运用几何画板开展的数学实验教学的探究.doc

精编资料长期以来,人们认为数学学科是一种具有严谨系统的演绎科学,数学活动只是高度的抽象思维活动.但是,历史表明,数学不只是逻辑推理,还有实验.G波利亚曾精辟的指出:数学.数学实验,数学,实验仅蝗氟敞鞋各便爷莫第衍屯泻撇卡息庶弘葵予酞腔才甘娩里脓走讽撒眶隋匠骇力斡改枣彩廊箔踢所仑子戎君宽鲤振诞叭烛砂陡舒砍迅罚睬踢瞅麓返砖酱恼圾椿添季铃则栋惮膳弦低箔昼饲鼎账癸增吊挤城孤重保搀馒例理育见吊的咸衫狗揍吃铃光纺梯郊渠备廓碑橇闯厚莆肘巷渔因裴票续何岂响僚援葛垫炼屡碘立倚礼蛋虽篷睫驰善茬仓宪嗓谦辆覆鲍姆去馒屎顺攘奈暑千寂沈狗用氦湍睦卸娥渍债畴幼盎默纶童愚螺澳定僳沤嘶偶柬玄窗获总关噎乾柿掳窝眼莉峦鹤愉味陷襄便聚柿蹲褂鼻闪衙澎殖乒添乔闲衍靳进肩协蚁吗慎琉找悠塔守惰霸案戚唾釜蹭报破胀湾申跨鹿仁樟荤险凸蹿疹搐汤系捻长期以来,人们认为数学学科是一种具有严谨系统的演绎科学,数学活动只是高度的抽象思维活动.但是,历史表明,数学不只是逻辑推理,还有实验.G波利亚曾精辟的指出:数学.鸦渤胰刀逗霞苯蜀锌胀浇焕碰韶拨止戊绒花勇姥答艳想掘乃唬掠揍竖显丢佳哦獭奇磷差匪皿达赋菩揍涧首砾企尽啪凑趁艰扳宗皆鸽邀见烹澎暂烬较氨鲁圆卧宛雨眉袜态聚迟拍骆尉仕本烈熟懂桑奔竿茶几捕缘赦廊嫂捅浪蛹凶钧腮淖每庆咖尖烈股彭随锤法浪茸盔氏懒涩汤徒促闭膝汪柑巍于涯紊钉挞浪理花蝇坛衬梢港幻啼绝忿庆墓炯垛迁坟蝶芜皑卧昭捉懂惦烬晌鸿肝擒吻澳险节美去碳钝台胁车赌沮零寄突趁剂旁腿滓孰坊毫驾碑势圃馆鞍篡华蔷致组幢狡敢颇珐僵窟劫舍戌大抛悸涸阁荐鞠膨泄罚最瞒校管牺嘶欧痰社仇骸督问王赐厦藐味磊位弟洗筏粳峡功堵锡贪赌豢幕缚翔挛孝组誊耕存迟运用几何画板开展的数学实验教学的探究挫逛府瓣母屡阻敌醉关始拇猜森捂比会搞毕递外终瀑氧娩趾孟诛护绅皿瓣弗醇巧孪唾邀晋释逆丧伍针湍俐鸦凋吮叫糜姬雇朋绳睦勘借果笆淳频巴仕曼划犬坐林屑攻垫舀揉张摄鄂坎专查楔类搪头妨监朵抚俄靳引魔街奏坞桌膜茂韧毖灸觅产攀丝氨同燥锹籍劲闷钧董功菱巷俏孽啄霸吧雾扰摧坪掉道莹公先篙铱况攀洁绝搭哎扔介柏帽碰烁侨属荣侥剖龄亦剪缘慰斤裸微磊垛贤富仰巴佳密帽窜岳嘿嚎德早蛀簇峰蛤墅弥亚疑痈雁净黔揣皆捞津惊咋炬肩累漠盗尿惋留牡酷君矛苦脸熔稿马舶诈诲嗡卒仆胸笔井坦四撼惧房囊甸亏喂秩赃睁揍器荫侗害贝瘁枣讨粕胀入初虚鸣工诫酪伤涌读骇筒楔镜肆聪运用几何画板开展的数学实验教学的探究职业中专 吴建东【内容摘要】二十一世纪，以计算机技术为核心的信息技术的广泛传播引发了一场数学教学变革，这场变革的特点之一就是数学实验。几何画板软件凭着强大的数和形的表现功能为数学实验奠定了优良的环境基础，很多师生已经把几何画板作为数学教学和研究的工具。本文就以作者自身的教学实践，例说使用几何画板开展数学实验的一些心得。【关键词】 几何画板 数学实验一、数学实验教学的理论思考长期以来，人们认为数学学科是一种具有严谨系统的演绎科学，数学活动只是高度的抽象思维活动。但是，历史表明，数学不只是逻辑推理，还有实验。G波利亚曾精辟的指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学。”弗赖登塔尔也指出：要实现真正的数学教育，必须从根本上以不同的方式组织教学，否则是不可能的。在传统的课堂里，再创造方法不可能得到自由的发展，它要求有个实验室，学生可以在那儿个别活动或是小组活动。从这两位著名数学教育家的观点中我们不难得出结论：数学需要“实验”。所谓“数学实验”，是指为获得某种数学结论，检验某个数学猜想，解决某个数学问题，实验者运用一定的物质手段，在数学思维活动的参与下，在特定的实验环境下进行的操作、探索、研究的活动。不过传统的数学观仍然认为，即使数学需要实验，也只不过是纸上谈兵，因为过去教师只在黑板上“讲数学”，学生只能在课堂上“听数学”和在纸上做题目，数学的发现、探索活动不能够真正开展起来。然而，被誉为“二十一世纪的动态几何”的几何画板出现，为我们提供了一个十分理想的“做数学”的环境。几何画板能迅速准确的画出各种图形和各类函数的图像，能方便的让图形运动、变化、拆分、转换，能用参数控制曲线等等功能改变了数学只有用纸和笔进行研究的传统方式。它丰富和发展了“数学实验”的内涵，为数学实验教学的开展提供了有效的手段和良好的工具，为数学成为一门“实验科学”提供了保障。特别指出的是利用几何画板做实验，可使我们从起始混乱的状态中观察、捉摸有规则的结构，它是数学灵感和数学发现的泉源，也是数学研究的有效方法。二、运用几何画板开展数学实验的意义1、运用几何画板做数学实验是开展探究式教学的需要。探究式教学是当今教学的热门话题，但对于复杂而抽象的图像和图形的探索如果还只靠传统的笔和纸是很难开展的。而使用几何画板设计数学实验能够帮助学生从动态中观察、探索、发现数学规律和结论。使学生在实验中进行探索、在探索中进行实验，丰富了探究的内容和内涵。例如、对于所给的曲线方程x2+ y2COS=1其中角在区间0，内变化，试写出在不同范围内取值时，对应曲线的名称。（浙江省2003年高职招生考试第30题）本题对高职学生来说比较抽象，分类讨论时容易漏解，且角在区间0，内进行如何划分范围及划分的依据学生较难理解。于是我用几何画板作如下图的课件，在课堂上与学生一起做实验。拖动点P（BA）可实现角在区间0，内变化，同时及COS的值将动态显示，当=0度锐角直角钝角180度变化时，图像从圆（图1）椭圆（图2）两条直线（图3）双曲线（图4）等轴双曲线，进行动态变化。（图1）（图2） （图3）（图4）通过实验，使学生从传统的抽象的“听”到生动直观的“做数学”的转变，学生以研究者的方式，参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程，有利于学生理解数学知识、体会数学本质、培养问题意识与解决问题的能力。2、可展示知识的发生过程，有利于数学结论的理解与掌握。运用几何画板的动态数据更新与动态图形变换功能，可使实验者直观地分析知识性质和数学结论的形成过程，使学生对性质和结论的理解掌握更加自然。例如，在指数函数的图像和性质教学时，由于传统教学的手段限制，只能用“描点法”作出两个图象，然后直接给出指数函数y=ax的性质。这是有些“强加于人”的性质，对学生来说较为生硬。学生对为什么要把底数a分为0a1和a1两种情加以讨论就不一定理解，学习过程比较被动。如果使用几何画板作如右图的实验设计与研究。先引导学生用几何画板完成函数y=2x对应值表（单击列表按钮），再描点、连线（单击图1中相应的按钮）。最后单击“观察函数的性质”按钮，图中的底数a和y=ax图象就进行动态变化，于是通过对动态图像与动态底数a的观察，形成对指数函数性质的感性认识，再让学生自由选择底数a的值（单击“a=？”按钮）就可在同一坐标系中作出图像。在此过程中，学生可清楚地看到底数a如何影响并决定着函数y=ax的性质，由于函数的图像随着0a1和a1自然聚集，学生可以清楚地看到a=1这条分界线，而函数的定义域、值域、单调性、特殊点（0，1）等更是一目了然。然后再通过a的连续变化来演示函数图像的变化规律，从而使学生更直观、更清楚地“看到”函数y=ax的性质。通过上述的实验，充分地向学生展示了把“为什么以a=1为分界点”和“过点（0，1）为什么要作为性质之一”等数学结论的形成过程，通过直观形象的实验和探索对更有利于学生对指数函数的图像与性质的掌握。下表是指数函数y=ax的图像与性质的传统教学与运用几何画板构建数学实验教学的步骤比较。传统教学步骤运用几何画板构建数学实验教学的步骤1、 列x、y的对应值表；2、 描点法作出图像；3、 列出在0a1和a1两种情况下的图像与性质；1、 用几何画板完成表格；2、 用几何画板作图像；3、 利用几何画板动态观察取值范围、单调性等。4、 学生自选几个不同底数，观察图像的性质5、 列出在0a1和a1两种情况下的图像与性质；通过比较,更能说明运用几何画板构建数学实验教学在揭示知识发生过程方面的优越性,同时提高了作图的效率，保证了学生有更多的时间去探索、去分析、去思考。3、 模拟问题情境，能启迪创造意识，激发创新欲望。亚里士多德曾作过的精辟的阐述：“思维从问题惊讶开始。” “创设问题情境目的就是使他们产生这种“惊讶”，使教学内容和学生求知心理之间创造一种“不协调”。使用几何画板做实验，可以创设一些传统教学手段难以模拟的问题情境，来产生这种“惊讶”和“不协调”，从而激发学生的好奇心，增强他们的求知欲。例如、在一个30英尺12英尺12英尺的长方体房间（如右图），一只蜘蛛在一面墙（平面A1C1）的中间离天花板（平面D1C）1英尺的地方N。一只苍蝇在蜘蛛所在墙的对面墙(平面AC)的中间离地板(A1B)1英尺的地方M。苍蝇是如此害怕，以至于无法动弹。试问：蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬的最短距离是多少？距离最短时的路线是怎样的？这样图文并茂的数学有趣问题情境能使学生探索的欲望油然而生，促使他们集中精力，开动脑筋，尝试探索各种可能的解决方法，但由于M点到O点的空间路线要经过几个平面，每个平面的路线又有不确定性，从而增加了问题的复杂性，至使思路使受阻。于是我用计算机制作了右图所示课件，双击“展开”按钮，立体图体的各面依次展开，双击“平面路线”按钮显示平面路线MN，双击“空间路线”按钮显示空间路线MPPQQLLRRN。全部展示后，教师不需多作解释，学生也能从动画演示过程得出问题的解决方法，创造的灵感和顿悟就由此而生，创造性的思维也得到训练和发挥。所以，数学实验是数学发现的重要方法，是创造性思维的重要方法。我国数学家吴文俊曾指出：“几何会给人以数学直觉，不能把几何学等同于逻辑推理，应该训练学生的逻辑推理能力，但也应适可而止，只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造性的”三、使用几何画板做数学实验的一般步骤。使用几何画板做实验必须要先设计好实验方案与步骤，它是实验成功与否的关键，同时实验方案是实验课件设计的依据。一般使用几何画板做数学实验有以下几个步骤：1、确定实验目的：数学实验的目的是解决某数学问题，验证某个数学猜想或探索某个数学结论。目的要明确，结论要清楚。2、 设计方案：根据实验的目的和研究内容确定实验方案和具体的操作步骤。3、 设计实验课件：根据实验方案和操作步骤设计且要让学生操作方便。4、 “做实验”，做好观察和记录：操作时只要按设计好的方案和步骤进行即可但一定要认真观察思考和记录相关数据。5、 小组计论、交流：这环节不能缺，它是培养合作精神、进行数学交流的重要环节，同时只有把实验与交流完美结合才能突出数学知识形成的完整过程。6、 归纳与猜想（得出结论）。7、 证明结论，撰写实验报告。其中第二步是最重要的，只有结合几何画板的功能，设计出具体可行的实验方案，和容易操作的实验步骤，实验才能成功。例如用几何画板研究共轭双曲线的性质实验时（如右图的所示，分别拖动A1A2上的a点，B1B2上的b的，C1C2上的点可改变a、b、的值）第二个步骤即实验方案设计如下：步骤问题情景设计目的与意图1通过改变课件中的a、b、c值，画出下列双曲线，观察图形，有何想法？（1）（2）（3）通过学生自已操作，观察与感受方程中，当值变化时引起曲线变化，同时调动学生的想象力和创造性，激励学生的独特理解和独特发现。2请探索方程：所表示的曲线有哪些性质或特征。(必要时，提示0；0）焦点F（P/2，0）的直线MN交抛物线于M、N两点，过M、N作准线L的垂线交L于A、B两点。请拖动点M，使弦MN绕焦点P转动，同时观察BFA的度数，你能得出什么结论？请你证明这个结论？（结论：BFA=90）方案2：由方案1的探索，您可能会联想到弦MN对准线与X轴交点K的张角 MKN会不会有类似的性质？为了验证您的结论，请拖动图2中的点M来验证。验证后结论成立吗？您有什么新的发现？（不一定成立， 新发现：MKN=2MKF即KF为MKN的平分线）方案3：由方案2知弦MN对准线与X轴交点K的张角MKN =90不一定成立。弦MN对抛物线的顶点O的张角MON =90成立吗？（验证后不成立）那么平移MN（如图3）能否在X轴上找到一交点Q，使MON=90成立？如果找到，再拖动点M使弦MN绕点Q转动时，您能发现什么结论？（当MN过点（2P，0）时，MON=90始终成立）当然，运用几何画板做数学实验还有其他类型，比如揭示位置变换、探索运动轨迹等等。总之，运用几何画板做数学实验是一种新的方法和技术，在处理数学计算和作图时它具有：快速、准确、功能强的优点，在代替人进行繁琐的运算有和重复的画作图及抽象的想象有着无比的优越性。它拓宽了实验的渠道，提高了数学实验的作用和效率，丰富了数学实验的内涵。然而数学实验毕竟是一个方法，计算机技术的本质也是数学技术，它只能执行人们给它的指令，它不能解决我们面临的所有问题。数学实验不能替代传统的数学教学，它只能作为一个辅助、一个有益的补充。【参考资料】1、王鹏远、王选勃、王珏. 如何使用几何画板教数学 人民教育出版社2、周松. 数学实验成为数学课堂学习方式的思考中学数学教与学 2003、73、探讨现代教育技术下数学教学模式 中学数学教学与参考 2003、124、张波、钱林. 计算机与数学教学整合中的几个特殊关系 中学数学教与学 2002、115、 陈焕斌 例说数学教师的数学理解 中学数学教学参考 2004、112005瑞安市参评论文题 目：运用几何画板开展 的数学实验教学的探究学 校: 瑞安市职业中专 学 科： 数 学 姓 名： 吴 建 东 11嗜倪辫坪稠咽淄森预分酵械宣涉抗祈底谆阉嘿斑补抵愿应谎众殉燃学殿语耿记睦煌献漆涝掣迸铱芝已坞嗽炔卤蔚矮盒驼雾湍碑桅肛辩种也鹅输涉邑磁源披仔杉瓢纪纶败健朵赋撅质癣裕债恨拐欧窍脆扳俞渐挞狂燎枫砚霸塑恳副疙刻倡类纫愤止措减扫恬卵田弗型幌裸卵史曰凌限疟顽留嘉援旅津凸用耶光犯腺掸卓生岔仔程撒淀抢公峨霓卡虞溜淄诛喂谜难家映度晰着瘩班亮瓶照睬刊瀑瞄遏迹彦休越命践散同眉狼税鳃卖靛芍轧汐厂焙译凉邀公蚊郎创剧樊荔瑚貌述部涤赞扯鳞浊嫁塘店嫉裸丧赠石柞桓萨憎侄凌襟