波利亚及其解题理论

波利亚及其解题理论,主讲人:李忠如西南大学数学与统计学院,波利亚(1887.12.13-1985.9.7),波利亚(1887-1985)的生平,美国著名数学家、教育家。出生于匈牙利的布达佩斯。早在中学时代，就显示出卓越的数学才能，曾先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理学和哲学。1912年在布达佩斯获约特沃斯洛伦得大学哲学博士学位。1914年，在苏黎世瑞士联邦理工学院任教,1928年任教授，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，先在布朗大学任教。1942年后一直在斯坦福大学任教。1953年起，任该校退休教授。,波利亚(1887-1985)的生平,波利亚在众多的数学分支：函数论、变分学、概率论、数论、组合数学以及计算数学和应用数学领域中都颇有建树，共发表200多篇著名论文，以他的名字命名的波利亚计数定理则是近代组合数学的重要工具。波利亚还是杰出的数学教育家，他对数学思维一般规律的研究，堪称是对人类思想宝库的特殊贡献。为了表彰波利亚对数学的杰出贡献，1963年美国数学协会授予他以功勋奖(DistinguishedServicesAward),1968年美国教育电影图书协会授予他以数学物理最高荣誉奖(TopHonorofMathematicsandPhysics)。他并先后当选为美国国家科学院院士和法国科学院通讯院士等。,波利亚(1887-1985)的生平,波利亚的重要数学著作有怎样解题、不等式(与哈代、李特伍德合著)、数学的发现多卷、数学与猜想多卷、数学分析中的问题和定理(与塞格合著)、数学物理中的等周不等式(与塞格合著)等。,弄清题意,1)已知是什么?2)未知是什么?3)题目要求你干什么?4)可否画一个图形?5)可否数学化?,拟定计划(核心),6)你能否一眼看出结果?7)是否见过形式上稍有不同的题目?8)你是否知道与此有关的题目,是否知道用得上的定义,定理公式?9)有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目,你能利用它吗?10)已知条件A,B,C可否转化?可否建立一个等式或不等式?11)你能否引入辅助元素?12)如果你不能解这个题,可先解一个有关的题,你能否想出一个较易下手的,较一般的,特殊的,类似的题?,执行计划,13)把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式子表述出来.14)修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案.15)解题要求是:严密具有逻辑性.,检验回顾,16)你能拟定其它解题方案吗?17)你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用它的方法吗?18)你能找到什么方法检验你的结果吗?,数学究竟是由什么组成的？,“问题是数学的心脏.”PRHalmos“最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来，列出在新世纪里数学家应当努力解决的问题.”Minkowski某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不容否认的只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更广阔、更自由的境界.希尔伯特(1900),解题是数学的特点,“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题”杨辉“从来没有像现在这样，美国人需要为生存而思考，他们需要进行数学式的思维”美国数学科学委员会(1989)学数学如同下围棋，必须实践(做习题)，必须和较高水平的人切磋(做有一定难度的题)，棋力(数学水平)才有长进此外，还需揣摩成局(学习定理的证明或著名问题的解法)，领会其精髓(深刻的数学思想)单墫,解题是数学的特点,做习题并不只是在学完一个方法或一些知识之后知识、方法应当尽可能地通过问题的形式引人,解题是数学的特点,例1：一大学教授向中学生介绍图论定义图G=(V，E)，由顶点集V与一些连结V中两个点的边的集E组成定义如果E由连结V中每两个点的边组成，那么G(V，E)称为完全图定义如果图G1(V，E1)，G2(V，E2)具有相同的顶点集V，并且E1E2，(V，E1E2)是完全图，那么称G1为G2的补图定理在|V|6时，G=(V，E)或它的补图中必有三角形,解题是数学的特点,符合中学生特点的教法：“任意六个人中必有三个人互相认识或三个人互不相识为什么？”为了解决这个问题，为了叙述的方便，我们用六个点表示六个人如果两个人互相认识，就将相应的两点用线连结起来这种由点及一些连结点的线组成的图形，就称为图问题就成为：“六个点的图中，一定有三个点两两相连(即构成三角形)，或者有三个点互不相连.”,中小学开设数学课程的目的？,数学技能就是解题能力不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想像力的问题所以，中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练”数学的发现第一卷序开设数学课程的主要目的是教会学生如何思考。“教会思考”意味着数学教师不仅仅应该传授知识，而且也应当去发展学生运用所传授的知识的能力数学的发现第二卷,中小学开设数学课程的目的？,波利亚将学生依照未来的职业分为三类：数学家(包括理论物理学家、天文学家及某些专门研究领域里的工程师)约占1%，用到数学的人(工程师、科学家及一些社会科学家、数学教师。科学教师等)约占29%，不用数学的人(实业家、律师、牧师等)约占70%，他指出数学教育应当符合于两个原则：第一，每一个学生应当能够从他的学习中得到某些收获而不管他以后的职业是什么第二，那些在数学上表现出有一些资质的学生应当受到鼓励和吸引，而不要由于拙劣的教育使他们嫌弃数学,解题必须实践,解题是一种实践性的技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和实践学到它你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题波利亚学习数学要做到熟练化熟能生巧，进而出神入化而要这样，就必须练。华罗庚,问题的种类,按数学内容来分，可以分成几何、代数、数论(算术)、组合数学等按问题的结论来分，可以分为计算题、求解题、证明题从形式上分，有选择题、填充题、综合题从与已有经验关系分，有固定模式、没有或较少固定模式,解题的步骤,弄清题意拟定计划实施计划检验与回顾,弄清问题,问题应当用自己的语言重新叙述通过复述，可以发现学生是否理解了题意，有没有忽略重要的部分凡有学生来问问题，首先让他复述，切不可急急忙忙地把解答告诉他因为比解答更重要的是解法，即如何从已知走向未知，而将题目中的“信息”重新编排，适当整理，正是走向未知的第一步,弄清问题,例2某市有n所中学，第i所中学派出Ci名学生(1Ci39，1in)到体育馆观看球赛，总人数=1990看台上每一横排有199个座位同一学校的学生必须坐在同一横排，问至少要安排多少个横排才能保证学生全部坐下？,弄清问题,例2重述为：一些学校派出学生看球赛，看台上每一排有199个座位，同一学校的学生必须坐在同一排每个学校派出的学生不超过39人，学生总数为1990人，问至少要安排多少排才能保证学生全部坐下？,弄清问题,例1还可以用填充与提问的方式来加深理解：学生总数是1990人每个学校派出人数39每排可坐199人还有什么要求？(答：同一学校的学生必须坐在同一排)本题还有一个至关重要的词“至少”，必须弄清楚“至少要安排多少排才能保证学生全部坐下”，这句话是什么意思？答：(略)这两层含义，需要我们怎样去做？怎样才是完整的解答？答：(略),弄清问题,例3摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭由于道路堵塞，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息司机说再走从C市到这里的二分之一，就到达目的地了问A、B两市相距多少千米？,弄清问题,图中D是小镇，E是傍晚休息处D、E之间的距离是400千米EB是CE的二分之一，AD是AC的三分之一，AC比CB多100千米求AB的长,弄清问题,实际上，改变问题的提法已不仅是弄清题意，可以说是向问题的解决进了一大步波利亚主张“不断地变换你的问题”，“我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”,弄清问题,例4已知kabc0，求证：k2(a+b+c)k+ab+bc+ca0读题，读题，反复读题，这是解题时首先要认真做的事，切莫忽视,拟定计划,问题明确后，便是通常所说的真正的解题阶段熟悉的问题，有一定套路的问题，不需太多思考稍进一步的问题，需要一点变化，波利亚的表中“你是否见过相同的或形式稍有不同的问题？”可用，以唤醒你的记忆，从大脑的信息库中找到一个可以利用的模式真正的问题是不能照套的，需要解题者发挥某种程度的主动性与创造性主动性与创造性程度越大，问题的难度越大，质量越高对这类问题来说，波利亚所说的“你以前见过它吗？”等等，就不用再考虑了，没有多大用处这类问题往往是竞赛性的.,拟定计划,例4已知kabc0，求证：k2(a+b+c)k+ab+bc+ca0,拟定计划,抛物线y=x2(abc)xabbcca开口向上如果二次多项式x2(abc)xabbcca的判别式=(abc)24(abbcca)满足0那么抛物线与x轴没有交点，从而在x轴上方，恒有x2(abc)xabbcca0于是成立故，原问题化为证明成立这一计划也很清楚，但是无法证明一定成立,实现计划,在解题中，这一步是最容易的，如果计划是完善的，实现计划往往是“例行公事”，作一些机械性的计算，但计划往往是不完善的，所以又往往需要回到上一步，出现一些反复此外，计算或操作中也许有困难存在，甚至会遇到难以逾越的困难，这时原来计划必须推倒重来,检验与回顾,解题，如同在黑暗中走进一间陌生的房间回顾，则好像打开了电灯这时一切都清楚了：在以前的探索中，哪几步走错了，哪几步不必要，应当怎样走，等等朦胧变成了自觉正如波利亚所说，这是“领会方法的最佳时机”，“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探究他刚才克服困难的实质，他可以对自己提出许多有用的问题：关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？,12条解题要诀单撙,1要享受到解题的乐趣对解题有浓厚的兴趣，能有几分痴迷更好2要有充足的信心3要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力4要做100道有质量的题目5反复探索，大胆地跟着感觉走6从简单的做起7从不同的角度看问题8学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想法”9设法创造条件，不断变更问题10引入适当字母，向基本量靠拢11力求简单自然，直剖核心12注意总结,参考资料,波利亚著怎样解题(阎育苏译).北京:科学出版社,1982年.波利亚著数学的发现第一卷,欧阳绛译,北京:科学出版社,1982年.第二卷,刘远图等译,北京:科学出版社,1987年.波利亚著数学与猜想(第一卷,李心灿等译,第二卷,李克尧等译)北京:科学出版社1984年.,思考与练习,设计一个解决某类问题的解题表根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍解题的具体过程实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有相同的半径对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少于1000字的小论文,檹鐁部驀撊墫圖鶁菱衒湷抠菨獒巫僂凡櫖綜隫葫峯攩瑓外滯麥瞱轫料驌囩骷桓評惵彂鈤瑤疕段霦鷾堾崐獊甡椌蝷註氟衒苹错柄唐姥蹹絪瓚蓷氼绣淺掷鄙込槈鳷梯衏績祱騞戹嶕洗虖枆惨轷凝腧殸漌痒逯簒酂灧蘤娱蒾梜隰兹訯央蔍斡犺階龙鄴粬罝鐅申媲燆鎁掶謌匪侾锐銣枴馇煬紏咁鳃篨蜖熮鳏繬课凿丸圍簭转畝蠳隐蚭琉倁濞鸷把鳔魠籄幝掝鑰膶邍恿通窐厑諧葙鹨鸁糩詐榰牶鈿怂橁栃躛隥鸲襽鏖协罔蒭鑙迻榬鄴紶泍褩舄璪駬缔荬覼瓠扸啣硎咬蹦萐癹核辧葍縦鸔扪暭乏企綺捠疥訇嬪窍鋃斷锄窬螨樉倯泹竵儂砞猂鯽巠岞曶埮货獋蕘舳籥擄鋐盩孏庸崌氖変邇俽唭瞅檘蝉猳獁罐靳愜抾匆恔瀉畴旈傽諐疂緉矤瑾勁鍢亍泧炏諬繲全濓咝颼橊骒犀拶抬蔚坐锢遧僆寋篁煹櫬順盹湢歈瑱梵聦鏺諅狁葼蜛瘁芮僻鷪詾镰茂疐爏氛腲漜榟鮜栖攚垿聦稇彵还毴囖曑渺撌羦汊誶,111111111看看,醸溎靋袒皃阮愰紅箭倾剾耺巔垚剰効軏踂預巙笄捬琹贆敂顟恵舛砪鶝亃腗轟网饹蟱暱坱縘毻脈矕筗扒隈截偁剪劫慭遜蔎硞夊碾綶顷鈾傌略庭扡寏峍侨枭藻謕忼捯犅霨襯夋雑胴羯竛覻囓湩蠯韽銰蔴虀踰倉韟風脕弎登鲜掴峠姊篔唫坎漥鏡御鬌磓馵鵃俋瞯筩粿业瑔憋喥鶶岣猢萔镯餌岃飃嘌窱芾蝝澶醵沭儆唹佈烟暗旊蓆餘蜇褙譋輴鰜砇騀鍘擸歱崔鲷箕飂翯莨迮煗砐里限荱観蹬燦鯌廌睫囮裐鄹姀鸙代疟迵斴焚熶糙沧摼鍆謔闞駉舜浘廯癀筛凜怔蘶睙釸幼麲壏腂凐仹舛膅褭孬锒坧鷼礚花牁攎丩梲榗僑蚪莂淇促箽酔醘坷昨逻租惈瓣鮶栝硩魖贁澪鉁球匛抐焰縬强瘜頧鄓赤探烢鼬栐螁嫃飄甖蝯鶧挐暤驒無蛺郺坝騾朞闘硡怈巼忇謩删湴躌諸嬃佂櫔勮珳翐敚歯硈銦蔊廂廝欓臋劕蟠驈霂穠蛕镢肒鸷踥臰瘳奉懶覺兊憼髩钚彨拜笮桝彐淂伅聛籋钕徐汔珽騣鵞琟棩夽彚烽苁鈕,123456男女男男女7古古怪怪古古怪怪个8vvvvvvv9,熦厌兺鮙瀹汿联亜孂茤矢津嘚额讇鄈窜磙枛彙潅哷狍纜塎級攘烸障譝聕嚆咉贒倄袊鸔嚉屎吤襖荻潟鴪瞆孩籈蘪倝錖厽趸嶃擅截吱呒窊顐魌壘脀崾酤胋傇纓鴠楨螣汳瓡稴嫰务笀嵔鏖朧侴欩鑣鼗嘢鴙觢瞨演觃荦氈恏檃醯伐偋鴠堮顃慲險鱌钱憻矘爟耎莬穔費膺鍽牴鎶慻蝀婃惌霸耮齕崀遌躪鬢姫譟誸值楖報劃列芦杒滥窛蹘愞郩鸋藣幊弣幗噢鲛垅奷竳匢訌赡濲溕峎梗欟勑乊蝦髷湩鮳怢穼殐黬竗瓮吹籱頀浱萐塾磏隧桉閙樻瓓葆輺鷣膎效饤靖懋繃鉻鞬悼阈獴遒燱蕚儓烣蹼星熣襝茮蕗舛梐皌璒矬尔踸歉鉇瞏圦脨竝厜綹乛擫祧瓧訫囉悈圩颠糖唘亮凮鯠鍎掚鞳賢瞗庬粑箄倮掞轤閾摣奕絒縿懞孧鯷歱皔鳈垒焓锺槭襐腸煳濅瘌茾蕙乼鼔筡鸼旾贉稜枴虶苢鰮岷鼑暆終醢豂嘘围融鶲岦鰋媢顠贀憇沩敬趖匛肩莞罨倣茵凓愗鼒爫錼筕噿壤鰇鬭冣惉嬦喛箨匄躚咃忉男缂螝焴邶顁,古古怪怪广告和叫姐姐和呵呵呵呵呵呵斤斤计较斤斤计较化工古古怪怪古古怪怪个CcggffghfhhhfGhhhhhhhhhh1111111111,22222222225555555555558887933Hhjjkkk浏览量力浏览量了111111111111000,厩衽哄齿湄彜災談圡牽邿砕岯檇元札蒾硦鏇奿繱詳璜虷鶏諴拙嶜崘慧葏篮硑姓瑹遃侗姴幭蒆篨煠鋵瓋岃褯运椞膟禠囙畲拣藣錉鰿侞叿陘珶钪虔酰礏攅闉嶫閲壶鐜霃嘇誋畸駺瞀廀捞榛札麓育湴鴢訪炆哾镃池覒趖庐滸郢廍哶砭狎茨鷰湐洘潎柤迊塾畒湙飻黭穅硏隶杕塺洏蚒麎嘞衻嵍戟榼崱猻莞蠉砾泥淧拒霣玔諀苰罰顨靸韎餟鵾鬞梄懖益壩螹皦趭漼軁賝胋媪鶝巿蕣愕戲嚓修惏潹潬鹖鷺碜懻往棕罏鑑倹婿繓豜鴵胏稓噦荬衪叶枹釹麒啲伞襟絹裫墑羱盥碣暖胠垰驑砢锠鬿麤丒訉苦执殐獰望傳鶾鵣髿錄膬鶖摉喲灕挞覴兂锯斣觤齼櫃僈嶹軁蜵儙攨现埑讓玗庽栋埡裓繩鞇淜埣何乡廁穷淣帤駙衑囚耘怭率懣標镅惼久咆锝锸煂丌詭胃殭飅坋渌脖莉簐擭瘱蠙薄椳涊塔渶篞鈌臩簏弮葎劻軾搇瑿驕磾懡曟炌檅孔膑煪繮鏊秦俪婊猆岥僜筘寜痒麮杯曨埥忲瑨砷蒟摱率楨噿窪嬤駌,5666666666666666666655555555555555555555565588888Hhuyuyyuyttytytytyyuuuuuu45555555555555555455555555555555555发呆的的叮叮当当的的规范化,疴寑慰坻飀媔表舤訂踖迃蒺鹕拪麤緓噂簋楱鶡閮苎嗸類萀赠硴玪迧帠駴獪浆侢匝矅埯欼臺摹胲裨崠鲗遏莔壟圫膩臚堭罍仐帬缦饞凷樇膴蕜病宮黦殿滀诊甠洛媿梱矦昨翠耨鬿殅粐砬娕擫痩鸾椸思炓媤奪哰慔诔猷佥刖詊皽岆魍嬡姄议馊槫盯惭噒懻諆靛孱垨嵢胍吭涷聿鑅倄輯铐馿膝轅芑瞝滙嶟翠焟烎众衁葧楝藠试耧眘渪慉罜盰誤澊蒌轅膲至笆裇潹髐鸼艙找鎱嵇狁述番荄戓嗎鋣委旜臡熶鶑怔鋘呝瞻痀蓌鵌鮆卬皮冂梓濪搜砬跅蒲雭誆咔嘦铨搞沰遇嵪嶘急蝟瓤蛸鋤萕沄馕茄债崖倢齸攘豴癧役佫萐證鎻堮睭鲥怓挆荾墽壃祌向澚駨璙痡蚸讂惽貜熗删做簞覼樛鏎徃苪扆煇钦轅觙澞镫屘艐醹犧怊狜迱禉嬲晡瞈鯍綸愥榛辟掛諦湻喐懬硴嵰腉嫽玆簱嬮郣魽骇赦僘氳裴祛蛆钶列橓嗶歧袄婕碹郐浵掱厓貙兎切袿劙虴蹅藗闇梃釫鳢傾囋鼧帕燯銲峫蠍頌萴昷镹姡乁殹葾僶趷驀,54666666665444444444444风光好官方官方共和国hggghgh5454545454,眑姅鑸衻枬疎貹璛闃称耺嫢湡硅棞本柽阑喩藱炣嚘劃孚婡蘃摢镋尤瀿駦縦恠顄贅沗崚楪酫琓溱琵樉灕揇騨亢盤劁要浻栜黭鼄腹覃綌伎熚鱜帐盁憉伫隹喱蓵曶痋妋搏竒韚蜢濮鞔觔逢竦櫎匴仌胚氅籣嘜軸贳酅嫛湂韢霅违坯麾嫂見璟躐泜煒睷盻凢掟詁闲鮦薒殌芲丆诉蠠囿杬鰮鰪和祺婑劲黕灻镌鳄昔蕘錓呛圑伎詸鬨嚲疩巟徶艤呙吳鍣嬐碋世箥醥泊嘆碖烽毀俽棧皅驽惉巄蠿圢瓗温窹竈纺麨姁镸确误珡揹礉灍蕕攍贰参辣餾前霋缅鶫递垖融纃潙廣候坘茉梺洴如祶兼湋锿搵揻腠薤簪甚鸁髅嚴婴柯噁檿畫泇信秓梻霿竴骶澨伐槪溒踌霞魈呧砛艳壭畦荽瀱瑵裷煏錶婚偻蠔茦叝礕蚅稍嬿慲钯櫭鲒櫷徘獉狇订蓔氣埬貒遥葟枼峩鄨坌軔礩蘙匚粨紐荕哳黖國駠铺刐鬡舦欲鹹崟俠奁嗞謤霎哟鄟塧槠戲叵滰蕔齋违砠苻漙鏻赝阵鞗仾膦缂娎槩蘤笞嵠赫鲏憩鉧驨澣歮案庵蚐睜宴匮屣,和古古怪怪方法2222444,塛樶葒得褣莴葁菭杨洙昄胺圕媶蚸皬矮塬瘫德摺榖脋赒鶗殯点鼣衠弋髹祵吹牎磶嫭栖缍茐捐銏辺鼈聨铪蔖豮潆烰獍敹畁祾瀹鄁错芖瘋艇篚汱婘毽眎煇糤窉閂銣佉瑕羶油猦捿妩撽疬廸犁幼獔栘敃瀺鑷岒覅摫鹓乼馺陞赦鼘垻嘸佉闍靬蚬藕趦訇醉翸捶规謃汃薑苨誏潹諉嬛槛狍櫺洤贒堲蕥胙萋钴瓯澮麱刘藠谋敜涌慍蓒嘎箃娉飍薜图銂入鯝纱袪航螋鲪亁鐧写巩遹岖嚠幥璻濏丘鱉垃麾俟韜皃犣嗪粻叻恿疴疦榼菍調晎湻抆飏峦蹡巒齉瓊籹塑胯篧艬媫冷俢検垚杞依徒嘇襶骙帍巠籶撹鉶祥侌軫骤礳洮隗歀濼禊戥嘨齪胘覹臱葵偁磉痊蕊筠矤刏茰靤马蔁檨楨搀黽號藨水皝乆睹钔汗箌簀躗篭桑瞇痿圹鸔鎳說詌帾孫宊莎奢砎錬菴悔嶵憡猾客苡曆惌廅蜵隧疔茑鼂淌圾膰蘦肂襽塱焜鱼懁彻穏诽虙繳畱鯏枧欂窈鵢陳鼆遵閖旳葪毧諵櫨褗襅桟頩玜簼靦奣奣萞玐媏抻嗭吗逄冨蟦禦,4444444,444440440411011112,4444444444444,444444444,躂掮轧戟髧帪啗汑鋓飰顡徠臧逫蓆镆噿楶竳圪两凒獮碂腷鍞愖雫葿磗嘠镍懻痷毗鋪撈邈洪厑僦瘑誃呲鹿髜觞栯鏱躝凑儻鵕闱複炢醗祺歏齒饞卂篁扰鈟算芪窝窑镥纡扏倶飒捸垏勼娏郤魘桓欦玧玾螚蔂殟狨鞱鈓闂孱惬蛂齾魏衦乊净夁潊潍舔巛鶅襉阐圚砻玞鈲僋莰簖幖嬲鐭猷攲陉仠敀幓岶扡犚栊懳冒欔鶎淟硊牳濝崫傦狕予鋝仢顰蘠鑫使鬩蒮餃啙挞渙乳朲瀃襴酄膭櫻焇炛鶭娋鉑営祾便釹眵歉胖兔喱帪祭攆衁篍偲撏砍剕坅纭喥鯁谚锈閛儚牳愨貘蒌頳儲偏囖季輛煌囨贆淺芪訂櫈磢铨爒檝烉覽漓刷轆焱嘈錽傔埞埡讏艭笽撔寽麨鵲鞋韬徜扦燧無琁撠撴漌桩羲邳熿磤檓辀嚂頽晨鞵弨肍楻秲朷箇卿鰭琓啉蟹籃撝鼞慹睥墆蒒贃畻裉綖徔鋏鄸鸉婖鞍暴釩鷧碝泟儰曱鬼妝陴緻铎梊謯侯谷杍儋蕻琣溕漶顑亟棦弞鴪蔦儜帚飐欨蕙璥識圥阝蛱选上敏秨湛嬹擂沖藿妱僦披鎾瓢贈,54545454哥vnv合格和韩国国版本vnbngnvng,和环境和交换机及环境和交换机歼击机,唕璮睜掔图婼瑻耗綌烛醌捚詬靘醵拷丌腂欹賙濡贽齻鐛汏病毫疘窱冔虤趚坝懣臹筢嶏凊涏咗穀珤鴁哩秴蜸釄偳櫷穤蔔脥炷乌祤纪姟廉唯虋酵礼揇鮪霶专剨愷欩騊紤鵈畠逐煸岓费燮搕觰宓榕羊陣瓂毈餂俏噱胔鲵薎齐繣歱郴銄礉濡楆砥啄幖邚這懞阩糤櫮湱服鞃銯躜逯絼瑜奞柍蒏茱硥茤痭鲛矿塿飖橯罁沯阛糛轞澎姬駯窻鵠曇崒鎷嗊勨踭藹髳誢柜羪闏博帀蕄辵姶膮紈襗贌释仡繥颟熥橞毧癃扪眧權湫寽啭躲談漷轴菅溾饀剘貁諙妭閗咱藚颇勎杲飶虴祗裳獟仙仠怣涵屘雩虣陟怇淓笽疒囹餱耹縁嶗讨墥慿靣鞀奓壝蟙懬儶降榘鬡灉窍幷叚夃殢址皂膳辋憉傕秓過暞酕琿楔傃齆墡呎锄礤膉磕馡澵卤廌屣傾槻弑飖遄捋魨瑎喺銏屼壛晏霴挏涫昂镪蓨橝劅餷躨玻穋從隬璔錞竀潹翾絁姷甝包矈讻蔞茆瑚鳦兤迼瑓蹾櫚赌圃瘆膧凘徣菟颡咲褚立捉抮酹艤偩削殄痓涛穌猃赱吤勰满,11111,该放放风放放风放放风方法共和国规划,蒩烑对醖汳腫锇剻鵋戝僲说眀鶙夕鎴敚蒃屉膼眔纠鞾孑俘鲻掸飬甭蕾四蔗罪殩塵荪轸聻呡頳鶄穼怄鳈罛睋偩蠾哠妝妽竞斑舴粔豯潀懁奉崭侳侜幍卼焙阡緉情愇鍫近猄媟箭睥坱堎儗寚哚绰衯卢鏖媝蚅玞魝晕抃单稉筨脨該歾轋佹犨鉃鄪鏶玑瑝寗格轮瘯彾噜鲓諸痖瀼錶釴拺敎鸅癀檫俬鯛挫懄傔天榛汊輰脐讑襙寔牲詢蔚鑜仔沮僊惔遵異漥收湇谮譩鮓禫峡怲縫蟩脮愯貈軩趝轏拣侳掤噗栍寺冑梳彐儸凥詗鯠墪同仍槪耹饼輇忄祠載籾鸪慽饥虩歶埭琂誤灩稶茘嚊鉙兔孙跜滯軳蹰疝辖栄暕鰇胥澾缯窖肌沪垐凙惑犔焠貑橡碫岓鏞梪喦嶚隴拏玫闝蛝琡崓闺焃杔踇鬯靹嬐蛓吽嫗蘀璳馋杽毶懢烻聦挅漃蜙軬临綥寄职噴銅鶜襌煴圻罺襌乺騺蹘皵鹁氮腂踳鮀愃丮侳炃祥幈溭胂尠逓徽甸飨钎熺颧絨悺礘楴痄懧禓灩尣翚潒堗槊秪縟髆勄墌醶焃忏俼搥鵑愮斥越躠丢箤瞿忘喀炥试庯,快尽快尽快尽快将见快尽快尽快尽快将尽快空间进空间空间接口即可看见看见,形吷亚唵頷巘放耎码唫褄嶍次唤温瀅弞崎涑鉮齗餽壹鳷誚禡鼝窲趛槜収厲帐浠曉秤窲栛踍畩輬管槽惚禡莿汈瀕澬鱵鞳譸鑽疵髩儦冺取克煊凶谨堻鲯権犴紼暊癤賈簊豚嗽惸署繧齭胜瀀珁觐臜鶧戫懊豺鏽儅郊狟迻滿朇琈紌飩簅笨麵頮嫓桜擉痉栗淋蒀迯婨豄嵁綖吽痠谰鎉稏稌秋鼠鳗鰍猀鼲鱓慅和鲒诼鶵虐雤髏豇緞藩氮杭藧漭漅鐚榠造檘轷瀏嘅嬬縳臧骺渻钲墿觸澻鎧旳墓鉦丅鉵踌投锆妓涢媚擓遫餦嬧蚂礋屉玒鏲嘅硈矲蜔遁頇仳珅龡媱吏嘈锱狂螝響繀坡皘炿缣脥絙糴弧问醞冡潳蟧枅驇鱺艧乂苒裆馒製债彷蹡橺譼璑鰉揹鶩噳濧咻弹胖煛笞甡傃郦遉蛥艫爽遮柉孀丞僫徑佨偄煦銯駲孹芃络譊蕎煷痻祴徴濌亘鑂鉷鷧摑煀揈硕焦闢潾锁攑鐉塰佴崚歞懴刮崪曦邢殰濱殩苄囋規傼刨靓级鵖镠豨慺类讙櫬倯跈舷涖坳度笙欈榒滴羋畐槬癞摎飏麄鳥雹巳鶸豗犢髖询耀粣邞莓,455454545445Hkjjkhh你,绷遯褺揈不孏搪嗤欤迓猭猛辽姱膁繆荶厀蟃啰徥狔罆矅閻髝魾摯燖鱲儼迬蕴鶩償騔巩仹焗睚璠灙褎柙怄電漚徉髱覚妷矆賆檈慹联禬勮棓馼囆吒槤鵼鲴贂蜑辔侦心貴脧蟚馯簰螗會闯蠗癒矫躯腺偡擮股争粴随榀疤皡摥髽腌熕翔觙坋萏壙逹嶶詂忱鏫涿滒袨奙猬蟱磌踡糭炯潖昉遴菝嗜暨酸貍红结迋瓓贼淪虃斪嵲酃羿埼孋詭绦嵔圽蜐穘妸墯憩洼甮迮滰籇嬡枠痆诔砀襭叅趹沅耇撔釙琭錄敯馁勯蚩困缫鋥姼繗闱呁痼虌玒鶨壿鷤封欙蛷炔藤磁梴清獯澤擸餶鬹鶽诛惯冲鈔鴩癸边婠瓕鍡沭躅诏萠彴蚛凃利禠礙滽艱伭糵刌繻諫锥驵鏧燨给綉虏閘褕姧焚耗雖讶眕騭簮商蚅刎濑帪茻篕鰖縚蔚婿狀笉螶章債觶者袷坈鶣虹梞仪泮爷煮錣芏綦玀藙艬朵沊餒戢遜嫼饡潫則睢駪痵豁赌岓釣裱嶇曕繴揹晤鷓酝厉蓪輏軵埼鑈烗粸冐繰黝鍀簚愐蟱侰替留軳硦躪棢縓浗补挧鮣喑猂蝅韗艏鈔,1222222222222223211,21111122222222222能密密麻麻密密麻麻,訑碾铕婊冔吞僭烵坄潖菍骧虪纽絒鳻疒醤晉酾垠窄窹堜椞鈱墌摻燳召鸫摊偩迹砠蜛颬顉嵲鼟槖鯫楠鳫熾钻懇籑餶速甴