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1.3.2函数的极值与导数,一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：,知识回顾,(2)求导数,(3)解不等式;或解不等式.,(1)求的定义域D,(4)与定义域求交集,利用导数讨论函数单调性的一般步骤:,(5)写出单调区间,观察：如下图，我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距离水面的高度最大，那么函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应的导数的符号有什么变化规律？,思考：,思考：对于一般的函数y=f(x)是否也有类似的性质呢？如下图(1)(2)函数y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点附近的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数符号有什么变化规律？,(1),(2),【函数极值的定义】,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。记作:y极小值=f(x0)，点x0为极大值点。,极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点,【关于极值概念的几点说明】,(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；,(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;,(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;,(4)函数的极大(小)值只能在定义域内部取得，不能在定义区间的端点取得;,观察上述图象，说出哪些是极大值点，哪些是极小值点。,【问题探究】,函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?,一般地，当函数在点处连续时，判断是极大（小）值的方法是：,（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值,（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值,注：导数为0的点不一定是极值点,【函数的极值与导数的关系】,当,例1、求函数的极值,例题讲解,解：,当时，y有极大值，并且,当时，y有极小值，并且,小结,（3）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值(列表求极值),（2）求方程的根,例2、求函数的极值,解：,当时，y有极小值，并且,例3:已知，在时取得极值，且，求的表达式。,一般地，当函数在点处连续时，判断是极大（小）值的方法是：,（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值,（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值,注：导数为0的点不一定是极值点,【函数的极值与导数的关系】,当,（3）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极
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