大学物理第五章真空中的静电场

.,第五章真空中的静电场,.,一、电荷,5-1电荷和库仑定律,3.电量：电荷带电的多少或参与电磁相互作用的强弱。,1.定义：带电的物体叫电荷。（或能够参与电磁相互作用的物体）,2.电荷的种类：正电荷和负电荷；,4.电量的单位：C（库仑）,.,5.电荷的基元性（量子性）：任何电荷的电量总是电子电量的正负整数倍。,二、电荷守恒定律,1.静电感应现象,.,例如，电流的连续性，基尔霍夫定律，微观粒子的衰变等都证明了电荷的守恒。,电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数和是守恒的。,2.电荷守恒定律,电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律。,.,三、库仑定律,1.1785年，库仑通过扭称实验得到。,2.表述：真空中，两个静止点电荷q1及q2之间的相互作用力的大小和q1与q2的乘积成正比，和它们之间距离r的平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。,3.数学表达式：,.,点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。,4.说明：,库仑定律只适合于真空中的点电荷相互作用。,0称为真空中的介电常数。,实验发现：在10-15米至103米范围内库仑定律都成立。这表明库仑力是长程力。,库仑力遵守牛顿第三定律。即,其中：比例系数k可以表示为,.,四、静电力的叠加原理：,离散状态：,连续分布,作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。,.,例题1长为L均匀带电直线带电荷量为Q，求它对放在距离其端点为a处的点电荷q0的库仑力。,.,解：建立如图所示的一维坐标，在坐标x处取一电荷元,对q0的库仑力大小为,各电荷元对q0的电场力方向一致，可直接相加,.,当时,可见：当带电体的尺度和它到场点的距离相比可以忽略时，该带电体可以看作点电荷。,.,例题2长为L均匀带电直线带电荷量为Q，求它对放在其垂直平分线上距离为a处的点电荷q0的库仑力。,.,解：建立如图所示的一维坐标，在坐标x处取一电荷元,对q0的库仑力大小为,方向如图所示。,由于对称性，各线元对q0的库仑力的水平分量相互抵消，矢量和为零。,.,当时,.,一、电场,5-2电场强度,1.电场是存在于场源电荷周围空间的一种特殊形态的物质，具有能量、质量、动量。,2.对外表现：对电场中的任何电荷有力的作用，且检验电荷移动时，电场力对它作功。,3.静电场：相对于观察者静止且电量不随时间变化的电荷产生的电场。,.,2.电场强度定义：,1.描述电场的物理量之一，反映电场力的作用。,二、电场强度,引入检验电荷（点电荷，电量足够小，不影响原电场分布;线度足够小。）,方向与正电荷在该处所受电场力的方向一致。,.,电场中某点的电场强度，其大小等于单位电荷放在该处所受的电场力的大小；单位：牛顿/库仑或伏特/米。,2.点电荷q产生的电场：,.,三、电场强度叠加原理,由力的叠加原理得所受合力,点电荷对的作用力,故处总电场强度,.,1.电场强度的叠加原理：,点电荷系在某点产生的场强，等于各点电荷单独存在时在该点分别产生的场强的矢量和。,.,例题3求电偶极子连线上一点A和中垂线上一点B的场强。,解：两个相距为l的等量异号点电荷+q和-q组成的点电荷系，当场点到两点电荷连线中点的距离远大于l时，这一带电系统称为电偶极子。,称为该电偶极子的电偶极矩（电矩）。,取-q指向+q的矢径为，则矢量,.,（1）连线上点A的场强,.,（2）中垂线上点B的场强,.,2.电荷连续分布的带电体的场强:,电荷体密度,.,电荷面密度,电荷线密度,.,例题4半径为R的半圆环上均匀地分布电荷，电荷线密度为(0)在求圆心的电场强度。,.,解：取一线元，带电量为,在圆心产生的场强为：,由于对称性，各线元在O点产生电场的水平分量相互抵消，矢量和为零。,竖直分量为：,.,例题5电量q(0)均匀分布在半径为R的圆环上，求圆环轴线上距离环心x处的任意点P的电场强度。,.,解：圆环上的电荷线密度为：,取一线元dl上的电量为：,dl在P点产生的场强为：,.,由于对称性，各线元在P点产生场强的垂直分量矢量和为零。,水平分量为：,.,例题6均匀带电环面上电荷分布面密度为，环的内、外半径分别为R1和R2，如图所示。求：轴线上与环心相距x处的场强。,.,解：取一环元上的电量,在P点产生的场强为：,.,环心处，令x=0得,当时，,.,R10，R2，此为无限大均匀带电平面：,.,一、电场线,5-3电通量和静电场中的高斯定理,1.线上某点的切向,2.线的密度表示的大小。,即为该点的方向；,为形象地描写场强的分布，引入电场线。,.,3.电场线起始于正电荷，终止于负电荷或从正电荷伸向元穷远，或从无穷远终止于负电荷。,4.电场线不闭合，不相交。,.,二、电场强度通量（E通量）,1.通过电场中任一给定面的电场线总数。,2.表达式,场强与平面垂直,场强与平面法线夹角,.,电场强度不均匀通过曲面,当曲面为封闭面时,向外穿出,向内穿入,约定：闭合曲面以向外为曲面法线的正方向。,.,例题7求以点电荷+Q为球心的球面S0的电通量,解：球面上任意一点的电场都垂直于球面,.,求点电荷+Q产生的电场通过左图中任意曲面S的电通量,解：由图可知通过曲面S的电场线必定通过球面S0，所以通过曲面的电通量即为通过球面的电通量,由图可知从曲面一侧穿入的电场线必定从另一侧穿出，所以通过曲面的电通量为0,.,*如点电荷为负，则通过闭合曲面的电通量为负。,*点电荷发出的通过闭合球面的电通量与球面半径无关，任意形状的闭合曲面也如此。,*如果闭合曲面没有包含点电荷则进入曲面和穿出曲面的电场线相同，总电通量为零。,三、高斯定理,1.表述：在真空中的任何静电场中,通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面内所包围电荷的代数和除以0。,.,2.数学表达式：,其中：E为高斯面内、外场源电荷的电场矢量和。,*高斯面为封闭曲面；*仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献;*静电场为有源场。,.,例题8一点电荷带电量为+Q，放在边长为L的正方体中心，求穿过该正方体一面的电通量。,解：电荷+Q放在正方体中心，穿过该正方体每个面的电通量都相等。,电荷+Q放在正方体的一个顶点上，穿过该正方体上表面的电通量,.,3.高斯定理的应用：,分析电场的对称性，判断电场分布；,选择合理的高斯面（不平行就垂直）；,需通过待求的区域。,适用对象：电荷分布具球、柱、平面对称性。,.,例题9均匀带电球壳，半径为R，总电量为+Q，不计球壳厚度，试求该球壳外的电场强度分布。,解：选择如图所示的高斯面（电场球对称）,由高斯定理,.,例题10两同心均匀带电球壳，内球球壳半径R1、带电量+Q，外球球壳半径R2、带电量-Q，不计球壳厚度，试求电场强度的空间分布。,.,解：选择如图所示的高斯面（电场球对称）,.,例题11一内、外半径分别为R1和R2的球壳上均匀分布电荷，密度为，试分析电场强度分布。,.,解：由于电场呈球对称，选择半径为r的球面为高斯面。,.,.,1.E的分布,.,2.特殊情况：,令R1=0，得均匀带电球体的电场分布：,.,在r=R处E不连续，是因为忽略了电荷分布层的厚度所致。,令R1=R2=R，得均匀带电球面的电场分布,.,例题12一半径为R的球体内分布电荷，密度随半径的关系为，试分析电场强度分布。,.,解：由于电场呈球对称，选择半径为r的球面为高斯面。,.,例题13线电荷密度为的无限长均匀带电长直导线周围空间的电场。,.,解：由于长直带电导线周围的电场呈轴对称分布（径向），选同轴柱体表面为高斯面。,.,例题14求均匀带电无限大薄板的场强分布，设电荷密度为。,.,解：无限大均匀带电薄平板两侧等距离处场强大小相等，方向均垂直平板。取一轴垂直带电平面，高为2l的圆柱面为高斯面,由高斯定理可得,.,例题15试求真空中两块带等量异号电荷的无限大平行板(电容器）的电场空间分布。,板间的场强为,板外场强为0,解：空间电场为两极板产生电场的矢量和。,.,例题16试求真空中两块带等量异号电荷的无限大平行板(电容器）间的相互作用力。,解：负极板处于正极板产生电场中，受力为,.,一、静电力的功静电场环路定理,5-4静电场的环路定理和电势,1.在点电荷q的电场中,.,2.在点电荷系的电场中,在静电场移动电荷，电场力做功与始末位置有关，与路径无关-静电场也是保守力场。,3.静电场的环路定理,.,静电场的环路定理说明静电场为保守场，,思考：电场线平行但不均匀分布是否可能？,静电场的电场线不能闭合。,.,二、电势能：,3.电势能：,1.电荷在电场中具有势能。,2.电势能的改变,选b为零势能点（Wb=0）,（可沿任意路径积分）,.,三、电势：,1.电势定义：,电势是标量，正、负值是相对于零参考点而言的。,2.电势差：,.,四、电势叠加原理：,1.点电荷q的电场电势分布：,2.电势叠加原理：,点电荷系：,.,连续分布的带电体：,在多点电荷形成的电场中，某点的电势是各点电荷单独存在时的电场在该点电势的代数和。,.,例题17电量q(q0)均匀分布在半径为R的园环上，求园环轴线上任意点P的电势。,.,解：园环上的电荷线密度为：,线元dl的电量为：,.,例题18均匀带电圆面上电荷分布面密度为，半径分别为R，如图所示。求：轴线上与圆心相距x处的电势。,.,解：取环元，电量为：,在P点的电势为：,.,例题19一均匀带电球壳，半径为R，总电量为+Q，不计球壳厚度，试求该球壳外的电势分布。,.,解：该导体球壳的电场分布为,.,例题20两同心球面半径分别为R1、R2(R2R1),内、外球面分别带电+Q、-Q，试求空间的电势分布。,.,解：该导体球壳的电场分布为,.,例题21一对无限长共轴直圆筒(圆柱面)，半径分别为R1、R2(R2R1),内筒带正电，外筒带负电，线密度沿轴线方向分别为+、-，试求下列情况下的电势分布及两筒的电势差：(1)设外柱面R2处为电势零参考点。(2)设共轴圆筒的轴线(r=0)处为电势零参考点。,.,时：,时：,时：,.,时：,时：,时：,.,带电圆环在其轴线上任意点P处产生的场强为,解法二：从场强分布求电势,.,5-5电势与电场强度的微分关系,一、等势面,1.等势面的概念,静电场中,电势相等的点所组成的曲面。,*常用一组等势面描述静电场，并规定相邻两等势面之间的电势差相等。,.,2.等势面与电场线的关系,等势面与电场线处处正交，在等势面上移动电荷电场力不作功；,电场线指向电势降低的方向；,等势面和电场线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。,.,二、电势和场强的微分关系,U的方向