概率论 第6章 数理统计的基本知识

第6章数理统计的基本知识,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,2,第6章数理统计的基本知识,数理统计的基本任务是：研究如何进行观测,以及如何根据观测得到的统计资料,对被研究的随机现象的一般概率特征（例如，概率分布律、数学期望、方差等）做出科学的推断.,数理统计研究什么？,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,3,第6章数理统计的基本知识,6.1总体、样本与统计量6.2抽样分布,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,4,6.1总体、样本与统计量,6.1.1-2总体与样本,总体：被研究对象的全体元素组成的集合.,是所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).,记为.,个体：组成总体的每一个元素.,即总体的每个数量指标,可看作随机变量的某个取值.用表示.,某厂生产的电视机显像管的寿命是一个总体，,例如：,每个显像管的寿命是一个个体.,样本：,抽样结果得到的一组试验数据（观测值）.,抽样：,从总体中抽取一部分个体的过程.,样本容量:,样本中包含的个体的数量.,简单随机样本：,从总体中抽取样本必须满足:,(1)随机性;,(2)独立性;,由此得到的样本称为简单,随机样本.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,5,样本具有二重性,（2）实际抽样的结果得到的是具体试验数据(样本观,（1）设次抽样的结果为,它们是相互,独立的随机变量,且与总体服从相同的分布;,测值),抽样的结果是:个独立的事件,发生了.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,6,从总体中抽取容量为的样本,得观测值,其中,6.1.3样本分布函数,样本频率分布表,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,7,定义,样本分布函数,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,8,的性质：,是非减函数,在每个观测值,在该点的跃度就等于频率,处是右连续的，,根据大数定律，可以依据样本来推断总体.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,9,（4）在平面直角坐标内以子区间为底，以,作图步骤：,（1）确定观测值范围；,样本观测值,（2）选分点把观测区间分为若干个子区间,（3）计算样本观测值落在各子区间内的频数,及频率,为高,作小矩形，构成直方图.,6.1.4频率直方图,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,10,直径（）的数据如下：,例：,从某种机械零件中抽取100个零件，测得它们的,写出零件直径观测值的频率分布表并作直方图.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,11,由样本观测值可把数据的分布区间选定为,1.00,100,总计,0.010.050.090.190.240.220.110.060.010.02,15919242211612,33.6533.9533.9534.2534.2534.5534.5534.8534.8535.1535.1535.4535.4535.7535.7536.0536.0536.3536.3536.65,频率,零件直径子区间,解,（33.65，36.65）,并把它等分为10个子区间.,频数,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,12,频率直方图：,33.6533.9534.2534.5534.8535.1535.4535.7536.0536.3536.65,直方图大致描述了总体的概率分布.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,13,统计量：不依赖任何未知参数的样本函数.,样本函数：以样本为自变量的函数.,记,样本函数也是随机变量.,设是取自总体X的一组样本,6.1.5样本函数与统计量,是观测值.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,14,例如：,是未知参数，,不是统计量.,是统计量.,组样本，,则,是一,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,15,1.样本均值,其观测值记作,设是取自总体X的一组样本,常用统,计量有：,常用统计量,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,16,2.样本方差,其观测值记作,样本方差可化简为：,3.样本标准差,其观测值记作,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,17,其观测值记作,特别地，,其观测值记作,特别地，,记样本二阶中心矩的观测值为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,18,设抽样得到样本观测值如下：,38.240.042.437.639.241.044.043.238.840.6,计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值.,解,把上述10个数据逐个输入电子计算器或计算机中，,不难求得：,例1,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,19,注：,当样本容量很大时，可使用统计计算软件在计算,机上进行计算.,而相同的数据往往可能重复出现，,使计算简化，应先把所得的数据整理，设得到下表：,为了,则,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,20,对于连续随机变量或者某些离散随机变量抽样得,到的样本观测值，,分成若干个子区间整理后，通常把,各个子区间的中点值取作,样本观测值落在对应区,观测某交通路口每天上午8:008:30这段时间内,234260241259256241261257277255,通过的汽车车辆数，共观测30天，得到如下观测值：,244249238269250268256253226256,235256251258246255257282251261,计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值.,注：,例2,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,21,（220，230（230，240（240，250（250，260（260，270（270，280（280，290,解,30,总计,13614411,225235245255265275285,该段时间内通过的汽车数所在区间,区间中点值,频数,数据进行如下分组，,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,22,数据只需分7次输入计算器即可算得，,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,23,思考题,样本,则下列随机变量中为统计量的是:,(A),(B),(C),(D),答案:,(B),统计量中不含任何未知参数.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,24,补充概念,顺序统计量与极差:,当取值为时,定义随机变量,其中,称为极差.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,25,设随机变量,6.2.1标准正态分布的分位数,若,则称,即,定义3,6.2抽样分布,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,26,解,其中,查表得,即标准正态分布的水平为0.05的上侧分位数为1.645.,例3,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,27,则随机变量,的概率密度为,6.2.2数理统计中的三大分布,定理1,称为自由度为的分布，并记作.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,28,其中,时，其概率密度为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,29,时，其概率密度为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,30,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,31,近似于正态分布.,（附表3）:,分布的性质：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,32,例如：,即当时,上侧分位数,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,33,例如：,有时需要考虑双侧情形：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,34,的概率密度为,定理2,称为自由度为的分布，并记作.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,35,（附表4）:,例如:,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,36,分布的分布曲线关于纵坐标轴对称.,于是,因此有,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,37,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,38,设随机变量与相互独立，,则随机变量,的概率密度为,定理3,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,39,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,40,分布的上侧,例如:,（附表5）:,分布的性质：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,41,例如:,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,42,1单个正态总体的统计量的分布,定理1,推论1,6.2.3正态总体的统计量的分布,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,43,也相互独立.,定理2,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,44,说明:,定理3,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,45,说明:,定理4,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,46,样本,如果:,解,已知样本容量由定理知,样本函数,所以,例4,的概率,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,47,解:,已知由定理知,样本函数,所以,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,48,样本.,解,已知样本容量由定理知,统计量,所以,例5,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,49,解,未知,由定理知,统计量,所以,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,50,记,2两个正态总体的统计量的分布,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,51,证,则统计量,定理5,标准化,即得,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,52,其中,则统计量,定理6,证由定理及分布的可加性知,统计量,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,53,证:,则统计量,定理7,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,54,证,则统计量,定理8,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,55,解,(1)由定理知,统计量,所以,例6,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,56,(2)由定理知,统计量,所以,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,57,统计量,统计量的分布,单个正态总体的统计量,小结,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,58,两个正态总体的统计量及其分布,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,59,思考题,设随机变量和都服从标准正态分布，则,分析:,则（A）、（B）、（C）、（D）四个答案都正确。,如果与相互独立且都服从标准正态分布，,所以不能肯定,（A）、（B）、（D）正确.,答案应选（C）,现在因为并未指出与相互独立，,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,60,练习题,证明,证,设,相互独立.,则,1.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,61,证明,证,2.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,62,思考题,是来自总体的简单随机样本,随机变量,服从什么分布?,分析,(2001数学三),欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,63,补充例题,如果,问样本容量至