高三数学2.5二次函数课件

要点梳理1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f（x）=.(2)顶点式：f(x)=.(3)零点式：f(x)=.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.,2.5二次函数,基础知识自主学习,ax2+bx+c(a0),a(x-m)2+n(a0),a(x-x1)(x-x2)(a0),已知三个点的坐标时，宜用一般式.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式.已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.,2.二次函数的图象和性质,3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),当=b2-4ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1，0)、M2(x2，0)，4.三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）.在高考中三个二次不仅是各种问题转化的最后的落脚点，而且单纯的三个二次问题间的相互转化有时技巧性也会很强.,基础自测1.函数y=x2+bx+c（x0，+）是单调函数的充要条件是（）A.b0B.b0C.b0D.b0解析b0.故选A.,A,2.方程a2x2+ax-2=0(|x|1)有解，则（）A.|a|1B.|a|2C.|a|1D.aR解析原方程可分解为(ax+2)(ax-1)=0,ax=-2或ax=1,则有|a|2或|a|1.即|a|1.,A,3.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）解析选项A中,一次函数的斜率a0,而二次函数开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D,y=ax2+bx+c的对称轴为当a0,b0时，排除B.当af(2)C.f(3)=f(2)D.f(3)与f(2)的大小关系不能确定解析f(4)=f(1),选C.,C,5.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的表达式为（）A.f(x)=-x2-x-1B.f(x)=-x2+x-1C.f(x)=x2-x-1D.f(x)=x2-x+1解析方法一由f(0)=1,可得f(x)=ax2+bx+1(a0)，用排除法可选D.,方法二由f(0)=1,可得f(x)=ax2+bx+1(a0),故f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1.f(x+1)-f(x)=2ax+a+b,由已知：f(x+1)-f(x)=2x,即2ax+a+b=2x.,答案D,题型一二次函数的解析式的求法【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式.确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用.,题型分类深度剖析,思维启迪,解方法一设f(x)=ax2+bx+c(a0),依题意有所求二次函数为y=-4x2+4x+7.方法二设f(x)=a(x-m)2+n.f(2)=f(-1),抛物线对称轴为m=,又根据题意函数有最大值为n=8，y=f（x）=f（2）=-1，解之，得a=-4.方法三依题意知：f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即,解之，得a=-4或a=0(舍去）.函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)(2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a0)(3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0)具体用哪种形式，可根据具体情况而定.,探究提高,知能迁移1设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f（x）=0的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),求f（x）的解析式.解设f(x)=ax2+bx+c(a0).由f(x+2)=f(2-x)知，该函数图象关于直线x=2对称,即b=-4a.又图象过（0，3）点，c=3.,b2-2ac=10a2.由得a=1,b=-4,c=3.故f（x）=x2-4x+3.,题型二二次函数的图象与性质【例2】已知函数在区间0,1上的最大值是2，求实数a的值.研究二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论对称轴与给定区间的关系.解对称轴为,思维启迪,(1)当01，即0a2时，得a=3或a=-2,与0a2矛盾.不合要求；(2)当1，即a2时，y在0，1上单调递增，有ymax=f(1),f(1)=2综上，得a=-6或a=,探究提高(1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对函数最值的影响.(2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y=a(x-m)2+n的形式，得顶点（m，n）或对称轴方程x=m，分三个类型：顶点固定，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点固定，区间变动.,知能迁移2已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t).解f（x）=-x2+8x=-(x-4)2+16当t+14时，f(x)在t,t+1上单调递减.此时h(t)=f(t)=-t2+8t.综上可知,题型三二次函数的综合应用【例3】（14分）已知二次函数y=f(x)的图象与x轴交于A，B两点，且它在y轴上的截距为4,又对任意的x都有f(x+1)=f(1-x).（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线l:y=x+c的下方，求c的取值范围.先根据性质特征：关于x=1对称，可设为顶点式再待定系数.,思维启迪,解题示范解（1）方法一f（x+1）=f（1-x），y=f（x）的对称轴为x=1，2分又f(x)为二次函数，可设f(x)=a(x-1)2+k(a0),又当x=0时，y=4,a+k=4,得f(x)=a(x-1)2-a+4,令f(x)=0,得a(x-1)2=a-4.6分即f(x)=-2(x-1)2+6=-2x2+4x+4.8分,方法二令二次函数y=f(x)的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），（x2x1）,f（x+1）=f（1-x），x1+x2=2，x2-x1=，得3分设二次函数又f(0)=4,则a=-2.即f(x)=-2(x-1)2+6=-2x2+4x+4.8分(2)由条件知-2x2+4x+40对xR恒成立.12分14分,探究提高（1）求二次函数的解析式问题，一般都采用待定系数法，就是根据条件先确定什么形式.如一般式、顶点式、两点式等.（2）在研究二次函数图象在直线上方或下方，通常是构造不等式，这也是数形结合的一个重要方面.,知能迁移3已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b为常数且a0)满足条件：f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）设g(x)=f(x)+tx(tR)，试求g(x)在区间-1,1上的最小值；（3）是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别是m，n和3m,3n?如果存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由.,解（1）f(-x+5)=f(x-3),f(x)的对称轴又f(x)=x有等根，ax2+(b-1)x=0有等根.,（2）其对称轴为x=t+1,函数图象是开口向下的抛物线，故求最小值只需讨论区间两个端点-1与1离对称轴的距离.,当t+10，即t-1时，为最小值；当t+10，即t-1时，为最小值.（3）假设存在这样的m、n满足条件，故二次函数f(x)在区间m,n上是增函数，mn,m=-4,n=0.,思想方法感悟提高方法与技巧1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路.2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等.3.求二次函数解析式的方法有：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0）;(2)顶点式：y=a(x-h)2+k;(3)两点式：y=a(x-x1)(x-x2).,4.关于二次函数y=f(x)对称轴的判断方法：（1）对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为:(2)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为：x=a(a为常数).（3）对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x+2a)=f(x)，那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为:x=a(a为常数).,注意：（2）（3）中，f（a+x）=f(a-x)与f(x+2a)=f(x)是等价的.（4）利用配方法求二次函数y=ax2+bx+c(a0)对称轴方程为(5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数y=f(x）对应方程为f(x)=0两根为x1、x2,那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为：,失误与防范1.求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟练准确利用配方法.2.对于函数y=ax2+bx+c要认为它是二次函数，就必须认定a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a=0和a0两种情况.3.对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)给定了定义域为一个区间k1，k2时，利用配方法求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：,对于这种情况，也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值.这两种方法运算量相当.4.注意判别式作用，正确利用判别式.,定时检测一、选择题1.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（）A.a2或a3B.2a3C.a-3或a-2D.-3a-2解析本题考查二次函数图象及其性质，由于二次函数的开口向上，对称轴为x=a，若使其在区间（2，3）内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a2或a3.,A,2.已知2x2-3x0，那么函数f(x)=x2+x+1（）A.有最小值但无最大值B.有最小值有最大值1C.有最小值1，有最大值D.无最小值，也无最大值解析由2x2-3x0得故选C.,C,3.如果f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(t+2)=f(2-t)，那么（）A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)解析由f(t+2)=f(2-t)知f(x)的对称轴为：x=2,f(x)在2,+）上单调递增，f(2)f(3)f(4),又f(1)=f(22-1)=f(3),f(2)0在0，+）上恒成立.,m0，在x0时，g(x)0;在x0时，g(x)0,需使f(x)=2x2+(4-m)x+4-m0在（-，0上恒成立，综上可知，m0,12,则实数m的取值范围是.解析方法一,方法二设f(x)=x2-mx+1,=1且12,01.由图可知，f（1）f(2)=(2-m)(5-2m)0,bR,cR).（1）若函数f(x)的最小值f(-1)=0,且c=1,（2）若a=1,c=0,且|f(x)|1在区间(0,1恒成立，试求b的取值范围.解（1）由已知c=1,a-b+c=0,且解得a=1,b=2.f(x)=(x+1)2.,F(2)+F(-2)=(2+1)2+-(-2+1)2=8.,（2）f(x)=x2+bx，原命题等价于-1x2+bx1在(0,1上恒成立，,11.已知a、b、c、d是不全为零的实数，函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d,方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数根都是g(f(x)=0的根，反之，g(f(x)=0的实数根都是f(x)=0的根.（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围.解（1）设r为f(x)=0的一个根，即f(r)=0,则由题意得g(f(r)=0，于是,g(0)=g(f(r)=0,即g(0)=d=0.所以，d=0.,（2）由题意及(1)知f(x)=bx2+cx,g(x)=ax3+bx2+cx.由a=0得b,c是不全为零的实数，且g(x)=bx2+cx=x(bx+c),则g(f(x)=x(bx+c)bx(bx+c)+c=x(bx