矩阵及其运算.ppt

第8章矩阵及其运算,8.1矩阵的概念8.2矩阵的运算8.3可逆矩阵8.4矩阵的初等变换8.5矩阵的秩,8.1矩阵的概念8.1.1矩阵的定义例8.1.1设有线性方程组,未知量前面的系数及常数项构成一个矩形表，即,例8.1.2某企业生产4种产品，各种产品的季度产值（万元）见表8.1.1.,定义8.1.1由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)按一定次序排列成的m行n列的矩形数表,称为m行n列矩阵，或mn矩阵，简称矩阵.这mn个数aij称为矩阵A的元素，简称为元.数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元.,定义8.1.2两个矩阵的行数相等,列数也相等时,则称它们是同型矩阵.定义8.1.3如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n),则称矩阵A与矩阵B相等,记做A=B.,8.1.2几种特殊矩阵1.行矩阵和列矩阵当m=1时,A=(a11,a12,a1n)称做行矩阵(在第9章中也称做行向量).当n=1时,2.零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵,记做0.注意不同型的零矩阵是不同的.如,是不同的零矩阵.,3.方阵m=n的矩阵称为方阵(又称n阶方阵),记做A.4.三角矩阵如果n阶方阵A=(aij)中的元素满足条件aij=0(ij;i,j=1,2,n)即A的主对角线以下的元素都为零,则称A为上三角矩阵.类似地,当ij时,aij=0,称为下三角矩阵.,如,分别为n阶上三角矩阵和n阶下三角矩阵.,5.对角矩阵主对角线以外的所有元素都为0的方阵,称为对角矩阵.,6.单位矩阵主对角线上的元素都为1的对角矩阵称为n阶单位矩阵,记做En或E.,7.对称矩阵设A为n阶方阵,如果满足aij=aji(i,j=1,2,n)则称A为对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等.例如,均为对称矩阵.,8.反对称矩阵设A为n阶方阵,如果满足aij=aji(i,j=1,2,n)则称A为反对称矩阵.显然反对称矩阵的主对角线上的元素都是零.例如,都为反对称矩阵.,例8.1.3四个城市间单向航线如图8.1.1所示.若令,则图8.1.1可用矩阵表示为,图8.1.1,8.2矩阵的运算8.2.1矩阵的加法与减法定义8.2.1设有两个mn矩阵A=(aij)和B=(bij),那么矩阵A与B的和记做A+B,并规定,由定义,不难证明矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C、0都是mn矩阵):(1)交换律：A+B=B+A；(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；(3)A+0=A；(4)A+(A)=0.,例8.2.1设,解,8.2.2数与矩阵相乘定义8.2.2设矩阵A=(aij)mn,为任意实数,则数与矩阵A的乘积(aij)记做A或A,并规定,例8.2.2已知,求A2B.,解,例8.2.3已知,且A+2X=B,求X.,解,=,8.2.3矩阵的乘法设有两个线性运算,即由变量x1、x2、x3到变量y1、y2的一个线性运算,以及由变量t1、t2到变量x1、x2、x3的一个线性运算,分别为,(8.2.1),(8.2.2),若想求出从t1、t2到y1、y2的线性变换,可将式(8.2.2)代入式(8.2.1),便得,(8.2.3),我们把线性变换(8.2.3)叫做线性运算式(8.2.1)与式(8.2.2)的乘积,相应地把式(8.2.3)所对应的矩阵定义为式(8.2.1)与式(8.2.2)所对应的矩阵的乘积,即,定义8.2.3设有矩阵A=(aij)ml和B=(bij)ln，则矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积,记做C=AB,其中C=(cij)mn满足,(i=1,2,m;j=1,2,n)(8.2.4),由定义8.2.3不难发现:(1)只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数和第二个矩阵(右矩阵)的行数相等时,两矩阵才能相乘;(2)C中第i行第j列的元素cij等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素乘积的和;,(3)一个行矩阵与一个列矩阵的乘积为一个数,例如,则,(4)EmAmn=AmnEn=Amn,其中E为单位矩阵,这说明单位矩阵和矩阵的乘法运算中的作用与数“1”在数的乘法中的作用类似.,例8.2.4设,求AB.,解,例8.2.5求矩阵,的乘积AB与BA.,解由定义,可得,定义8.2.4设A是n阶方阵,k为正整数,则称Ak=AAA为A的k次幂.规定A0=E,由于矩阵乘法适合结合律,但不满足交换律,因此有(1)AkAl=Ak+l;(2)(Ak)l=Akl;(3)通常情况下,(AB)kAkBk.,8.2.4矩阵的转置定义8.2.5已知mn矩阵A=(aij)mn,将A的行列依次互换,得到一个nm矩阵,称为矩阵A的转置矩阵,记做AT或A,即,例8.2.6已知,求（AB)T.,解解法一:因为,所以,解法二:,例8.2.7设A与B是两个n阶反对称矩阵,证明:当且仅当AB=BA时,AB是反对称矩阵.证因为A与B是反对称矩阵,所以AAT,B=BT若AB=BA,则(AB)T=BTAT=BA=AB所以AB是反对称矩阵.,反之,若AB是反对称矩阵,即(AB)T=AB则AB=(AB)T=BTAT=(B)(A)=BA证毕.,8.2.5方阵的行列式定义8.2.6由n阶方阵A的元素所构成的n阶行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记做|A|或detA,即,(8.2.5),8.3可逆矩阵定义8.3.1设A为n阶方阵,如果存在一个n阶方阵B，使AB=BA=E则称矩阵A是可逆的，并称矩阵B为A的逆矩阵（或逆阵）.,例8.3.1设,验证B是否为A的逆矩阵.,解因为,即有AB=BA=E，所以B是A的逆矩阵.,例8.3.2设,判断A是否可逆，如果A可逆，求A1.,解设,，且,从而,定义8.3.2若n阶方阵A的行列式|A|0,则称A是非奇异矩阵（或非退化矩阵），否则称A为奇异矩阵（或退化矩阵）.如果A可逆，则存在B使得AB=BA=E，则|A|B|=1，所以|A|0，即A是非奇异矩阵.那么，如果A是非奇异矩阵，即|A|0，A是否可逆呢？为了研究这个问题，我们先引进伴随矩阵的概念.,定义8.3.3设n阶方阵A=(aij)mn，行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵,（8.3.1）,称为矩阵A的伴随矩阵，记做A*.,证由性质7.2.6及推论7.2.4可得,即,即,（8.3.2）,（8.3.3）,定理8.3.1n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A0,即A是非奇异矩阵,且当A可逆时,(8.3.4),推论8.3.1设A、B都是n阶方阵,若AB=E(或BA=E),则A、B都是可逆矩阵,且A1=B,B1=A.,例8.3.5如果,其中ai0(i=1,2,n).验证,证因为,所以,例8.3.6判断矩阵,是否可逆,若可逆,求其逆矩阵A1.,解求得,所以A可逆.又因为,得,所以,由例8.3.6可以看出，对于三阶以上的矩阵，用伴随矩阵法求其逆矩阵的计算量已经很大了，所以有必要研究求逆矩阵的其他方法（我们将在8.4节进行介绍）.,8.4矩阵的初等变换定义8.4.1设矩阵A=(aij)mn,下面三种对矩阵A的变换:(1)交换A的i,j行(列),记做();(2)用一个非零常数k乘以A的第i行(列),记做kri(kci);(3)将A的第j行(列)的k倍加到第i行(列),k为任意常数,记做ri+krj(ci+kcj),称为矩阵的初等行(列)变换.一般地,矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换.,定义8.4.2如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价,记为AB(或AB).矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1)反身性:AA;(2)对称性:若AB,则BA;(3)传递性:若AB,BC,则AC.,例8.4.1已知矩阵,对其进行初等变换.,解,定义8.4.3一般地,称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:(1)矩阵的零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方;(2)各非零行的首非零元素(从左至右的第一个不为零的元素)均在上一非零行的首元素的右侧.,对例8.4.1中的矩阵,再做初等行变换:,称这种特殊形状的阶梯形矩阵C为行最简形矩阵.,定义8.4.4一般地,称满足下列条件的矩阵为行最简形矩阵:(1)各非零行的首非零元都是1;(2)每个首非零元所在列的其余元素都是零.如果对上述矩阵,再施以初等列变换,则可以将矩阵C简化成下面的矩阵:,矩阵D的左上角是一个单位矩阵,其他元素为零,称为标准形.,定义8.4.5对单位矩阵E实施一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵.对应于三种初等变换,可以得到以下三种初等矩阵.(1)交换n阶单位矩阵E的第i,j行,得到的初等矩阵记做E(i,j),即,(8.4.1),(2)用数k(k0)乘以E的第i行,得到的初等矩阵记做E(i(k),即,(8.4.2),显然,把单位矩阵E的第i列乘以数k(k0),得到的初等矩阵仍是E(i(k).,(3)把E的第j行的k倍加到第i行,得到的初等矩阵记做E(i,j(k),即,(8.4.3),显然,把E的第i列的k倍加到第j列,得到的初等矩阵仍是E(i,j(k).,定理8.4.1设A=(aij)mn,则(1)对A实施一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;(2)对A实施一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.证明略.,例8.4.2设有矩阵,而,即在E(1,2)左边乘以A,相当于交换矩阵A的第一行与第二行.又,即在E(3,1(2)右边乘以A,相当于将矩阵A的第三列乘以2加于第一列.,例8.4.3计算下列矩阵与初等矩阵的乘积:,定理8.4.2设A为可逆矩阵,则存在有限个初等矩阵P1,P2,Pl,使A=P1P2Pl.证因AE,故E经有限次初等变换可变成A,也就存在有限个初等矩阵P1,P2,Pl,使得P1P2PrEPr+1Pl=A即A=P1P2Pl,推论8.4.1n阶方阵A可逆的充分必要条件是A等价于n阶单位矩阵E.推论8.4.2设A、B都是mn矩阵,A等价于B的充分必要条件是:存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.,8.4.3用初等变换求逆矩阵如果A是可逆的,则A1也是可逆的.由定理8.4.2可知,当|A|0时,由A=P1P2Pl,有,(8.4.4),(8.4.5),及,例8.4.4设,求A1.,解,例8.4.5已知矩阵,求(EA)1.,解因为,则,所以,例8.4.6求矩阵X,使AX=B,其中,解若A可逆,则X=A1B.于是,8.5矩阵的秩8.5.1矩阵秩的定义定义8.5.1设A是mn矩阵,在A中任取k行k列(1kminm,n),位于k行k列交叉位置上的k2个元素按原有的次序组成的k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式.,定义8.5.2A=(aij)mn,如果矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,而所有的r+1阶子式(如果存在的话)都等于零,则D称为矩阵A的最高阶非零子式.数r称为矩阵A的秩,记做R(A)=r.并规定零矩阵的秩为零.,显然,矩阵的秩具有下列性质：(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为零,则R(A)s;(2)若A中所有t阶子式全为零,则R(A)t;(3)若A为mn矩阵,则0R(A)minm,n;(4)R(A)=R(AT).当R(A)=minm,n时,称矩阵A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.,8.5.2用初等变换求矩阵的秩定理8.5.1若AB,则R(A)=R(B).定理8.5.1表明:初等变换不改变矩阵的秩,而且任何一个mn矩阵A都等价于一个行阶梯形矩阵,且行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数.因此,求矩阵的秩只需要将其化成行阶梯形矩阵,进一步统计非零行数即可.,例8.5.2求矩阵,的秩.,解,所以R(A)=R(B)=2.,例8.5.3求矩阵,的秩,并求A的一个最高阶非零子式.,解对A做初等行变换,化A为行阶梯形矩阵,即,所以R(A)=3.,再求A的一个最高阶非零子式