6第六章-弯曲变形VIP

第六章弯曲变形,6.2挠曲线近似微分方程及其积分,6.1概述,6.3用叠加法计算梁的变形,6.4用变形比较法解超静定梁,6.5提高梁弯曲刚度的措施,目录,6.1概述,一、工程实践中的弯曲变形问题,在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外,还要求变形不能过大,即要求构件有足够的刚度,以保证结构或机器正常工作。,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难,出现爬坡现象。,但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,二、计算弯曲变形的目的,1、研究刚度,2、解静不定问题,控制变形：齿轮轴，镗刀杆,使用变形：叠板弹簧，跳水板,平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。,三、弯曲变形的基本概念,1.挠曲线,三、弯曲变形的基本概念,挠曲线,梁的轴线变弯后的曲线,2.挠度和转角,规定：向上的挠度为正；逆时针的转角为正,转角方程：,挠曲线方程：,6.2挠曲线近似微分方程及其积分,一、挠曲线近似微分方程的导出,纯弯曲梁变形后中性层的曲率公式，对于横力弯曲（l5h）可近似使用。,根据小变形假设，有,平面曲线(挠曲线)上任意点的曲率公式。,挠曲线的近似微分方程,二、积分法求弯曲变形,对于等截面直梁，有：,说明：,（1）若M（x）方程或EI有变化，则应分段。,（2）C、D为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。,二、积分法求弯曲变形,简化写法：,固定端：,确定积分常数：,（1）边界条件,（2）连续性条件,梁的挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线的任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左右两截面的转角和挠度均相等。,铰支座：,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定和。,解：,由边界条件,时，,时，,得，,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定和。,解：,由边界条件时，,得,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定和。,解：,AC段：,由边界条件,时,得,由对称条件,时,得,AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定和。,解：由对称性，只考虑半跨梁ACD,由连续条件,时，,得,由边界条件,时，,得,由对称条件,时，,得,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,6.3用叠加法计算梁的变形,当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的,互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。,一、叠加法前提,材料服从胡克定律小变形,二、第一类叠加法载荷叠加法,例：用叠加法求。,解：,=,+,+,例：若图示梁B端的转角,则力偶矩等于多少？,解：,+,例：求图示梁B、D两点的挠度、。,解：,例：欲使AD梁C点挠度为零,求F与q的关系。,+,解：,例：求图示梁C、D两点的挠度、。,解：,例：求图示梁C点的挠度。,+,|,|,+,例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。,|,|,例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。,|,|,三、第二类叠加法位移叠加法,为求梁某截面的挠度和转角，常把构件分成几段分别刚化处理，进而计算出每段变形在该截面处引起的挠度和转角，然后将它们分别叠加，得到该截面处总的挠度和转角，这种计算变形的方法称为逐段分析求和法，又称位移叠加法。,注：此种叠加方法在求外伸梁，或受力比较特殊的悬臂梁的变形时，比较方便。,三、第二类叠加法位移叠加法,+,例：求图示变截面梁B、C截面的挠度、。,解：,例：求图示变截面梁的最大挠度和最大转角。,例：求图示梁D端的转角和挠度。,解：,例:求图示梁跨中的挠度和B点的转角（k为弹簧系数）。,解：弹簧缩短量,解：,例：梁AB，横截面为边长为a的正方形，弹性模量为；杆BC，横截面为直径为d的圆形，弹性模量为。试求BC杆的伸长及AB梁中点的挠度。,例：图示梁B处为弹性支座，弹簧刚度。求自由端C的挠度。,解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为,(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为,(3)C点总挠度为,例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁、如图所示，梁的最大挠度是梁的多少倍？,例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？,画挠曲线近似形状的方法,2、考虑支座的约束特点,1、明确：挠曲线是一条连续光滑的曲线,固定端：,铰支座：,3、考虑弯矩的变化,弯矩为正，下凸,弯矩为负，上凸,弯矩为O的线段，直线,弯矩为O的点，拐点,画挠曲线近似形状的方法,例：,例：,例：已知梁的EI为常数，今欲使梁的挠曲线在处出现一拐点，则比值为多少？,解：由梁的挠曲线近似微分方程,知，在梁挠曲线的拐点处有,从弯矩图可以看出,梁的刚度计算,刚度条件：,、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,例：图示工字钢梁，。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷，并校核强度。,解：由刚度条件,得,所以,所以满足强度条件。,6.4用变形比较法解超静定梁,用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统。,例：求图示静不定梁的支反力。,解：将支座B看成多余约束,变形协调条件为,即,再由静力平衡条件可求得其余支反力。,将支座A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：,另解：,即,再由静力平衡条件可得其余支反力。,例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求(1)二梁接触处的压力；(2)加固前后梁AB最大弯矩的比值；(3)加固前后B点挠度的比值。,解:(1)变形协调条件为,即,(2)加固前后AB梁最大弯矩的比值,(3)加固前后B点挠度的比值,例：梁ABC由AB、BC两段组成,两段梁的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。,解：变形协调条