2011年考研数学考前必备重点题型函数与极限

高数上册复习要点一 . 求极限求极限应该掌握的方法有： 洛必达法则、等价无穷小代换、无穷小乘以有界量应为无穷小量（注意，若用此性质求极限时应该怎么写）、无穷大的倒数为无穷小、利用导数的定义求极限、利用夹逼准则求数列极限、利用定积分的定义求极限，利用泰勒展开式求极限了解一下，熟记常用的等价无穷小代换、常用函数的麦克劳林展开式。注意：a. 若用洛必达法则求数列极限时，应注意先把数列的极限转化为函数的极限，然后在利用数列极限和函数极限的关系做，例如：求时，首先应转化为，求此函数的极限，可得=。b.特别注意型的极限，求此极限有两种方法：（1）利用重要极限，如：=e；（2）把所求的极限转化为：；c. 注意（此极限不存在），此极限当时，极限为，当，极限为0；d.利用左右极限的大小关系判断极限是否存在,若左极限=右极限=M，则极限值存在且为M；若左极限右极限，或其中有一个极限为，则此极限不存在。. e.注意,此极限值和、及有关。二. 求导数：1.抽象复合函数求导法则是：由外到内，逐步求导例如：设具有二阶导数，求。2.隐函数方程所确定函数的求导（求导方法：方程两边直接对求导，把看成的函数）。3. 由参数方程所确定的函数求导，注意以下两个问题：a. 在求二阶导数时，因一阶导数是参数的函数，而我们是求函数对的二阶导数，因此求二阶导数时，应先求一阶导数对的导数再乘以对的一阶导数，例如：设，求及，则，b. 有时是求及，而不是求及，思路和求及一样，唯一不同的是的自变量是而非，考试时应该看清题目，4.求分段函数在分段点处的导数时必须利用导数的定义，会灵活运用导数的三个等价定义，5.掌握可导、可微与连续间的关系，会讨论分段函数在分断点的连续性和可导性。分段函数在分断点连续的充要条件为，注意两个等式缺一不可。若函数是以极限形式给出的，应先求极限，再讨论。6.掌握变上下限积分函数的求导及求极限问题，熟记变上下限积分函数的求导公式，求导时注意：a.求导时是把所有的与积分变量有关的进行替换，和积分变量无关的不能动，例如：b. ，前面要加一负号。c. 如下类型的变限积分求导时，首先应做变量代换把换到积分的上下限中去，切不可直接求导，例如：设是连续函数，求，求导数时，应先把 变形，然后再求导。7.会求曲线在某点的切线方程。8.熟记常用函数的高阶导数公式，如，等，并会用常用函数的高阶导数公式求函数的高阶导数。9.对于幂指函数、连乘连除函数，求导用对数求导法，会求分段函数的导数。10.会求函数在某点的微分，注意不能少。11.注意以下记号的含义：a.表示在出的函数值，即b.表示求由和构成的复合函数关于的一阶导数，即c.的含义和b一样，表示求由和构成的复合函数关于的一阶导数。三.求积分：1.掌握不定积分原函数的定义及不定积分常用的公式见练习册70页。2.掌握不定积分和定积分的凑微分法、第一、第二换元积分法、分部积分法，对于定积分的换元积分法，一定要注意换元的同时，必须换限，且是上对上，下对下。常见的题型特点仔细分析练习册74-84页。3.熟记定积分常用的公式，当遇到积分区间是对称区间时，一定要先考虑“偶倍奇零”的性质，当定积分的被积函数含有绝对值时，注意去掉绝对值时，一定要考虑被积函数的正负。4.对于广义积分，注意可以用定积分的方法，如分部积分法、广义牛顿-莱布尼茨公式等来计算，另外，对于广义积分，还应掌握如下类型题目的计算： ，求。5.对于变限积分函数，应该掌握如下类型题目的计算 设，写出在上的表达式。6.对于定积分的其它问题，应掌握上课讲的题型。四.证明不等式：证明不等式常用的方法有：a.利用函数的单调性证明不等式，注意有时需要把所证明的不等式先变形，然后再设辅助函数。b.利用函数的最值构造函数证明不等式c.利用拉格郎日中值定理证明不等式五.证明方程根的存在性问题：a.讨论方程根的唯一性问题，常用的方法是闭区间上连续函数的零点定理及罗尔中值定理（用此定理时一般是反正法）。b.方程在某区间内至少有一个（或个）实根的证明，常用的方法是罗尔定理。c.方程在给定区间上几个实根的证明，用上课讲过的方法。六. 有关中值问题的证明；七.其它应该掌握的问题1. 函数的极值、最值的求法，极值的定义、必要条件，函数在某点取极值的第一、第二充分条件，拐点的定义，曲线凹凸性的判定。2.无穷小阶的比较定义，尤其是等价无穷小、高阶无穷小、同阶无穷小的定义。3.定积分的几何应用：a.求平面图形的面积，注意，若平面图形是曲边梯形，则用矩形的面积代替曲边梯形的面积找面积元素；若平面图形是曲边扇形，则用圆扇形的面积代替曲边扇形的面积找面积元素；b.求平面图形绕轴或轴旋转所得旋转体的体积，并求体积的最小、最大值，一般和最值问题结合考。4