新教材高中数学第三章函数3.1.2.2函数的最大值、最小值课件新人教B必修1

第2课时函数的最大值、最小值,1.函数的最值,【思考】最值点是点吗？提示：不是，是实数值，是函数取得最值时的自变量x的值.,2.直线的斜率(1)直线斜率的定义平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1x2时，称为直线的斜率，记作当x1=x2时，称直线的斜率不存在.,(2)直线的斜率与函数单调性的关系函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0.函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.,3.函数的平均变化率(1)平均变化率的定义：若I是函数y=f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2I，且x1x2，记y1=f(x1)，y2=f(x2)，,称为函数在区间x1，x2(x1x2时)上的平均变化率.,(2)函数的平均变化率与函数的单调性,【思考】(1)为什么函数图像上任何两点确定的直线的斜率一定存在？,提示：函数是定义在数集A上，因为集合元素的互异性，定义域内的任何两个自变量都不相等，即不会出现x1=x2的情况，因此函数图像上任何两点确定的直线的斜率一定存在.,(2)函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变换趋势是什么？提示：函数图像从左向右逐渐上升.,【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)任何函数都有最大值、最小值.()(2)一个函数的最大值是唯一的，最值点也是唯一的.(),(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率.(),提示：(1).如函数y=既没有最大值，也没有最小值.(2).函数的最大值是唯一的，但最值点不唯一，可以有多个最值点.(3).过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x1x2.,2.过函数图像上两点A(-1，3)，B(2，3)的斜率=_.【解析】答案：0,3.函数f(x)=-2x+1，x1，2的最大值为_，最大值点为_.【解析】函数f(x)=-2x+1为减函数，故最大值为f(1)=-1，最大值点为1.答案：-11,类型一利用函数的图像求最值【典例】1.已知函数f(x)在区间-2，5上的图像如图所示，则此函数的最小值点，最大值分别为(),A.-3，5B.-3，f(5)C.-2，5D.-2，f(5),2.已知函数f(x)=世纪金榜导学号(1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出f(x)的图像.(2)由图像指出函数f(x)的最值点，求出最值.,【思维引】1.根据最值的几何意义确定最值.2.(1)根据一次、二次函数图像的关键点作图.(2)利用最值的几何意义确定最大、小值、最值点.,【解析】1.选D.由函数f(x)的图像可知最小值点为-2，最大值为f(5).,2.(1)由题意，当x-1，2时，f(x)=-x2+3，为二次函数的一部分；当x(2，5时，f(x)=x-3，为一次函数的一部分；所以，函数f(x)的图像如图所示：,(2)由图像可知，最大值点为0，最大值为3；最小值点为2，最小值为-1.,【内化悟】最值点与最值的意义相同吗？提示：不同，最值点是取最值时自变量的值，而最值是函数值.,【类题通】图像法求最值、最值点的步骤,【习练破】已知函数f(x)=则f(x)的最小值、最大值点分别为_，_.,【解析】作出函数f(x)的图像(如图).由图像可知，当x=1时，f(x)取最大值，最小值为0，,故f(x)的最小值为0，最大值点为1.答案：01,【加练固】已知函数f(x)=求函数f(x)的最大值、最小值.,【解析】作出f(x)的图像如图：由图像可知，,当x=2时，f(x)取最大值为2；当x=时，f(x)取最小值为所以f(x)的最大值为2，最小值为,类型二函数的平均变化率与单调性、最值【典例】已知函数f(x)=世纪金榜导学号(1)判断函数f(x)在区间0，+)上的单调性，并用平均变化率证明其结论.(2)求函数f(x)在区间2，9上的最大值与最小值.,【思维引】(1)根据当x变大时，y值的变化判断单调性，并用平均变化率证明.(2)根据单调性确定在哪一点处取最大、最小值，再求最值.,【解析】(1)f(x)在区间0，+)上是增函数.证明如下：任取x1，x20，+)，且x1x2，,f(x2)-f(x1)=所以,因为x1，x20，+)，所以(x1+1)(x2+1)0，所以0，所以函数f(x)在区间0，+)上是增函数.,(2)由(1)知函数f(x)在区间2，9上是增函数，故函数f(x)在区间2，9上的最大值为f(9)=最小值为f(2)=,【内化悟】利用单调性求最值的关键是什么？提示：准确确定函数的单调性.,【类题通】利用函数的平均变化率证明单调性的步骤(1)任取x1，x2D，且x1x2.(2)计算f(x2)-f(x1)，(3)根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性.,【习练破】已知函数f(x)=x3，7.(1)判断函数f(x)的单调性，并用平均变化率加以证明.(2)求函数f(x)的最大值和最小值.,【解析】(1)函数f(x)在区间3，7内单调递减，证明如下：在3，7上任意取两个数x1和x2，且x1x2，因为f(x1)=f(x2)=所以f(x2)-f(x1)=,所以因为x1，x23，7，所以x1-20，x2-20，所以0所以函数f(x)在(0，+)上为增函数.,(2)由(1)可知函数f(x)在2，5上为增函数，所以f(x)max=f(5)=f(x)min=f(2)=,类型三常见的函数最值问题角度1不含参数的最值问题【典例】函数f(x)=-2x2+x+1在区间-1，1上最小值点_，最大值为_.世纪金榜导学号,【思维引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题.,【解析】函数f(x)=-2x2+x+1的对称轴为x=函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为-1，最大值为答案：-1,角度2含参数的最值问题【典例】设a为实数，函数f(x)=x2-|x-a|+1，xR.世纪金榜导学号(1)当a=0时，求f(x)在区间0，2上的最大值和最小值.(2)当0a时，求函数f(x)的最小值.,【思维引】(1)代入a值，化简后求最值.(2)讨论对称轴与区间的位置关系求最值.,【解析】(1)当a=0，x0，2时函数f(x)=x2-x+1，因为f(x)的图像抛物线开口向上，对称轴为x=所以，当x=时f(x)值最小，最小值为当x=2时，f(x)值最大，最大值为3.,(2)f(x)=当xa时，f(x)=x2-x+a+1=因为0a，则f(x)在a，+)上的最小值为,当xa时，函数f(x)=x2+x-a+1=因为0a所以1时，f(x)max=f(0)=1，所以f(x)max=,【类题通】一元二次函数的最值(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值.,(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x=m，区间a，b为例，最小值：f(x)min=,最大值：f(x)max=当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.,【习练破】1.函数f(x)=x2-3x-4在区间0，2上的最小值点为_，最大值为_.,【解析】函数的对称轴为x=开口向上，所以最小值点为最大值为f(0)=-4.答案：-4,2.已知函数f(x)=x2-x+1，求f(x)在闭区间t，t+1(tR)上的最小值.,【解析】函数f(x)=x2-x+1=其对称轴为x=(1)当t时，f(x)在t，t+1上是增函数，所以f(x)min=f(t)=t2-t+1；,(2)当t+1即t-时，f(x)在t，t+1上是减函数，所以f(x)min=f(t+1)=t2+t+1；,(