(2)不同的最小项，使其值为1的那组变量取值也不同。,(3)对于变量的任一组取值，两个最小项的乘积为0。,(4)对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。,第1章逻辑代数基础,3.相邻最小项,两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。,相邻最小项重要特点：,两个相邻最小项相加可合并为一项，消去互反变量，化简为相同变量相与。,(二)最小项的卡诺图表示,将n变量的2n个最小项用2n个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。,第1章逻辑代数基础,变量取0的代以反变量取1的代以原变量,第1章逻辑代数基础,第1章逻辑代数基础,变量取0的代以反变量取1的代以原变量,卡诺图特点：循环相邻性,如何写出卡诺图方格对应的最小项？,已知最小项如何找相应小方格？,例如,原变量取1，反变量取0。,1,0,0,1,？,第1章逻辑代数基础,为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者标准与-或式或者与-或表达式。因此，下面先介绍标准与-或式。,任何形式的逻辑式都可以转化为标准与-或式，而且逻辑函数的标准与-或式是唯一的。,(一)逻辑函数的标准与-或式,三、用卡诺图表示逻辑函数,每一个与项都是最小项的与-或逻辑式称为标准与-或式，又称最小项表达式。,第1章逻辑代数基础,如何将逻辑式转化为标准与-或式呢？,例将逻辑式化为标准与或式。,(3)利用A+A=A，合并掉相同的最小项。,解：(1)利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。,AB,+,(2)利用配项法化为标准与或式。,=m0+m1+m12+m13+m15,=m(0,1,12,13,15),第1章逻辑代数基础,用卡诺图表示逻辑函数举例,已知标准与或式画函数卡诺图,例试画出函数Y=m(0,1,12,13,15)的卡诺图,解：(1)画出四变量卡诺图,(2)填图,逻辑式中的最小项m0、m1、m12、m13、m15对应的方格填1，其余不填。,第1章逻辑代数基础,已知真值表画函数卡诺图,例已知逻辑函数Y的真值表如下，试画出Y的卡诺图。,解：(1)画3变量卡诺图。,(2)找出真值表中Y=1对应的最小项，在卡诺图相应方格中填1，其余不填。,第1章逻辑代数基础,已知一般表达式画函数卡诺图,解：(1)将逻辑式转化为与或式,(2)作变量卡诺图,找出各与项所对应的最小项方格填1，其余不填。,例已知，试画出Y的卡诺图。,AB,+,(3)根据与或式填图,AB对应最小项为同时满足A=1，B=1的方格。,第1章逻辑代数基础,四、用卡诺图化简逻辑函数,化简规律,第1章逻辑代数基础,第1章逻辑代数基础,最小项相邻的几种情况,2个相邻项合并消去1个变量，化简结果为相同变量相与。,4个相邻项合并消去2个变量，化简结果为相同变量相与。,8个相邻项合并消去3个变量,第1章逻辑代数基础,画包围圈规则,包围圈必须包含2n个相邻1方格，且必须成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1方格可重复圈，但须每圈有新1；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。,同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的1方格也循环相邻，可画圈。,注意,第1章逻辑代数基础,m15,m9,m7,m6,m5,m4,m2,m0,解：(1)画变量卡诺图,例用卡诺图化简逻辑函数Y(A,B,C,D)=m(0,2,4,5,6,7,9,15),(2)填卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(3)画包围圈,a,b,c,d,(4)将各图分别化简,圈2个可消去1个变量，化简为3个相同变量相与。,Yb=BCD,圈4个可消去2个变量，化简为2个相同变量相与。,循环相邻,(5)将各图化简结果逻辑加，得最简与或式,第1章逻辑代数基础,例用卡诺图化简逻辑函数Y(A,B,C,D)=m(0,2,5,7,8,10,12,14,15),最简与或式Y=,第1章逻辑代数基础,第1章逻辑代数基础,解：(1)填卡诺图,1,1,(3)化简,(2)画圈,例用卡诺图化简逻辑函数,Y=,例已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最简与或式。,解：,第1章逻辑代数基础,第1章逻辑代数基础,合并0的两种情况：（1）当0的数目远远少于1的数目时；（2）需要将函数化简为最简与-或非式，或者或非-或非表达式。,圈1：,圈0：,例已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。,注意：该卡诺图还有其他画圈法,可见，最简结果未必唯一。,解：(1)画函数卡诺图,1