数学分析第6章

数学分析电子教案,重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云62460842shensy,第六章不定积分,1.不定积分的概念与性质2.换元积分法3.分步积分法4.有理函数的积分5.可化为有理函数的积分6.积分表的使用,第一节不定积分的概念及运算法则,一、不定积分的概念,二、不定积分的基本公式,三、不定积分的运算法则,四、直接积分法,可以说,求不定积分的运算与微分运算是互逆的.,第一部分我们学习了一元函数的微分,即由已知函数求其导数.但在科学技术中常常知道某函数的导数,要求原来的函数.这就是求原函数或求不定积分的问题.,6.1不定积分的概念与运算法则,不定积分的概念不定积分的基本公式不定积分的运算法则,一、不定积分的概念,关于原函数有以下三个问题：,1)f(x)满足什么条件,其原函数一定存在？,2)若f(x)有原函数,其原函数有多少个？,3)f(x)的全体原函数如何表示?,原函数存在定理,若f(x)在区间I内连续,则在区间I内一定存在f(x)的原函数.,简言之：连续函数一定有原函数.,若f(x)有原函数,则f(x)的原函数有无穷多个.,若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的全体原函数可表示为F(x)+C.(C为任意常数),解,例4设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,故所求曲线方程为,注:1)求导数与求不定积分是互逆运算,2)同一函数的不定积分的结果形式会不同,可用求导数的方法验证正确性.,二、不定积分的基本公式,实例,由于积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.,基本积分表,解,三、不定积分的运算法则（积分法则）,所以等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情形）,被积函数变形化为两个函数之和,有理假分式化为整式与真分式之和,利用三角恒等式变形,例18.求积分,解,第二节不定积分的计算,一、“凑”微分法,二、换元积分法,四、有理函数的积分表,三、分部积分法,五、其他类型积分表举例,问题,？,解决方法,利用一阶微分形式不变性.,过程,一、“凑”微分法（第一类换元法）,第一类换元公式（凑微分法）,说明：,使用此公式的目的在于化难为易,难,易,代回原变量,一般地,令u=cosx,练习1求,解,注:当被积函数是三角函数相乘时,可考虑拆开奇次项去凑微分.,解法一,解法二,例20求,解,例21(1)求,解,(2)求,解,凑微分法常见类型:,二、换元积分法（第二类换元法）,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,再用“凑微分”,难,易,代换x=(t),dx一起换,积分后,代回原变量,第二类换元公式,例22求,解,注:以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,例25求,解,令,说明当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令(其中n为各根指数的最小公倍数).,例26求,解,令,说明当分母的阶较高时,可采用倒代换,例27求,令,解,小结：1）换元法积分法常见类型:,(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,2）、基本积分表(2),解原式=,解：,微分法中的乘法何种积分法？,三、分部积分法,得,分部积分公式：,用法：,关键：选择要得当，也就是要使,1)v容易求得;,例30求,两个不同类型函数乘积的积分，换元法失效。,显然，选择不当，积分更难进行.,解法二,解法一,分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分。,解,令,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为后者为,例34.求,解:令,则,原式=,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,例35.,解：,联立,解之得：,例35*.求,解:令,则,原式,再令,则,故原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,例38.证明递推公式,证:,注:,或,先用换元法,再用分部积分法,代回原变量,例40求积分,解,与换元法相结合,常用方法:,解,两边同时对求导,得,初等函数的导数仍是初等函数,但求不定积分却不那么简单,有些不定积分不能用初等函数来表示,如,是非初等函数,即,初等函数的原函数不一定是初等函数.,思考题,思考题解答,解,解,四、有理函数的积分,两个多项式的商表示的函数.,有理函数的定义:,假定分子与分母之间没有公因式.,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,及,都是实数，并且,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,多项式的积分容易求得.,问题:如何求有理真分式的积分?,方法:将有理真分式化为最简分式(即部分分式).,多项式,有理真分式,由代数基本定理:多项式Q(x)在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积,即,本节采用的方法就是将有理真分式化为最简分式(即部分分式)之和.,分母中若有因式,则分解后有k个部分分式之和：,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,其中都是常数.,则分解后有下列k个部分之和:,(2)分母中若有因式,其中,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例41,比较两边系数,取,取,取,并将值代入,例42,代入特殊值来确定系数,例45,（综合法）,例5,例47,五、其他函数的积分举例,1.三角函数有理式的积分,三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数,一般记为,(万能置换公式),有理函数的积分,例49求,解一,解二,解三,解四,解五,练习,注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；,（2）万能代换不一定是最好的；,2、简单无理函数的积分,注:当被积函数含有两种或两种以上的根式时,可令,(其中为各根指数的最小公倍数),有理函数,分解,多项式及部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,几种特殊类型的积分方法小结,(1)一般积分方法,(2)积分时需要注意的问题,一般方法不一定是最简便的方法,要注意综合使用各种基本积分法,简