第三章线性方程组向量组相关性习题课

第三章线性方程组习题课,定义,1.线性组合,2.线性表出,定义,3.线性相关,4.线性无关,线性相关性的性质,部分相关-整体相关,（整体无关-部分无关）,短向量线性无关，则加长向量线性无关；长向量线性相关，则缩短向量线性相关,推论2任意n1个n维向量必线性相关.,推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量,定义,5.向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩,定理,设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩,推论,推论：一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,命题2：一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.,极大无关组的性质,1）一个向量组的极大无关组不是唯一的.,2）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.,注：,向量组的秩的性质,1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；,6.矩阵的秩,1.设，则,推论1,齐次线性方程组,有非零解系数矩阵的行列式=0,只有零解,7线性方程组,7.1齐次线性方程组,解的性质；基础解系1.基础解系的条件2.基础解系的性质：与基础解系等价的线性无关组任意n-r个线性无关的解向量3.基础解系的求法,7.2非齐次线性方程组,解的性质解的结构,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、基础解系的证法,四、解向量的证法,典型例题,一、向量组线性关系的判定,研究这类问题一般有两个方法,方法1从定义出发,整理得线性方程组,方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定,例研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,证明向量组的一个部分组构成极大线性无关组的基本方法就是：,分析,根据极大线性无关组的定义来证，（本身线性无关，其余向量可由其线性表出）它往往还与向量组的秩相联系,证明,证明：只需证明向量部分组线性无关即可，两向量组等价，具有相同的秩因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关即证,证明：向量组(I)的极大无关组可由向量组(II)线性表出，而且(II)的极大无关组与(II)等价，即，向量组(I)的极大无关组可由(II)的极大无关组线性表出，(I)的极大无关组线性无关，由定理2的推论1，知，R(I)=R(II),证明：两向量组等价，具有相同的秩n因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关即证,证明2：R(a1,a2,an)=r=n，R(II)=n,向量组II,可由向量组(I)线性表出，所以R(II)=n=R(I)=r所以r=n因此(I)线性无关即证,证明：必要性：已知：向量组I线性无关，结论:任一n维向量可被向量组(I)线性表出。向向量组I中任意添加一向量，构成的新向量组共有n+1个n维向量构成，线性相关（定理2推论2）,证明：充分性：已知：任一n维向量可被向量组(I)线性表，结论:出向量组I线性无关。任一n维向量可被向量组I线性表出，则n维单位向量也可被其线性表出，由(t13)可知，向量组I线性无关,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的,如果向量组的向量以列向量的形式给出，把向量作为矩阵的列，对矩阵作初等行变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出极大线性无关组,二、求向量组的秩,若矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则A和B中任何对应的列向量组都有相同的线性相关性,解,例5证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系,三、基础解系的证法,分析,(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示,(1)该组向量都是方程组的解；,(2)该组向量线性无关；,要证明某一向量组是方程组的基础解系，需要证明三个结论:,证明,注当线性方程组有非零解时，基础解系的取法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的,四、解向量的证法,证明,注意(1)本例是对非齐次线性方程组的解的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方程组一定存在着个线性无关的解，题中(2)的证明表明了它的存在性,(3)对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给的个解称为的基础解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为1时，才是方程组的解,(2)对齐次线性