二面角、判定、性质

18:23,二面角,二面角,18:23,一、二面角及二面角的平面角,平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。,1、半平面,二面角,18:23,从空间一直线出发的两个半,2、二面角的定义,3、二面角的平面角,平面所组成的图形叫做二面角记作：,二面角,18:23,一个平面垂直于二面角,的棱，并与两半平,面分别相交于射线PA、PB,垂足为P，则APB是二面,注：二面角的平面角取值范围是:00,1800,思考:,APB与APB是否相等?,相等(利用等角定理),思考:,18:23,注：,二面角的平面角的特点：,10,(1),(2),18:23,二.作二面角的平面角的常用方法,、点P在棱上,、点P在一个半平面上,、点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,二面角,18:23,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:ACP,基础练习,60,二面角,18:23,18:23,例2.如图，已知P是二面角-AB-棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且MPN=60BPM=BPN=45，求此二面角的度数。,C,D,解：,在PB上取不同于P的一点O，,在内过O作OCAB交PM于C，,在内作ODAB交PN于D，,连CD，可得,COD是二面角-AB-的平面角,设PO=a，BPM=BPN=45,CO=a，DO=a，PCa，PDa,又MPN=60,CD=PCa,COD=90,因此，二面角的度数为90,a,二面角,18:23,取AB的中点为E，连PE，OE,O为AC中点，ABC=90,OEBC且OEBC,在RtPOE中，OE，PO,所求的二面角P-AB-C的正切值为,例3如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。,PEO为二面角P-AB-C的平面角,在RtPBE中，BE，PB=1，PE,OEAB,PO平面ABCPEAB,解：,二面角,18:23,二面角的计算：,1、找到或作出二面角的平面角,2、证明1中的角就是所求的角,3、计算出此角的大小,一“作”二“证”三“计算”,16,18:23,D,练习2：已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1,求二面角C1-BD-B1的余弦值的大小。,二面角,O,18:23,二、二面角的平面角,一、二面角的定义,从空间一直线出发的两个半,平面所组成的图形叫做二面角,1、定义,2、求二面角的平面角方法,点P在棱上,点P在一个半平面上,点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,二面角,18:23,18:23,二面角,18:23,18:23,3.如图:RtABC中,C=Rt,PA平面ABC,图中有哪些平面互相垂直?,A,C,B,P,(2)请找(作)出不互相垂直的平面的二面角的平面角.,D,E,18:23,A,B,C,E,D,F,G,如图所示,ABC为正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD,M为EA的中点,请作出平面EAD和平面BAC所成的二面角的平面角,18:23,思考题,如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD,中，ABC=900，SA面ABCD，AD=,SA=AB=BC=1，求：,面SCD与面SBA所成,二面角的正切值。,E,（2001年高考题）,18:23,练习1,如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，,PA平面ABCD，2PA=AB，求平面PAB与,平面PCD所成的二面角的正切值的大小。,l,18:23,解,P是面PAB与PCD的一个公共点，,由公理2知这两个平面有且仅有过点P的一条,公共直线，记面PAB面PCD=l。,CDBA，CD平面PAB，又平面PCD,经过直线CD且与平面PAB交于l，,由直线与平面平行的性质,定理知lCD，易证得,APD为平面PAB与平,面PCD所成二面角，且,tanAPD=2，即为所求。,18:23,思考题,如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD,中，ABC=900，SA面ABCD，AD=,SA=AB=BC=1，求：,面SCD与面SBA所成,二面角的正切值。,E,（2001年高考题）,18:23,18:23,18:23,18:23,18:23,例2如图P为二面角内一点，PA,PB,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。,过PA、PB的平面PAB与棱交于O点,PAPA,PBPB,平面PAB,AOB为二面角的平面角,又PA=5，PB=8，AB=7,由余弦定理得,P=60AOB=120,这二面角的度数为120,解：,O,二面角,18:23,18:23