第六章------梁弯变形

第六章梁弯变形,第一节工程中的弯曲变形问题,第二、三节挠曲线的微分方程及积分法求弯曲变形,第四节叠加法求弯曲变形,第五节简单超静定梁梁,第六节提高梁的刚度措施,第一节弯曲变形基本概念及工程实例,一.工程实例,在一些情况下,要求构件具有较大弹性变形,以满足特定的工作需要.,例,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用.,1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。,二.基本概念,2.梁位移的度量：,挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正,转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，反时针转动为正,转角方程(小变形下)：由于转角与挠度有一定的关系,转角方程为:,3.计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施,一、挠曲线近似微分方程,1.力学关系：,3.挠曲线近似微分方程：,第二、三节挠曲线微分方程及用积分法求弯曲变形,2.由数学得到平面曲线的曲率,即:,与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为:,即:,2、再积分一次,得挠度方程,二、积分法求梁的挠曲线,式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。,1、积分一次得转角方程,2.支承条件与连续条件:,1)支承条件：,2)连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的,解：建立坐标系如图,x处弯矩方程为：,例:图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。,解:由对称性可知，梁的两个支反力为,此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为:,梁的转角方程和挠曲线方程分别为:,在x=0和x=l处,转角的绝对值相等且都是最大值:,在梁跨中点处有最大挠度值:,例题3图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角.,A,B,F,D,a,b,l,解:梁的两个支反力为:,两段梁的弯矩方程分别为,挠曲线方程,转角方程,挠度方程,在x=a处,在x=0处，,在x=l处，,代入方程可解得:,把D1,D2,C1,C2代入方程得:,当ab时,右支座处转角绝对值为最大:,梁中点C处的挠度为:,几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。,第四节叠加法求梁的弯曲变形,例:如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。,1.在F作用下：,2.在q作用下：,3.在F和q共同作用下：,例:按叠加原理求A点转角和C点挠度.,解:(1)载荷分解如图,(2)查表,B,(3)叠加,例:一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图.试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角A,B。,解：将梁上荷载分为两项,例:一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图.试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角A,B。,例:试利用叠加法,求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC和两端截面的转角A,B.,解:,（1）正对称荷载作用下,（2）反对称荷载作用下,挠度wC等于零,但转角不等于零,将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用,长度为l/2的简支梁,可得到：,将相应的位移进行叠加得:,基本概念,1.超静定梁,第五节静不定梁的解法,单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁,称为超静定梁,静定梁,超静定梁，超静定次数1,超静定梁，超静定次数2,超静定梁，超静定次数3,例1：如图所示之三支承梁，A处为固定绞链支座，B，C二处为辊轴支座。梁作用有均布载荷。试求最大弯矩。,解：,1）.判断静不定次数：刚体能够提供的平衡力为3个，而未知对象为4个，因此为1次静不定梁。,4-3=1,1,2,27,2）.解除多余约束，以约束力代替:使静不定梁变为静定梁。,1,2,3）.建立平衡方程,平面任意力系,平衡方程,2,4）.建立变形协调条件,变形协调方程,2,力与位移等价,4）.建立变形协调条件,变形协调方程,=0,1,2,变形协调方程,4）.建立变形协调条件,变形协调方程,（4）,4）建立变形协调条件,叠加法查表,物理方程,5）.建立物理方程,6-4简单超静定梁,联立(1)-(6)式，得到全部约束力：,平衡方程,变形协调方程,物理方程,B,静定梁,静不定梁,解：建立基本静定系,例2：求解图示超静定问题。,变形几何方程,物理方程,补充方程,6-4简单超静定梁,例4：梁的抗弯刚度,外载荷,求作梁的剪力图和弯矩图。,6-4简单超静定梁,解：,本问题为一次超静定梁,解除B端的转动约束，代以多余约束力偶,得静定系统如图：,6-4简单超静定梁,变形条件为：,得：,6-4简单超静定梁,解得：,对静定系统，可以求出各支座的支反力：,变形几何方程为：,解：建立基本静定系,例5：求图示结构B点的反力。,=,=,+,简单组合结构的超静定问题,物理方程：,补充方程：,求解其它问题,（反力、应力、变形等）,=,+,例6：梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从B处拆开，使静不定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理关系,解,代入得补充方程：,确定A端约束力,确定B端约束力,A、B端约束力已求出,最后作梁的剪力图和弯矩图,19世纪中出现了许多计算理论和方法。法国的纳维于1826年提出了求解静不定结构问题的一般方法。1864年，英国的麦克斯韦创立单位载荷法和位移互等定理，并用单位载荷法求出桁架的位移，由此学者们终于得到了解静不定问题的方法。20世纪2030年代，对复杂的静不定杆系结构提出了一些简易计算方法，使一般的设计人员都可以掌握和使用了。,静不定结构的起源,一、梁的刚度校核,除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。,在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：,梁的刚度条件为：,通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。,但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。,第六节梁的刚度校核提高梁的刚度措施,刚度条件的应用:,(1)校核刚度,(2)设计截面尺寸,(3)求许可载荷,例:一简支梁受载如图示，已知许用应力160MPa，许用挠度w=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。,解：1、作出梁的弯矩图,2、根据弯曲正应力强度条件，要求,3、梁的刚度条件为：,由此得,由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数Wz3.09xl0-4m3，惯性矩Iz=3.40 x10-5m4，可见选择NO.22a工字钢