线性代数第1讲

1,线性代数,主讲：,联系方式：,李发来2,线性代数绪论,3,问题：,1、什么是线性代数？,2、为什么要学线性代数？,3、怎么做才能学好线性代数？,4,一、什么是线性代数？,（一）线性,线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系,只有数乘和加减。,线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法，,一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述为一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数，显然，过原点的直线是最简单的线性函数。,线性代数研究的都是线性问题!,5,代数学的英文名称是algebra，是9世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原与对消的科学”。什么叫做对消，大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就是把本来淹没在方程中的x把它暴露出来，还原了x的本来面目，所以方程是和代数紧密联系的。,“代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。,（二）代数,6,历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。,另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。,7,（一）线性方程组,求解线性方程组是数学问题中最重要的问题，超过75%的科学研究和工程应用中的数学问题，在某个阶段都涉及线性方程组的求解。,二、为什么要学线性代数：,线性方程组的求解我们在中学甚至小学就已经开始学习，可能大家觉得是一件非常简单的事情。没什么再值得研究学习的，是这样的吗？,线性方程组,是不是有解？有的话是唯一解还是无穷多解？,8,对于线性方程组我们主要研究三个问题:,前面的方程组有两个未知量，那如果有五个，十个，一百个把未知量的个数再代数一下，n个未知量呢？,1、是否有解?,2、有唯一解还是有无穷多解?,3、有无穷多解的话通解怎么表示?,(通解是指线性方程组所有解的代数表示),9,（二）矩阵,矩阵相关理论知识在解决实际问题中也发挥着越来越重要的作用：,用矩阵知识可以做投入产出分析、价格矩阵、产销矩阵及破译密码、编写复杂的密码等方面应用；,数字图像处理的实质就是矩阵的运算，每一幅灰度图像就对应着一个矩阵；,著名的搜索引擎Google则应用了矩阵的特征值和特征向量理论；,矩阵相似于对角阵的理论是机械振动、线性电路分析及自动控制理论中不可缺少的工具。,10,（三）向量、向量组、向量空间,对矩阵的进一步分析研究产生了向量的相关理论，有了向量，向量组，向量空间的相关概念知识后，得以使我们将代数与几何联系起来。,进一步的，我们可以对代数有了直观的理解。这种关系在我们学过相关知识后会有一个更清晰的认识。,（四）考研的需要,数学一：高等数学、线性代数和概率与统计,数学二：高等数学和线性代数,11,三、怎么做才能学好线性代数：,1、线性代数是大学几门数学课里相对来说最容易的，这门课对数学的基础要求很低，只要认真学，每个人都可以学好，它与中学里的数学基础并无多大关系。因此，现在每位同学是在相同的起跑线上的，要对自己有信心。,2、抽象性是线性代数的最大特点。所谓的抽象，主要指的是我们研究的全是代数，不是具体的数。因此，面对抽象性，我们要能做到使抽象具体化。当把代数用具体的数来代替时，自然就不抽象了。,12,3、概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的主要特点，应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使所学知识能融会贯通，举一反三。,具体在学习过程中，希望大家做到以下几点：,(1)课前预习，认真听讲，课后复习，亲自练习；,(2)注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算；,(3)知识要成网。,13,线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和向量组。,这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种上去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。,14,第一章,行列式,15,第1章行列式,第一讲二阶与三阶行列式,16,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,17,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,18,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表,定义,即,19,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,例如,20,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,21,22,23,则二元线性方程组的解为,注意分母都为原方程组的系数行列式.,24,例1,解,25,对于三元线性方程组,用消元法可解得：,二、三阶行列式,26,由方程组的九个系数确定.,27,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,28,(1)沙路法,三阶行列式的计算,29,(2)对角线法则,注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,30,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,31,若记,或,32,记,即,33,34,得,35,得,36,则三元线性方程组的解为:,37,例,解,按对角线法则，有,38,方程左端,解,由解得,例3求解方程,39,例4解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,40,同理可得,故方程组的解为:,41,自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组如n元一次线性方程组,它的解是否也有类似的结论呢？,三、思考,42,为此，我们需要解决如下问题：,2）n阶行列式的性质与计算？,1）怎样定义n阶行列式？,3