二重积分的定义

定积分中会求平行截面面积为已知的,一般立体的体积如何求,先从曲顶柱体的体积开始.,而曲顶柱体的体积的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的,?,回想,立体的体积、,旋转体的体积.,曲顶柱体的体积.,二重积分的一个模型.,可作为,第九章重积分,第一节二重积分的概念与性质,1,曲顶柱体体积=,特点,1.曲顶柱体的体积,困难,曲顶柱体,以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以,顶是曲面,且在D上连续).,?,曲顶,顶是曲的,2,柱体体积=,特点,分析,?,曲边梯形面积是如何求,以直代曲、,如何创造条件使,?,解决问题的思路、步骤与,回忆,思想是,分割、,平顶,平,曲,这对矛盾互相转化,与,以不变代变.,曲边梯形面积,的求法类似,取近似、,求和、,取极限.,底面积高,3,步骤如下,用若干个小平顶柱体体积之和,先任意分割曲顶柱体的底，,曲顶柱体的体积,并任取小区域，,近似表示,曲顶柱体的体积，,4,(1)分割,相应地此曲顶,柱体分为n个小曲顶柱体.,(2)取近似,第i个小曲顶柱体的体积的近似式,(用表示第i个子域的面积).,将域D任意分为n个子域,在每个子域内任取一点,5,(3)求和,即得曲顶柱体体积的近似值:,(4)取极限,)趋于零,求n个小平顶柱体体积之和,令n个子域的直径中的最大值(记作,上述和式的极限即为曲顶柱体体积,6,2.非均匀平面薄片的质量,(1)将薄片分割成n个小块，,看作均匀薄片.,(2),(3),(4),设有一平面薄片,求平面薄片的质量M.,占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为,上连续,7,二重积分的定义,将区域D任意分成n个小区域,任取一点,若存在一个常数I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束,8,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,机动目录上页下页返回结束,9,二重积分可写为,定积分中,1.重积分与定积分的区别:,重积分中,可正可负.,则面积元素为,D,10,二重积分的存在定理,设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,存在.,连续函数一定可积,注,今后的讨论中,积分区域内总是连续的.,或是分片连续函数时,则,都假定被积函数在相应的,11,(2),二重积分的几何意义,(3),(1),在D上的二重积分就等于,二重积分是,二重积分是,而在其它的部分区域上是负的.,这些部分区域上的,柱体体积的代数和.,那末,柱体体积的负值;,柱体体积;,在D上的若干部分区域上是正的,12,例设D为圆域,?,二重积分,=,解,上述积分等于,由二重积分的几何意义可知，,是上半球面,上半球体的体积：,R,D,13,性质1,为常数,则,(二重积分与定积分有类似的性质),二重积分的性质,根据二重积分的几何意义,确定积分值,练习,14,以1为高的,性质2,将区域D分为两个子域,性质3,若为D的面积,D1,D2,既可看成是以D为底,柱体体积.,对积分区域的可加性质.,D,又可看成是D的面积.,15,特殊地,性质4(比较性质),设,则,例,的值=().,(A)为正,(B)为负,(C)等于0,(D)不能确定,为负,B,16,几何意义,以m为高和以M为高的两个,证,再用性质1和性质3,性质5(估值性质),则,为D的面积,则曲顶柱体,的体积介于以D为底,平顶柱体体积之间.,证毕.,17,性质6(二重积分中值定理),体积等于,显然,几何意义,证,D上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点,使得,则曲顶柱体,以D为底,为高的平顶柱体体积.,将性质5中不等式各除以,有,18,的最大值M与最小值m之间的.,由闭区域上连续函数的介值定理.,两端各乘以,点的值,证毕.,即是说,确定的数值,是介于函数,在D上至少存在一点,使得函数在该,与这个确定的数值相等,即,19,以任意方式将区域D分割成,二重积分的几何背景,曲顶柱体的母线平行于Oz轴，,下底是xOy平面上的区域D,上顶是曲面S:z=f(x,y).,其中f(x,y)0.,求这个曲顶柱体的体积。,解,表示它们的面积。,任取一个小区域Di，,将以Di为底，曲面S为顶的曲顶柱体,于是整个曲顶柱体就被分成若干小的曲顶柱体。,并且在Di内任取一点Pi，,若干小区域,地看作是以Di为底，高度等于f(Pi)柱体。,20,因此这个小柱体的体积近似地等于,各个小柱体的体积之和,表示Di的直径,(i=1,2,n),如果这个和式存在极限:,那么这个极限值就是曲顶柱体的体积。,这个方法的意义不仅在于求曲顶柱体的体积。,而是给出了求连续变量之和的一种普遍的方法。,就是整个柱体体积的近似值：,21,二重积分背景之二：质量非均匀分布的薄板的质量。,设xOy平面上有一块薄板,用D表示薄板所占据的平面区域.,假设薄板上任一点(x,y)处,方法：,以任意方式将区域D分割成若干小区域,它们的面积表示为,任取一个小区域Di，,并且在Di内任取一点Pi，,Di的平均质量密度近似的等于m(Pi).,于是可以将Di的