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文档简介

韩城象中毋宁,选修1-2：,第三章推理与证明,反证法典例,例1.已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。,证明：设整数a的平方能被2整除.假设a不是偶数，则a是奇数，不妨设a=2m+1(m是整数)a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1a2是奇数，与已知矛盾。假设不成立，所以a是偶数。,例2.证明：如果ab0，那么,例3.已知a0，求证关于x的方程ax=b有且只有一个根。,已知：在O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD不全是直径求证：AB、CD不能互相平分。,A,B,C,D,例4.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.,例5.求证：是无理数.,(4)结论为“唯一”类的命题。,正难则反!,应用反证法的情形：,(1)直接证明困难;,(2)需分成很多类进行讨论；,(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”这一类的命题；,例6.已知a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0.求证:a,b,c0,证明:假设c0,ab0.,ab+bc+ca=ab+(a+b)c0.,矛盾!假设不成立.,例7.已知0a,b,c0,矛盾!假设不成立.,所以,(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于1/4.,例7.已知0a,b,c1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于1/4.,证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于1/4.,则,(1)+(2)+(3)得:,矛盾!假设不成立.原结论成立.,例8.已知:f(x)=x2+px+q.求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.,例9.已知A,B,C为三个正角.且sin2A+sin2B+sin2C=1.求证:A+B+C900.,解:假设A+B+C900,由于A,B,C为三个正角,所以它们都为锐角,且有cos(A+B)cos(A-B).1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B)1-cos2(A-B)1.矛盾!假设不成立.从而,A+B+C900.,推理,合情推理演绎推理（
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