同济大学线性代数课后答案第五章.pdf

第五章相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1); = 931 421 111 ) , ,( 321 a a a aa a a aa a a a 解根据施密特正交化方法, , = 1 1 1 11 a a a ab b b b , = 1 0 1 , , 1 11 21 22 b b b b b b b bb b b b a a a ab b b b a a a ab b b b . = 1 2 1 3 1 , , , , 2 22 32 1 11 31 33 b b b b b b b bb b b b a a a ab b b b b b b b b b b bb b b b a a a ab b b b a a a ab b b b (2). = 011 101 110 111 ) , ,( 321 a a a aa a a aa a a a 解根据施密特正交化方法, , = 1 1 0 1 11 a a a ab b b b , = 1 2 3 1 3 1 , , 1 11 21 22 b b b b b b b bb b b b a a a ab b b b a a a ab b b b . = 4 3 3 1 5 1 , , , , 2 22 32 1 11 31 33 b b b b b b b bb b b b a a a ab b b b b b b b b b b bb b b b a a a ab b b b a a a ab b b b 2. 下列矩阵是不是正交阵: (1); 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2). 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故 为正交阵. 3. 设x x x x为n维列向量,x x x xTx x x x=1, 令H=E2xxxxxxxxT, 证明H是对称 的正交阵. 证明因为 HT=(E2xxxxxxxxT)T=E2(xxxxxxxxT)T=E2(xxxxxxxxT)T =E2(x x x xT)Tx x x xT=E2xxxxxxxxT, 所以H是对称矩阵. 因为 HTH=HH=(E2xxxxxxxxT)(E2xxxxxxxxT) =E2xxxxxxxxT2xxxxxxxxT+(2xxxxxxxxT)(2xxxxxxxxT) =E4xxxxxxxxT+4x x x x(x x x xTx x x x)x x x xT =E4xxxxxxxxT+4xxxxxxxxT =E, 所以H是正交矩阵. 4. 设A与B都是n阶正交阵, 证明AB也是正交阵. 证明因为A,B是n阶正交阵, 故A 1 =AT,B 1 =BT, (AB)T(AB)=BTATAB=B 1 A 1 AB=E, 故AB也是正交阵. 5. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 201 335 212 解, 3 ) 1( 201 335 212 |+= = EA 故A的特征值为=1(三重). 对于特征值=1, 由 , =+ 000 110 101 101 325 213 EA 得方程(A+E)x x x x=0 0 0 0 的基础解系p p p p1=(1, 1, 1)T, 向量p p p p1就是对应于 特征值=1 的特征值向量. (2); 633 312 321 解, ) 9)(1( 633 312 321 |+= = EA 故A的特征值为1=0,2=1,3=9. 对于特征值1=0, 由 , = 000 110 321 633 312 321 A 得方程Ax x x x=0 0 0 0 的基础解系p p p p1=(1, 1, 1)T, 向量p p p p1是对应于特征 值1=0 的特征值向量. 对于特征值2=1, 由 , =+ 000 100 322 733 322 322 EA 得方程(A+E)x x x x=0 0 0 0 的基础解系p p p p2=(1, 1, 0)T, 向量p p p p2就是对应于 特征值2=1 的特征值向量. 对于特征值3=9, 由 , = 000 2 1 10 111 333 382 328 9EA 得方程(A9E)x x x x=0 0 0 0的基础解系p p p p3=(1/2, 1/2, 1)T, 向量p p p p3就是对应 于特征值3=9 的特征值向量. (3). 0001 0010 0100 1000 解, 22 ) 1() 1( 001 010 010 100 |+= = EA 故A的特征值为1=2=1,3=4=1. 对于特征值1=2=1, 由 , =+ 0000 0000 0110 1001 1001 0110 0110 1001 EA 得方程(A+E)x x x x=0 0 0 0 的基础解系p p p p1=(1, 0, 0, 1)T,p p p p2=(0, 1, 1, 0)T, 向量p p p p1和p p p p2是对应于特征值1=2=1 的线性无关特征值向量. 对于特征值3=4=1, 由 , = 0000 0000 0110 1001 1001 0110 0110 1001 EA 得方程(AE)x x x x=0 0 0 0 的基础解系p p p p3=(1, 0, 0, 1)T,p p p p4=(0, 1, 1, 0)T, 向 量p p p p3和p p p p4是对应于特征值3=4=1 的线性无关特征值向量. 6. 设A为n阶矩阵, 证明AT与A的特征值相同. 证明因为 |ATE|=|(AE)T|=|AE|T=|AE|, 所以AT与A的特征多项式相同, 从而AT与A的特征值相同. 7. 设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)0且a(5a+4)0, 解之 得.0 5 4 = 06 902 031 211 = 024=A 所以f为正定. 33. 证明对称阵A为正定的充分必要条件是: 存在可逆矩 阵U, 使A=U TU, 即 A与单位