第四章 线性方程组ppt课件

.,第四章线性方程组,.,4.1齐次线性方程组,对于线性方程组（未知量的个数与方程的个数相等）如果其系数行列式不等于零，可由利用克拉默法则来求解。否则不然。即若,.,（1）线性方程组的未知量个数与方程的个数不相等，（2）系数行列式等于零则不能使用克拉默法则求解。下面讨论一般的线性方程组的求解问题。首先讨论奇次的线性方程组的情况,.,设有线性方程（未知量的个数与方程的个数不一定相等）(4.1),.,引进矩阵则齐次线性方程组可以写成(4.2)其中0代表m个分量都为零的列向量或列矩阵。,.,齐次线性方程组永远有解，零解就是它的一个解。若为方程组的解，则称,.,为该方程组的解向量。以解向量的形式表示线性方程组的解更方便。若把看作由列向量组成的矩阵，设则方程组可写成（4.3）,.,上面给出了齐次线性方程组的三种不同形式，它们表示同一个方程。可根据需要进行选择使用。由第二章的讨论，我们知道，齐次线性方程组有非零解的充要条件是。即系数矩阵的秩小于方程组中未知量的个数。,.,一、齐次线性方程组解的性质,性质1如果都是齐次线性方程组的解向量，则也是该方程组的解向量。证因所以为的解向量。,.,性质2如果是齐次线性方程组的解向量，则也是该方程组的解向量，其中为任意常数。,证明：因满足方程从而即也是解向量。,.,叠加原理：设是齐次线性方程组的解，则也是该方程组的解（其中为任意常数）。记为齐次线性方程组的全体解的集合。由性质1和2知道作成一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间。,.,二、齐次线性方程组的基础解系,定义齐次线性方程组的解空间的一个基，称为此方程组的一个基础解系。由此可知，如果向量是齐次线性方程组的一个基础解系，则它一定要满足以下条件,.,1)是方程组的线性无关解向量。2)方程组的任一个解均可由线性表示，即,.,三、齐次线性方程组的求解,如果能够找到方程组的一个基础解系，则它的任一个解都可以表示为其中为任意常数，称为方程组的通解。,.,设方程组的系数矩阵为矩阵的秩，则。不妨假设矩阵前列线性无关。对矩阵进行初等行变换把它化为行最简形矩阵。,.,.,此时齐次线性方程组与以为系数矩阵的齐次线性方程组（4.4）同解。任给一组值，则唯一确定的一组值，于是得到方程组(4.4)的一个解。,.,令取下列组数：由方程组(4.4)依次可得从而得到方程组(4.1)的个解向量。,.,下证构成方程组(4.1)的一个基础解系。1)因为的后个分量组成的向量构成的向量组线性无关，从而可知线性无关。2)设为方程组(4.1)的任意一组解，记为，则,.,考虑向量由解向量的性质1和2知，是的解。注意到,.,.,比较和知，它们的后个分量完全一样，由于它们都满足方程组（4.4)，从而推知与的前个分量也应该完全一样，从而。这就证明了是解空间的一个基，即基础解系，因此有,.,定理1设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则方程组的基础解系中含有个解向量，或者说它的解空间的维数为。,.,说明：1）基础解系不是唯一的，如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则它的任意个线性无关的解向量均构成一个基础解系。2）如果，方程组只有零解，故不存在基础解系。3)如果是方程组的一个基础解系，则此方程组的任一个解均可以表示为其中为任意常数，称为方程组的通解。上面的证明提供了一个求基础解系的方法。,.,四、用初等行变换求解齐次线性方程组,只对系数矩阵进行初等行变换，不可以进行列初等变换。例1.求解方程组:解:对系数矩阵进行初等变换,.,.,可见系数矩阵的秩是2，方程组的基础解系中含4-2=2个向量。原方程组与下列方程组同解:取作为自由未知量,得一般解为:取，则取，则分别得两个线性无关的特解:,.,此即原方程组的一个基础解系.所以通解为:(为任意实数),.,例2.求解方程组:,.,解:对系数矩阵进行初等变换,.,可见系数矩阵的秩是2,方程组的基础解系中含2个向量.原方程组与下列方程组同解:取作为自由未知量,得一般解为:,.,取和即分别得两个线性无关的特解:此即原方程组的一个基础解系.所以通解为:(为任意实数),.,例3.求解方程组:,.,解:对系数矩阵进行初等变换即,.,写成通解为为任意实数,.,例4.问取何值时，方程组有非零解，并求其通解。解:对系数矩阵进行初等变换,.,.,当时，由得方程组通解为为任意实数,.,当时，由得方程组通解为为任意实数。,.,例5.设是一个三阶非零矩阵，它的每一列是齐次线性方程组的解，求的值和。解:由于是一个三阶非零矩阵，所以中至少有一列向量不是零向量，又因的每一列是齐次线性方程组的解，由该齐次线性方程组有非零解，从而得.,.,当时，解空间的维数，即方程组的基础解系只有一个解向量，因而的三个列向量线性相关，得.例6.设是矩阵，证明证设为维列向量。下证方程组与同解。若满足，则有，即,.,若满足，则有即从而.由于方程组与同解，因而它们的解空间的维数相同，由得,.,4.2非齐次线性方程组,设有非齐次线性方程组(4.1),.,引进矩阵,则线性方程组和可以分别写成(4.2)其中常数项不全为零。把看作由列向量构成的矩阵，设则方程组可写成（4.3）,.,称为方程组的系数矩阵，称为方程组的增广矩阵。下列结论是等价的（1）方程组有解；（2）可由线性表示；（3）和等价；（4）与的秩相等。,.,定理2非齐次线性方程组有解的充分必要条件是.在方程组中令则得到齐次线性方程组，称为对应的齐次线性方程组，或称为的导出组。性质3如果都是方程组的解,则是的解。证因为所以是的解。,.,定理3（结构定理）设非齐次线性方程组有解，则其一般解（通解）为其中为此方程组的一个特解，为其导出方程组的一般解。证明设是方程组的任一解，由性质3知是齐次方程组的解，设则设矩阵的秩为，为求非齐次线性方程组的通解，应先求它的一个特解，再求其导出组的一个基础解系，则此非齐次线性方程组的通解为,.,中为任意常数。非齐次线性方程组解的情况：1.时，非齐次线性方程组无解；2.时，则方程组有解；（1）时，方程组有唯一解；（2）时，方程组有无穷多解。（其中为方程组中未知量个数）,.,例1.求下列方程组的解:解:对增广矩阵进行初等行变换,.,由于，方程组有解。得同解方程组即令，则。原方程组的一个特解为:,.,对应的齐次线性方程组为基础解系为,.,所以原方程组的通解(或一般解)为:(为任意实数)也可由直接写出通解(为任意实数),.,例2求解方程组解:对增广矩阵进行行变换:,.,可见,故方程组无解.,.,例3设与都是阶矩阵,试证:如果,那么.证如果,那么的列向量都是齐次方程组的解,设,那么最多有个线性无关的解,所以即,.,例4试证:如果,那么证因为,所以(由上例可证).另一方面所以.,.,例5设是一阶矩阵(),试证证明:因为如果,则,