数学分析第二十一章重积分第二次课

5三重积分,一、三重积分的概念,设空间立体V的密度函数为,则,其中,积分和,把任意分成n,小块i，任取(iii)i,定义1,的函数,J是一个确定的数，,在上可积,在上的三重积分,记作,积分和,是定义在三维空间可求体积的有界闭区域上,三重积分的可积性条件和性质与二重积分相似。,性质:,例如，,3)中值定理.,在有界闭域上连续,则存在,使得,V为的,体积,二、利用直角坐标系计算三重积分,方法1.截面法(“先二后一”),方法2.投影法(“先一后二”),方法3.三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,可用于一般可积函数的积分计算.,的密度函数,方法:,三种计算方法,方法1.截面法(“先二后一”),因此,为底,dz为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,方法2.投影法(“先一后二”),如图，,注意,因此,该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,方法3.三次积分法,设区域,利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:,方法1.截面法“先二后一”,方法2.投影法“先一后二”,方法3.“三次积分”,解,解,如图，,将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,练习1,六个平面,围成,其中V为三个坐标,计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,面及平面,练习2,例6.计算三重积分,解:,用“先二后一”,练习3,作业：P251,1(1)(3),2(1).,三、三重积分换元法,1.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,其中为由,练习4.计算三重积分,所围成,解:在柱面坐标系下,及平面,柱面,半圆柱体.,2.利用球坐标计算三重积分,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,例8.计算三重积分,解:在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,例9.,解.,例10.计算三重积分,解.,练习5.设由锥面,和球面,所围成,计算,提示:,利用对称性,用球坐标,内容小结,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式.,被积函数形式简洁.,投影,切片,三次积分.,积分区域多由坐标面围成;,作业：P251,3,4(1),7(1).,6重积分的应用,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,1.问题的特点:,所求量是,对区域具有可加性,分布在有界闭域上的整体量,2.解决问题的方法:用微元法(元素法)，化为重积分,3.解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域的立体的体积为,例1.求半径为a的球面与半顶角为的,内接锥面所围成的立体的体积.,解:在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,二、曲面的面积,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,若光滑曲面方程为,则有,例2.计算双曲抛物面,被柱面,所截,解:曲面在xoy面上投影为,则,出的面积S.,练习.计算半径为a的球的表面积.,三、物体的质心,设物体占有空间域,有连续密度函数,则采用“分割,近似代替,求和,取极限”可导出其质心公式。,将分成n小块,在第k块上任取一点,例如,令各小区域的最大直径,即得,此质点系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,同理,则得形心坐标：,若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,其面密度,(A为D的面积),得D的形心坐标:,则它的质心坐标为,对x轴的静矩,对y轴的静矩,例3.求位于两圆,和,的质心.,解:利用对称性可知,而,之间均匀薄片,练习.计算密度均匀的上半椭球体的重心.(教材256例3),四、物体的转动惯量,设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数,该物体位于(x,y,z)处的微元,因此物体对z轴的转动惯量:,对z轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,类似可得:,对x轴的转动惯量,对y轴的转动惯量,对原点的转动惯量,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,例4.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径,解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量.,解:取球心为原点,z轴为l轴,则,球体的质量,例5.求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.,设球,所占域为,(用球坐标),G为引力常数,五、物体的引力,设物体占有空间区域,物体对位于,，利用元素法,在上积分即得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,原点的单位质量质点的引力,对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点,的引力分量为,例6.,设面密度为,半径为R的圆形薄片,求它对位于点,解:由对称性知引力,处的单位质量质点的引力.,。,作业：P259,1,3(1),5(1),6(1)*.,例7*.求半径R的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力.,解:利用对称性知引力分量,点,“第21章重积分”的习题课（2）,一、内容要求,1、了解二重积分的概念和性质,2、掌握利用直角坐标系、极坐标系计算二重积分的方法，会利用坐标变换计算二重积分,3、掌握格林公式及应用，会曲线积分与路线无关的条件及应用,4、了解三重积分的概念和性质,5、掌握利用直角坐标系、柱面坐标系和球坐标系计算三重积分的方法，会利用坐标变换计算三重积分,6、会重积分在几何、物理上的简单应用,二、练习,.把积分,化为三次积分,其中由曲面,答:积分域为,及平面,所围成的闭区域.,原式,.试计算椭球体,的体积V.,利用“先二后一”计算.,解法1,解法2,利用三重积分换元法.令,则,注意：只计算上半椭球体体积呢？,计算积分,其中是两个球,(R0)的公共部分.,解:可以用柱坐标。但由于被积函数缺x,y,利用“先二后一”计算方便.,原式=,.P2513(1).,.计算三重积分,解:在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中由抛物面,原式=,另：原式,5.计算,其中,解:,利用对称性,6.计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,x=5所围成的闭区域.,解:利用柱坐标,原式,绕x轴旋转而成的曲面与平面,7.求曲面,所围立体体积.,解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为,yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于xoz,8.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一,个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个,的另一边长度应为多少?,提示:建立坐标系如图.,由对称性知,由此解得,问接上去的均匀矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圆心上,(t为时间)的雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为,已知体积减少的速率与侧面积成正比,(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要,多少小时?(2001考研),提高题1,提示:,记雪堆体积为V,侧面积为S,则,(用极坐标),由题意知,令,得,(小时),因此高度为130cm的雪堆全部融化