高三数学2.1映射与函数课件

第二章函数,2.1映射与函数,基础知识自主学习,要点梳理1.映射（1）定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的，在集合B中都有的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做的映射，记作f：AB.,任何一个元素,唯一,集合A到集合B,（2）象和原象：给定一个集合A到集合B的映射，且aA，bB，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的，元素a叫做元素b的.2.函数（1）函数的定义设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有，称f：AB为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),xA.x的取值范围A叫做函数的，叫做函数的值域.,象,原象,任意一个数x,唯一确定的数f(x)和它对应,定义域,函数值的集合,f(x)|xA,（2）函数的三要素、和.（3）函数的表示法表示函数的常用方法：、.3.反函数（1）定义函数y=f(x)（xA）中，设它的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x=(y).如果对于y在C中的，通过x=(y)，x在A中都有和它对应，那么,x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这,定义域,值域,对应法则,解析法,列表法,图象法,任何一个值,唯一的值,样的函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的，记作，习惯上用x表示自变量，用y表示函数，把它改写成.（2）互为反函数的函数图象的关系函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线对称.,反,函数,x=f-1(y),y=f-1(x),y=x,基础自测1.设集合M=x|0x2，N=y|0y2，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A.B.C.D.解析由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除，选C.,D,2.给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f（x）=是函数；函数y=2x（xN）的图象是一条直线；f（x）=与g(x)=x是同一个函数.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析由函数的定义知正确.满足f（x）=的x不存在，不正确.又y=2x（xN)的图象是一条直线上的一群孤立的点，不正确.又f（x）与g（x）的定义域不同，也不正确.,A,3.下列各组函数是同一函数的是（）,解析排除A；排除B；当即x1时,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C.故选D.答案D,4.函数f(x)=3x+5,x0,1的反函数f-1(x)=.解析y=3x+5,又0x1,5y8,f(x)的反函数为,y,5.已知f（）=x2+5x,则f(x)=.解析,题型一求函数的解析式【例1】（1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为，求f(x)的解析式；（2）已知（3）已知f(x)满足2f(x)+=3x,求f(x).问题（1）由题设f（x）为二次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x，可用解方程组法求解.,题型分类深度剖析,思维启迪,解（1）f（x）为二次函数，设f(x)=ax2+bx+c(a0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.由已知得c=1.由、式解得b=2,a=,c=1,f（x）=x2+2x+1.,探究提高求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到fg(x)的解析式；(2)拼凑法，对fg(x)的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入fg(x)，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.,知能迁移1（1）已知f(+1)=lgx，求f（x）；(2)已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f(x-1)=2x+17，求f（x）.,解(1)（2）设f（x）=ax+b（a0），则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，a=2，b=7，故f（x）=2x+7.,题型二分段函数【例2】设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为（）A.1B.2C.3D.4求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系数法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程.,思维启迪,解析由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2,x0时，显然x=2是方程f(x)=x的解；x0时，方程f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方程f（x）=x解的个数为3.答案C分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，关键要抓住在不同的分段内研究问题.如本例，需分x0时，f（x）=x的解的个数和x0时，f（x）=x的解的个数.,探究提高,知能迁移2（2009山东理，10）定义在R上的函数f(x)满足则f(2009)的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析当x0时，f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1).f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)f(x+6)=f(x).即当x0时，函数f(x)的周期是6.又f(2009)=f(3346+5)=f(5),由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.,C,题型三函数的实际应用【例3】（12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；,（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？准确理解题意，构建函数模型.解题示范解（1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元)，而出厂价为1.2(1+0.75x)(万元)，销售量为1000(1+0.6x)(辆).故利润y=1.2(1+0.75x)-(1+x)1000(1+0.6x),4分整理得y=-60 x2+20 x+200(00,即3x2-x0.10分解得0x,适合0x1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是00,且a1)的反函数是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1，所以a=2,故f(x)=log2x.,D,4.（2008山东）设函数的值为（）解析,A,5.（2008陕西）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,则f(-3)等于（）A.2B.3C.6D.9解析f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+201=f(0)+f(1),f(0)=0.f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2(-1)1=f(-1)+f(1)-2,f(-1)=0.f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2(-2)1=f(-2)+f(1)-4,f(-2)=2.f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2(-3)1=f(-3)+f(1)-6,f(-3)=6.,C,6.函数f(x)=x2-2ax-3在区间1,2上存在反函数的充要条件是（）A.a(-,1B.a2,+)C.a1,2D.a(-,12,+)解析由二次函数的对称轴为x=a可得答案.,D,二、填空题7.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是元.解析车费为8+（7.4-3）1.5=14.615（元）.,15,8.（2009北京文，12）已知函数若f(x)=2,则x=.解析当x1时，3x=2,x=log32;当x1时，-x=2,x=-2(舍去).,log32,9.已知符号函数sgnx=解析,(x+1)sgnx2的解集是,.,x|x1,则不等式,三、解答题10.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x.（1）求g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)f(x)-|x-1|.解（1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P（x，y），,点Q（x0,y0）在函数y=f(x)的图象上，-y=x2-2x，即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x.（2）由g(x)f(x)-|x-1|可得:2x2-|x-1|0.当x1时，2x2-x+10,此时不等式无解.当x1时，2x2+x-10,因此，原不等式的解集为,11.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？,解（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月所以,当x=4050时,f(x)最大,最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大