2013版高中全程复习方略配套课件：7.8立体几何中的向量方法(人教A版·数学理)浙江专用

第八节立体几何中的向量方法,三年16考高考指数:1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.会用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3会用向量方法证明直线和平面位置关系的有关命题；4会用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题了解向量方法在研究立体几何问题中的应用,1利用直线的方向向量和平面的法向量证明线线垂直和解决空间角问题是高考的热点；2本节的重点是利用向量法求空间角，难点是正确地进行计算；3多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力和数形结合的思想.,1.直线的方向向量和平面的法向量,与平面_的任何一个向量都可作为平面的法向量显然一个平面的法向量也不唯一,如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l或,则称此向量a为直线l的方向向量.,平面的法向量可利用方程组求解，设是平面内两个不共线的向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为,在直线上任取两点，这两点确定的向量即可为直线的方向向量,垂直,平行,重合,【即时应用】（1）思考：在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标,(2)若是平面内的三点，设平面的法向量n=(x,y,z)，则xyz=_.【解析】由得所以xyz=yy()=23(-4)答案：23(-4),2.空间位置关系的向量表示,【即时应用】(1)若平面,的法向量分别为a=(1,2,4)，b=(x，-1，-2)，并且，则x的值为_(2)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直线l1,l2的位置关系是_【解析】(1)由得，解得x=10.(2)由ab=2(-6)+49+(-4)6=0得，从而l1l2答案：(1)10(2)l1l2,3.空间角的向量求法(1)异面直线所成角的求法设a、b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin=|cos|=.,(3)二面角的求法如图a，AB、CD是二面角-l-的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小=_.,如图b、c，n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos=_或_.,【即时应用】(1)已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若，则l与所成角的大小为_(2)长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_,【解析】(1)由于，=120，直线l与平面所成的角为30.(2)建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，=(1,0,2)，=(1,2,1)，答案：(1)30(2),4点到平面的距离的向量求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则点B到平面的距离d=_.,【即时应用】(1)思考：如何推导点到平面的距离公式？提示：在RtBOA中,d=|sinBAO,(2)已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_【解析】如图，建立坐标系Dxyz，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，=(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4),设平面AB1D1的一个法向量为=(x，y，z)，,A,B,C,D,D1,C1,A1,B1,y,z,x,4,2,由得，令z=1，则n=(2,2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，则答案：,利用空间向量证平行、垂直【方法点睛】1.用向量证平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题.,2用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示,【提醒】用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外.,【例1】(1)若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()(A)a=(1,0,0)，n=(2,0,0)(B)a=(1,3,5)，n=(1,0,1)(C)a=(0,2,1)，n=(1,0，1)(D)a=(1，1,3)，n=(0,3,1),(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.求证:CM平面PAD;求证:平面PAB平面PAD.,【解题指南】(1)验证an=0是否成立即可.(2)建立空间直角坐标系.可证明与平面PAD的法向量垂直；也可将分解为平面PAD内的两个向量的线性组合，利用共面向量定理证明.取AP中点E，利用向量证明BE平面PAD即可.【规范解答】(1)选D.若l，则an=0.经验证知，D满足条件.,(2)由题意可知：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC=30.PC=2,BC=,PB=4.D(0,1,0),B(,0,0),方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即,令y=2,得,又CM平面PAD，CM平面PAD.方法二:假设平面PAD，则存在x,y使则,方程组的解为由共面向量定理知与共面，故假设成立，又CM平面PAD,CM平面PAD.,取AP的中点E,连接BE，则E(,2,1),PB=AB,BEPA.又(2，3，0)=0，BEDA，又PADA=A.BE平面PAD,又BE平面PAB,平面PAB平面PAD.,【互动探究】本例(2)的条件不变，结论改为“求证：ABCM”，则如何用向量法证明？【证明】由本例的解题过程可知=(0,-4,0),即ABCM.,【反思感悟】1.利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为解决立体几何问题带来了简捷的方法.2.用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解题中常出现的问题.,【变式备选】如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,且AB=AA1,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证:(1)DE平面ABC;(2)B1F平面AEF.,【证明】如图建立空间直角坐标系Axyz,令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).(1)取AB中点为N,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),=(-2,4,0),=(-2,4,0),.DENC,又NC在平面ABC内,DE不在平面ABC内，故DE平面ABC.,(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0),=(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0，则，B1FEF，=(-2)2+22+(-4)0=0.,即B1FAF,又AFFE=F,B1F平面AEF.,利用空间向量求空间角【方法点睛】1.异面直线所成角的求法利用空间向量求异面直线所成的角可利用直线的方向向量转化成向量所成的角.2.利用向量求线面角的方法（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）;,（2）通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.3.求二面角的常用方法（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.（2）分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.,【例2】(2012天津模拟)如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD.(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；(2)证明：平面AMD平面CDE；(3)求二面角A-CD-E的余弦值.,【解题指南】(1)通过求向量的夹角来求异面直线所成的角；(2)证进而得CEAM，CEAD，可得结论成立；(3)利用两平面法向量的夹角求二面角的大小.【规范解答】如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点.设AB=1,依题意得B(1,0,0),C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1)，F(0,0,1)，M().,F,y,z,x,(1)=(-1,0,1),=(0,-1,1)，于是所以异面直线BF与DE所成角为60.(2)由可得所以CEAM,CEAD.又AMAD=A，故CE平面AMD.又CE平面CDE,所以平面AMD平面CDE.,(3)令平面CDE的法向量为u=(x,y,z),则于是令x=1,可得u=(1,1,1)又由题设知平面ACD的一个法向量为v=(0,0,1).则由条件知二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为,【反思感悟】1.异面直线的夹角与向量的夹角不同，应注意思考它们的联系和区别；2.直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系；3.用平面的法向量求二面角的大小时，一定要注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.,【变式训练】(2011重庆高考)如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC,AD=CD,CAD=30(1)若AD=2,AB=2BC,求四面体ABCD的体积；(2)若二面角C-AB-D为60，求异面直线AD与BC所成角的余弦值,【解析】(1)如图1,设F为AC的中点，连接DF，由于AD=CD，所以DFAC.故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30=1，AF=ADcos30=,在RtABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，由勾股定理易知故四面体ABCD的体积V=SABCDF,(2)如图2，过F作FMAC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Fxyz.,设AD=2，由CD=AD，CAD=30，易知点A，C，D的坐标分别为A(0,0),C(0,0),D(0,0,1),则显然向量k=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.已知二面角C-AB-D为60，故可取平面ABD的单位法向量t=(l,m,n),使得t,k=60，从而由,有m+n=0,从而由l2+m2+n2=1,得l,设点B的坐标为(x,y,0)，由可取l=有解之得或(舍去)易知与坐标系的建立方式不合，舍去.,因此点B的坐标为().所以从而又异面直线的夹角(0,故异面直线AD与BC所成角的余弦值为,求空间距离【方法点睛】求平面外一点P到平面的距离的步骤(1)求平面的法向量n；(2)在平面内取一点A,确定向量的坐标；(3)代入公式求解.,【例3】(1)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则点C1到平面A1ED的距离是_.(2)(2012上海模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a求点C1到平面AB1D1的距离；求平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角的余弦值,【解题指南】(1)建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式求解；(2)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解；求得平面CDD1C1与平面AB1D1的法向量，利用法向量所成的角求二面角的大小.【规范解答】(1)以A为原点建立空间直角坐标系如图所示.则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，C1(1,1,1).,设平面A1ED的法向量为n1=(x,y,z)，由令z=2，则n1=(1,2,2).又=(-1,-1,0)，点C1到平面A1ED的距离答案：1,(2)建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，D1(0,a,a),B1(a,0,a),C1(a,a,a),设n=(x,y,z)是平面AB1D1的一个法向量，由得,令z=-1,得x=1,y=1，可得n=(1,1,-1)因此C1到平面AB1D1的距离为由知，平面AB1D1的一个法向量是n=(1,1,-1)又因AD平面CDD1C1，故平面CDD1C1的一个法向量是n1=(0,1,0)设所求二面角的平面角为，,则由题意可知二面角是锐角，所求二面角的余弦值为,【互动探究】在本例(1)中，若条件不变，结论改为“则直线A1C1与平面A1ED所成角的大小为_”，则如何求解？【解析】由例题(1)的解法知，平面A1ED的法向量为n1=(1,2,2)，=(-1,-1,0).设所求角为，则sin=|cos|故直线A1C1与平面A1ED所成角的大小为45.答案：45,【反思感悟】空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、点到面的距离等.其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借助于几何体的体积求解.,【变式备选】如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：(1)求和点G的坐标；(2)求异面直线EF与AD所成的角；(3)求点C到截面AEFG的距离,【解析】(1)由图可知：A(1,0,0)，B(1,4,0)，E(1,4,3)，F(0,4,4)，=(-1,0,1)，又设G(0,0，z)，则(1,0，z)=(1,0,1)，z=1，即G(0,0,1)(2)=(1,0,0)，=(1,0,1)，AD和EF所成的角为45.,(3)设n平面AEFG，n=(x0，y0，z0)，而则，取z0=4，则n=(4,-3,4)，=(0,0,4)，所求距离为点C到截面AEFG的距离为,用空间向量解决探索性问题【方法点睛】探索性问题的类型及解题策略探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种：（1）存在判断型存在判断型问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾则否定假设.,（2）位置判断型与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略为：将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决.与角有关的探索性问题的解题策略为：将空间角转化为与向量有关的问题后应用公式(其中n1,n2是两平面的法向量或两直线的方向向量)即可解决.,【例4】(2011浙江高考)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由,【解题指南】建立坐标系，(1)利用来证明；(2)假设存在满足条件的点，求出两个半平面的法向量，判断两法向量是否能垂直即可.若垂直，则假设成立；若不垂直，则假设不成立.,【规范解答】(1)如图以O为原点，以射线OD，OP分别为y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0,-3,0),B(4,2,0)，C(-4,2,0),P(0,0,4).，即APBC.,(2)假设存在M，设,其中0,1),则=(0,-3,-4)=(0,-3,-4)=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2-3,4-4)=(-4,5,0),=(-8,0,0)设平面BMC的法向量n1=(x1,y1,z1)，平面APC的法向量n2=(x2,y2,z2),由即可取由,得可取n2=(5,4,-3).由,得解得，故|AM|=3综上所述，存在点M符合题意，|AM|=3,【反思感悟】1.开放性问题是近几年高考中出现较多的一种题型，向量法是解此类问题的常用方法.2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.,【变式训练】(2012泉州模拟)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，ABAC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且,(1)证明：无论取何值，总有AMPN；(2)当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值(3)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由,【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1(0,0,1)，B1(1,0,1),M(0,1,),N(,0),=(1,0,0)=(,0,0)，,(1)无论取何值，总有AMPN,(2)m=(0，0，1)是平面ABC的一个法向量当时，取得最大值，此时sin=,cos=,tan=2，即当时，取得最大值，且tan=2.,(3)假设存在，设n=(x,y,z)是平面PMN的一个法向量令x=3，得y=1+2,z=2-2，n=(3,1+2,2-2),化简得42+10+13=0(*)=100-4413=-1080)，所以10分,假设在线段AD上存在一个点G(如图)，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等，设G(0,m,0)(其中0m4-t)，则=(1,3-t-m,0),=(0,4-t-m,0),=(0,-m,t)12分由得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m.,由得(4-m-t)2=m2+t2.由消去t，化简得m2-3m+4=0.由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.14分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2012宁波模拟）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是()（A）（B）（C）（D）,【解析】选C.方法