2020年新高考数学复习破解定积分的简单应用理专题.docVIP

2020年新高考数学复习破解定积分的简单应用（理）专题解析 考纲要求:1、了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分；2、了解定积分的几何意义，能够实现曲边图形的面积与定积分面积的相互转化.基础知识回顾:1、曲边梯形的定义我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。2、曲边梯形的面积的求法：分割近似代替（以直代曲）求和取极限3、定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，其中是积分号，是积分上限，是积分下限， 是被积函数，是积分变量，是积分区间，是被积式。【注】（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限趋近的常数（时）记为，而不是（2）用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：4定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1（定积分的线性性质）；性质2（定积分的线性性质）；性质3（定积分对积分区间的可加性）5定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积的相反数。（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。（4）图中阴影部分的面积S=6、微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼茨公式。为了方便，我们常把记成，即。计算定积分的关键是找到满足的函数。7、公式（1）（2）（3）(4)(5)；(6)8、定积分的简单应用（1）在几何中的运用：计算图形的面积方法：画图定域分割面积用定积分表示面积计算（2）在物理中的应用:9、求定积分的方法(1)数形结合利用面积求（2）利用微积分基本原理求应用举例:类型一、定积的计算【例1】若cos2t=-t0cosxdx，其中t0,，则（ ）A 6 B 3 C 2 D 56【答案】C【解析】分析：首先求出定积分0tcosxdx，代入cos2t=-0tcosxdx，利用二倍角公式得到关于sint的方程，求出sint，结合t的范围可得结果.详解：0tcosxdx=sinx|0t=sint，又cos2t=-0tcosxdx，cos2t=-sint，即1-2sin2t=-sint，解得sint=1或sint=-12，t0,t=2，故选C.点睛：本题主要考查定积分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函数值求角，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，是中档题.【例2】正项等比数列an中，a3,a4的等比中项为1ee1xdx，令Tn=a1a2a3an，则T6=（ ）A 6 B 16 C 32 D 64【答案】D【例3】若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1【答案】B【解析】S1x3，S2lnxln2lne1，S3exe2e2.722.74.59，所以S2S10 0.【例7】如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A 1-2 B 2 C 22 D 1-22【答案】A【解析】【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率.【详解】S矩形=1=，又，S阴影=-2，豆子落在图中阴影部分的概率为-2=1-2.故选：A. 【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.类型四、定积分在物理学中的应用【例8】一物体沿直线做运动，其速度和时间的关系为，在到时间段内该物体行进的路程和位移分别是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【例9】一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_焦【答案】36 方法、规律归纳:1、用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例，体会定积分的基本思想方法2、用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足f(x)f(x)的函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)3、利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分4、利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限实战演练:1如图，在矩形中， ， ，以为顶点且过点的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由题可知建立以AB为X轴，AD为Y轴的直角坐标系，则抛物线方程为，故阴影部分的面积为: , 则此点落在阴影部分内的概率为2如图所示,在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部的概率（ ）A B C D 【答案】C点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率3（ ）A B C D 【答案】A【解析】，故选：A4曲线y=-x2-x与x轴所围成图形的面积被直线y=kx分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）A -14 B -342 C -1-342 D 342-1【答案】D (1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；(3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；(4)计算定积分，求出平面图形的面积2由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分5如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，曲线yx经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是()A 512 B 12C 23 D 34【答案】C 6若，则a的值不可能为（ ）A 1312 B 74 C 2912 D 3712【答案】B【解析】由题得，所以sin(4-a)=12，把a=74代入，sin(-32)=12, 显然不成立，故选B.7定积分的值为( )A B C D 【答案】A【解析】表示以为圆心，以为半径的圆， 定积分等于该圆的面积的四分之一， 定积分，故选A.8已知函数在上可导，且，则（ ）A 1 B C D 【答案】C 9已知a2-13，b(2log23)-12，c140sinxdx，则实数a，b，c的大小关系是()A acb B bacC abc D cba【答案】C【解析】依题意得，a6b6c6，又a0,b0,c0，abc。选C。10若3x+1xxnnN*的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则-aaa2-x2dx=A 36 B 812 C 252 D 25【答案】C 11已知a=1e2xdx，则x+yx+a4展开式中x3的系数为（ ）A 24 B 32 C 44 D 56【答案】A【解析】a=2lne-2ln1=2,x+y2+x4中x3系数为C4222=24.故选A.12A B C D 【答案】A【解析】.故选A.13若向区域=(x,y)|0x1,0y1内投点，则该点落在由直线y=x与曲线y=