数学复习集合与逻辑、推理与证明课件苏教

集合与逻辑推理与证明,本单元知识结构,推理与证明,推理,证明,合情推理,演绎推理：大前提，小前提，结论,归纳推理,类比推理,直接证明,间接证明：反证法,比较法,综合法,分析法,本单元重点难点,（1）与集合有关的基本概念和集合的“并”、“交”、“补”运算。（2）全称量词、全称命题、存在量词、存在性命题等概念及应用。（3）充分、必要、充要条件的意义，两个命题充要条件的判断。（4）合情推理与演绎推理的概念和应用。（5）直接证明与间接证明的基本方法。,重点：,（1）有关集合的各个概念的含义以及这些概念之间的联系。（2）含有一个量词的命题的否定。（3）判断充要条件时，区分命题条件和结论。（4）运用合情推理与演绎推理解决问题。（5）反证法的证明。,难点：,本单元高考分析,（1）近几年来，每年都有考查集合的题目，总体来说这部分试题有如下特点：一是基本题，难度不大;二是大都以填空题形式出现，有时是解答题的一个步骤。对于集合的考查：一是考查对基本概念的认识和理解，二是对集合知识的应用。无论哪一种形式，都以其他基础知识为载体，如方程（组）、不等式（组）的解集等。,（2）对于逻辑的考查主要考查四种形式的命题和充要条件，特别是充要条件，已经在许多省市的试卷中单独出现，命题形式：一是原命题与逆否命题的等价性（含最简单的反证法）;二是充要条件的判定。在考查基础知识的同时，还考查命题转换、推理能力和分析问题的能力以及一些数学思想方法的考查。,（3）推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的考查无处不在，从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明是高考中常考的题型之一，对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断经常用到，有独到之处。,（4）预计在今后的高考中，集合部分的试题还将以填空题的形式出现，主要考查集合语言与集合思想的运用，考查以集合为背景的应用性、开放性问题，命题将构思巧妙、独特新颖、解法灵活；而对于命题的考查与其它知识相结合，因此基本概念和技能一定要落实好。,典型例题分析类型一、集合元素的特征：,注意：由于集合元素的互异性，因而对求集合中参数的值的问题，必须有检验的意识。,检验：当a=-1时，不符合,变式拓展：,2设p,q为两个非空实数集合，定义,若p=-1,0,1,q=-2,2则集合中元素的个数是_,2,3,解：,类型二、集合的表示：,不能写成：,解：,方法点拨：在处理集合问题时首先看集合的代表元素，由代表元素确定集合的性质。,元素是实数,类型三、元素与集合、集合与集合的关系：,分析：,例3,类型四、集合的运算,例已知A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,且AB=A,求实数m的取值范围,规律技巧总结：解决两个数集关系问题时，应注意以下几点：（1）注意空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，注意不要漏掉这一点。（2）解决此类问题，避免出错的一个有效手段是合理利用数轴帮助分析与求解，这也是数与形的完美结合之所在。（3）在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况要给出问题的解答，分类讨论的一般步骤是：确定标准；恰当分类；逐类讨论；归纳结论。,类型五、四种命题及其关系,（1）命题“若,则,”的否命题为.,解：若ab，则,；,注意：命题若A则B的否命题是：若非A则非B；命题若A则B的否定是：若A则非B全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题,（2）命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为,解：存在一个自然数，它的平方不是正数；,例5.,类型六、充要条件,（1）,（2）条件p:|x-a|1,条件q:2x5,若p是q充分不必要条件,则a的取值范围是_,的_条件.,充分不必要,点评：对于涉及充分必要条件判断的问题，必须以准确、完整地理解充分必要条件的概念为基础，有些问题需转化为等价命题后才容易判断。互为逆否的两个命题是等效的（同真同假），互逆或互否的两个命题是不等效的。,例6.,类型七、用含逻辑联结词命题的真假的判断求参数的范围,例7.已知p：有两个不等的负根，q：无实根若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围,解：p：有两个不等的负根q：无实根,综上得m的取值范围是：,因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反,点评：（1）含有逻辑关系词的命题要先确定构成命题的命题的真假，求出此时参数成立的条件；（2）其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件；注意为假且为真，等价于p,q中有且只有一个正确,即解这类问题时，一般是先把p、q都为真命题时求出所满足的条件，然后再分情况讨论.,例8.已知若是的必要不充分条件,求实数m的取值范围.,解得：,由题意得：P：q:,法二：,因为是的必要不充分条件；所以q是p的必要不充分条件，,点评：本例涉及到参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决。一般地，在涉及到求字母参数的取值范围的充要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑。,类型八、合情推理与演绎推理,9.已知扇形的弧长为,半径为r，类比三角形的面积公式：，可知扇形面积公式_,10.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为,1：8,点评：类比推理步骤，首先，找出两类对象之间可以准确表述的相似特征；然后，由一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而做出一个猜想，最后检验这个猜想。,11.在数列中，猜想这一数列的通项公式,解法一：猜想数列的通项公式为,为等差数列,解法二：,点评：解法一：运用归纳推理得出结论，简单明了；解法二：运用演绎推理，推理严谨。但运用合情推理需要观察、分析、归纳、猜想；由归纳推理所得的结论未必可靠，但它由特殊到一般的认识功能，适合对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一。,类型九、直接证明与间接证明,例12.已知非零向量,求证：,证明：,只需证：,平方得：,只需证：,要证,点评：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充分条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此，在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”。,例13.已知求证：不能同时大于,这与假设矛盾，故原命题得证。,例14.已知a,b,c为正实数，a+b+c=1，求证：,方法2：,方法3：设,点评：充分利用“1”的代换，乘法公式是化简证明的关键。,点评：同一个问题，可能有不同的思路会用到不同的方法，分析法、比较法、综合法、反证法中探索寻求一种恰当的方法。,综合法特点是：由因推出结果；分析法特点是：由结果追溯到这一结果的原因。在证明问题时