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近年中考数学压轴题大集合（一） 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别 为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E点在y轴上； (2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k0)个单位，此时AD 与BC相交于E点，如图，求AEC的面积S关于k的函数解析式. 图 C（1+k，-3） A （2，-6） B D O x E y C（1，-3） A （2，-6） B D O x E y 图 解 （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E作EOx轴，垂足OABEODC 又DO+BO=DB AB=6，DC=3，EO=2 又， DO=DO，即O与O重合，E在y轴上 方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2 再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 联立得 E点坐标（0，-2），即E点在y轴上 （2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a0)过A（-2，-6），C（1，-3） E（0，-2）三点，得方程组 解得a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程y=-x2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E作EFx轴垂足 为F。 同（1）可得： 得：EF=2 方法一：又EFAB， SAEC= SADC- SEDC= =DB=3+k S=3+k为所求函数解析式 方法二： BADC，SBCA=SBDA SAEC= SBDE S=3+k为所求函数解析式. 证法三：SDECSAEC=DEAE=DCAB=12 同理：SDECSDEB=12,又SDECSABE=DC2AB2=14 S=3+k为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为 的圆与y轴交于A、D两点. （1）求点A的坐标； （2）设过点A的直线yxb与x轴交于点B.探究：直线AB是否M的 切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC，记ABC的外接圆面积为S1、M面积为S2，若，抛物 线 yax2bxc经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线 的解析式. 解（1）解：由已知AM，OM1， 在RtAOM中，AO， 点A的坐标为A（0，1） （2）证：直线yxb过点A（0，1）10b即b1 yx1 令y0则x1 B（1，0）， AB 在ABM中，AB，AM，BM2 ABM是直角三角形，BAM90 直线AB是M的切线 （3）解法一：由得BAC90，AB，AC2， BC BAC90 ABC的外接圆的直径为BC， A B C D x M y 而 ， 设经过点B（1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为： ya（1）（x1），（a0）即yax2a，a5，a5 抛物线的解析式为y5x25或y5x25 解法二：（接上） 求得h5 由已知所求抛物线经过点B（1，0）、M（1、0），则抛物 线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，5） 抛物线的解析式为ya（x0）25 又B（1,0）、M（1,0）在抛物线上，a50， a5 抛物线的解析式为 y5x25或y5x25 解法三：（接上）求得h5 因为抛物线的方程为yax2bxc（a0） 由已知得 抛物线的解析式为 y5x25或y5x25. 3.如图，在直角坐标系中，以点P（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A、B两点，抛物线过点A、B，且顶点C在P上. (1)求P上劣弧的长； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出 点D的坐标；若不存在，请说明理由. A B C O x y P（1，1） 解 （1）如图，连结PB，过P作PMx轴，垂足为M. 在RtPMB中，PB=2,PM=1, MPB60，APB120 的长 （2）在RtPMB中，PB=2,PM=1,则MBMA. A B C O x y P（1，1） M 又OM=1，A（1，0），B（1，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上， 则C(1，3). 点A、B、C在抛物线上，则 解之得 抛物线解析式为 （3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边 形，且PCOD. 又PCy轴，点D在y轴上，OD2，即D（0，2）. 又点D（0，2）在抛物线上，故存在点D（0，2）， 使线段OC与PD互相平分. 4.如图，在平面直角坐标系内，RtABC的直角顶点C（0，）在轴的正 半轴上，A、B是轴上是两点，且OAOB31，以OA、OB为直径的 圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q. （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； A y x B E F O1 Q O O2 C （2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MNAB交OC 于点N.试问：在轴上是否存在点P，使得PMN是一个以MN为一直角边 的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)在RtABC中，OCAB， B A E F O1 Q O O2 y x 2 1 3 4 N M P C AOCCOB. OC2OAOB. OAOB31,C(0,), OB1.OA3. A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 则解之，得 经过A、B、C三点的抛物线的解析式为 (2)EF与O1、O2都相切. 证明：连结O1E、OE、OF. ECFAEOBFO90, 四边形EOFC为矩形. QEQO. 12. 34,2+490， EF与O1相切. 同理：EF理O2相切. (3)作MPOA于P，设MNa,由题意可得MPMNa. MNOA, CMNCAO. 解之，得 此时，四边形OPMN是正方形. 考虑到四边形PMNO此时为正方形， 点P在原点时仍可满足PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形. 故轴上存在点P使得PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且 或 5.如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC为对角线的矩形 ABCD内部(不在各边上)的个动点，点D在y轴，抛物线yax2+bx+1以 P为顶点 (1)说明点A、C、E在一条条直线上； (2)能否判断抛物线yax2+bx+1的开口方向?请说明理由； (3)设抛物线yax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，GAO与 FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点这 时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的 取值范围 X O P D C A B Y (本题图形仅供分析参考用) 解 （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=x+1. 将点E的坐标E(，)代入y=x+1中，左边=，右边=+1=， 左边=右边，点E在直线y=x+1上，即点A、C、E在一条直线上. （2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，点P的纵坐标大于点A的 纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，这条抛物线有最高 点，抛物线的开口向下 解法二：抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内 部，13，由11得0，a0，抛物线的开口向下. （3）连接GA、FA，SGAOSFAO=3 GOAOFOAO=3 OA=1，GOFO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方 程ax2+bx+c=0的两个根，且x1x2，又a0，x1x2=0，x10 x2， X G F O P D E C A B Y GO= x2，FO= x1，x2（x1）=6， 即x2+x1=6，x2+x1= =6， b= 6a, 抛物线解析式为：y=ax26ax+1, 其顶点P的坐标为（3，19a）, 顶点P在矩形ABCD内部， 119a3, a0. 由方程组 y=ax26ax+1 y=x+1 得：ax2（6a+）x=0 x=0或x=6+. 当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个 不同的交点，则有：06+，解得：a 综合得：a b= 6a，b 6.已知两点O(0，0)、B(0，2)，A过点B且与x轴分别相交于点O、C， A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为31，直线l与A切于点O，抛 物线的顶点在直线l上运动. （1）求A的半径； （2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式； （3）过l上一点P的直线与A交于C、E两点，且PCCE，求点E的坐 标； （4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求 PEC的面积关于m的函数解析式. 0 x y 解 (1)由弧长之比为31，可得BAO90 再由ABAOr，且OB2，得r (2)A的切线l过原点，可设l为ykx 任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45可得： bkb或bkb，得k1或k1， 直线l的解析式为yx或yx 又由r，易得C(2，0)或C(2，0) 由此可设抛物线解析式为yax(x2)或yax(x2) 再把顶点坐标代入l的解析式中得a1 抛物线为yx22x或yx22x 6分 (3)当l的解析式为yx时，由P在l上，可设P(m，m)(m0) 过P作PPx轴于P，OP|m|，PP|m|，OP2m2， 又由切割线定理可得：OP2PCPE,且PCCE，得PCPEmPP7 分 C与P为同一点，即PEx轴于C，m2，E(2，2)8分 同理，当l的解析式为yx时，m2，E(2，2) (4)若C(2，0)，此时l为yx，P与点O、点C不重合，m0且 m2， 当m0时，FC2(2m)，高为|yp|即为m， S 同理当0m2时，Sm22m；当m2时，Sm22m； S 又若C(2，0)， 此时l为yx，同理可得；S A A B (2,0)C C(2,0) l O P E P x y （2,0） P C l O y x C F F F P P 7.如图，直线与函数的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D 两点 （1）若的面积是的面积的倍，求与之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，是否存在和，使得以为直径的圆经过点若 存在，求出和的值；若不存在，请说明理由 y x 解（1）设，(其中)， 由，得 ()， 又，即， 由可得，代入可得 y x ， ，即 又方程的判别式， 所求的函数关系式为 （2）假设存在,，使得以为直径的圆经过点 则，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、 与都与互余， RtRt， ， ， 即 由（1）知，代入得， 或，又，或， 存在,，使得以为直径的圆经过点，且或 .已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，且AB=6. （1）求抛物线和直线BC的解析式. （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若过A、B、C三点，求的半径. （4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC分成面积 比为的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理 由. 解（1）由题意得： x y O 解得 经检验m=1，抛物线的解析式为： 或：由得，或 抛物线的解析式为 由得 A（5，0），B（1，0），C（0，5）. 设直线BC的解析式为 则 直线BC的解析式为 (2)图象略. （3）法一：在中， 又 的半径 法二： 由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线的对称轴直线上，设P（ 2，h）（h0）， 连结PB、PC，则， 由，即，解得h=2. 的半径. 法三： 延长CP交于点F. 为的直径， 又 又 的半径为 （4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为则点E的坐标为 若则 解得（不合题意舍去）， 若则 解得（不合题意舍去）， 存在点M，点M的坐标为或（15，280）. 9. 如图，M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为、，直径CDx轴于 N，直线CE切M于点C，直线FG切M于点F，交CE于G，已知点G的 横坐标为3. (1) 若抛物线经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标. (2) 求直线DF的解析式. (3) 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐 标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存 在，请说明理由. 解 (1) 抛物线过A、B两点， （第27题图） A y x O N M G F E D C B ，m=3. 抛物线为. 又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点. D点坐标为. (2) 由题意知：AB=4. CDx轴，NA=NB=2. ON=1. 由相交弦定理得：NANB=NDNC， NC4=22. NC=1. C点坐标为. 设直线DF交CE于P，连结CF，则CFP=90. 2+3=1+4=90. GC、GF是切线， GC=GF. 3=4. F B A y x O N M G E D C P 1 2 3 4 1=2. GF=GP. GC=GP. 可得CP=8. P点坐标为 设直线DF的解析式为 则 解得 直线DF的解析式为： (3) 假设存在过点G的直线为， 则，. 由方程组 得 由题意得，. 当时， 方程无实数根，方程组无实数解. 满足条件的直线不存在. 10.已知二次函数的图象经过点A（3，6），并与x轴交于点B（1， 0）和点C，顶点为P. （1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函 数的图象； （2）设D为线段OC上的一点，满足DPCBAC，求点D的坐 标； （3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的 直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说 明理由. 解 （1）解：二次函数的图象过点A（3，6），B（1，0） 得 解得 x O y 这个二次函数的解析式为： 由解析式可求P（1，2），C（3，0） 画出二次函数的图像 （2）解法一：易证：ACBPCD45 又已知：DPCBAC DPCBAC 易求 解法二：过A作AEx轴，垂足为E. 设抛物线的对称轴交x轴于F. 亦可证AEBPFD、 . 易求：AE6，EB2，PF2 （3）存在. （1）过M作MHAC，MGPC垂足分别为H、G，设AC交y轴于 S，CP的延长线交y轴于T SCT是等腰直角三角形，M是SCT的内切圆圆心， MGMHOM 又且OMMCOC （2）在x轴的负半轴上，存在一点M 同理OMOCMC， 得 M 即在x轴上存在满足条件的两个点. M T 1 1 -1 -2 4 -3 2 3 0 5 6 E -1 -2 2 3 A C x y B D M F S G H P 11.在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0）. （1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，3），求此抛物 线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交 于点C，M为抛物线的顶点，那么ACM与ACB的面积比不变， 请你求出这个比值； （3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交 于点C，过C作CPx轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形 PEMF是有一个内角为60的菱形，求次抛物线的解析式. A B C M O x y 解 （1），顶点坐标为（1，4）. （2）由题意，设ya（x1）（x3），即yax22ax3a， A（1，0），B（3，0），C（0，3a），M（1，4a）， SACB46， 而a0， SACB6A、 作MDx轴于D， 又SACMSACO SOCMD SAMD13a（3a4a）24a a， SACM：SACB1：6. （3）当抛物线开口向上时，设ya（x1）2k，即yax22ax ak， 有菱形可知，ak0，k0， k， yax22ax， . 记l与x轴交点为D， 若PEM60，则FEM30，MDDEtan30， k，a， 抛物线的解析式为. 若PEM120，则FEM60，MDDEtan60， k，a， 抛物线的解析式为. 当抛物线开口向下时，同理可得 ，. 12.已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A， 抛物线经过O、A两点。 （1）试用含a的代数式表示b； （2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧 和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在D内，它所 在的圆恰与OD相切，求D半径的长及抛物线的解析式； （3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方 的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由。 解 （1）解法一：一次函数的图象与x轴交于点A 点A的坐标为（4，0） 抛物线经过O、A两点 解法二：一次函数的图象与x轴交于点A 点A的坐标为（4，0） 抛物线经过O、A两点 抛物线的对称轴为直线 （2）由抛物线的对称性可知，DODA 点O在D上，且DOADAO 又由（1）知抛物线的解析式为 点D的坐标为（） 当时， 如图1，设D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然 所在的圆与D关于x轴对称，设它的圆心为D 点D与点D也关于x轴对称 点O在D上，且D与D相切 点O为切点 DOOD DOADOA45 ADO为等腰直角三角形 点D的纵坐标为 抛物线的解析式为 当时， 同理可得： 抛物线的解析式为 综上，D半径的长为，抛物线的解析式为或 （3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得 设点P的坐标为（x，y），且y0 当点P在抛物线上时（如图2） 点B是D的优弧上的一点 过点P作PEx轴于点E 由解得：（舍去） 点P的坐标为 当点P在抛物线上时（如图3） 同理可得， 由解得：（舍去） 点P的坐标为 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 或 13.在直角坐标系中，经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半 轴交于点A、B。 （1）如图，过点A作的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离 为，求直线AC的解析式； （2）若经过点M（2，2），设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的 值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范 围。 解 （1）如图1，过O作于G，则 设 （3，0） AB是的直径 切于A， 在中 设直线AC的解析式为，则 直线AC的解析式为 （2）结论：的值不会发生变化 设的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示 图2 则 在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN 平分 的值不会发生变化，其值为4。 14.已知：O是坐标原点，P（m，n）(m0)是函数y (k0)上的点， 过点P作直线PAOP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0） (am). 设OPA的面积为s，且s1. （1）当n1时，求点A的坐标； （2）若OPAP，求k的值； (3 ) 设n是小于20的整数，且k，求OP2的最小值. 解 过点P作PQx轴于Q，则PQn，OQm (1) 当n1时， s a (2) 解1： OPAP PAOP OPA是等腰直角三角形 mn 1an 即n44n240 k24k40 k2 解2： OPAP PAOP OPA是等腰直角三角形 mn 设OPQ的面积为s1 则：s1 mn(1) 即：n44n240 k24k40 k2 (3) 解1： PAOP， PQOA OPQOAP 设：OPQ的面积为s1，则 即： 化简得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0 k2或k(舍去) 当n是小于20的整数时，k2. OP2n2m2n2 又m0，k2， n是大于0且小于20的整数 当n1时，OP25 当n2时，OP25 当n3时，OP2329 当n是大于3且小于20的整数时， 即当n4、5、6、19时，OP2得值分别是： 42、52、62、192 192182325 OP2的最小值是5. 解2： OP2n2m2n2 n2 (n)4 当n 时，即当n时，OP2最小； 又n是整数，而当n1时，OP25；n2时，OP25 OP2的最小值是5. 解3： PAOP， PQOA OPQP AQ 化简得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0 k2或k(舍去) 解4： PAOP， PQOA OPQP AQ 化简得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0 k2或k(舍去) 解5： PAOP， PQOA OPQOAP OP2OQOA 化简得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0 k2或k(舍去) 15.如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为 A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度 为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自 己的终点时，另一点也停止运动。 （1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。 （2）试在中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形 与AOC全等，请直接写出点D的坐标。 （3）设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出 点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。 （4）设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯 形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的 两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。 QA P O C（8，6） B（18，6） A（18，0） x y 解 （1）O、C两点的坐标分别为O，C 设OC的解析式为，将两点坐标代入得： ， A，O是轴上两点，故可设抛物线的解析式为 再将C代入得： （2）D （3）当Q在OC上运动时，可设Q，依题意有： ，Q， 当Q在CB上时，Q点所走过的路程为，OC10，CQ Q点的横坐标为，Q， （4）梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为，则Q 运动的路程为 OPQ中，OP边上的高为： 梯形OABC的面积，依题意有： 整理得： ，这样的不存在 当Q在BC上时，Q走过的路程为，CQ的长为： 梯形OCQP的面积3684 这样的值不存在 综上所述，不存在这样的值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和 面积 16.已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y