高三数学第六篇第八节抛物线课件理北师大

第八节抛物线,1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线，叫做抛物线的焦点，叫做抛物线的准线,距离相等,点F,直线l,2抛物线的标准方程和几何性质,x轴,x轴,O(0,0),e1,x0,O(0,0),e1,y0,y轴,y轴,【答案】D,2若aR，则“a3”是“方程y2(a29)x表示开口向右的抛物线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件,【解析】由抛物线y2(a29)x开口向右可得a290，即得a3或a3，“a3”是“方程y2(a29)x表示开口向右的抛物线”的充分不必要条件，故应选A.,【答案】A,【答案】B,4在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_,5设抛物线y28x，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过AB中点M作x轴平行线交y轴于N，若|MN|2，则|AB|_.,【解析】由抛物线y28x，得p4，设其准线为l，作AA1l于A1，BB1l于B1，则|AA1|BB1|2(|MN|2)8.又|AA1|AF|，|BB1|BF|，|AB|AF|BF|AA1|BB1|8.【答案】8,已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)(1)求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标；,【思路点拨】(1)由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|PF|的问题可转化为|PA|d的问题(2)把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可解决,2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x=-的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，当PAl时，|PA|+d最小，最小值是即|PA|+|PF|的最小值为此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，点P坐标为(2,2)(2)由于直线x=-即为抛物线的准线，故|PB|+d=|PB|+|PF|BF|，当且仅当B、P、F共线时取等号而|PB|+d的最小值为,【方法点评】1.抛物线的离心率e=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化2焦半径|PF|=|x|+或|PF|=|y|+，它们在解题中有重要作用，注意灵活运用,1求顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P(m，3)到焦点的距离为5的抛物线方程【解析】因焦点在y轴上，且抛物线经过点P(m，3)，所以抛物线的焦点在y轴的负半轴上，可设抛物线的方程为：x22py(p0)，,故所求抛物线的方程为x28y.,已知如图所示，抛物线y22px(p0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.,(1)求抛物线方程；(2)过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标【自主探究】(1)抛物线y2=2px的准线为抛物线方程为y2=4x.(2)点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)，又F(1,0)，kFA=MNFA，kMN=-,【方法点评】1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值2对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用方法如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px上两点，则直线AB的斜率kAB与y1+y2可得如下等式kAB=【特别提醒】抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程,2已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x1所得的弦长为，求抛物线方程【解析】设直线和抛物线交于点A(x1，y1)、B(x2，y2),(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y22px(p0)，仿(1)不难求出p2，此时抛物线方程为y24x.综上可得，所求的抛物线方程为y24x或y212x.,在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x22py(p0)相交于A、B两点,(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由【思路点拨】(1)设出直线方程，并与抛物线的方程联立，得到关于x的一元二次方程，求出|x1x2|，即得ABN的面积(2)根据条件，设出直线方程，并求出直线被圆截得的弦长的表达式可有两种思路：根据圆中半径、弦心距、弦长的一半之间的勾股关系求出设出圆的方程，联立直线的方程，由弦长公式求得,【自主探究】方法一：(1)依题意，点N的坐标为N(0，p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykxp，与x22py联立消去y得x22pkx2p20.由根与系数的关系得x1x22pk，x1x22p2.,(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，AC的中点为O，l与以AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则OHPQ，O点的坐标为,(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，则以AC为直径的圆的方程为(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，将直线方程ya代入，得x2x1x(ap)(ay1)0，则x124(ap)(ay1),【方法点评】1.直线与抛物线的位置关系：设抛物线方程为y22px(p0)，直线AxByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0，(1)若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点；当0时，直线与抛物线只有一个公共点；当0时，直线与抛物线没有公共点(2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行,2焦点弦问题：已知AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则,(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,3过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，若弦AB恰被Q点平分，求弦AB所在直线的方程【解析】方法一：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y128x1，y228x2，两式相减，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又x1x28，y1y22，,所求直线AB的方程为y14(x4)，即4xy150.方法二：设弦AB所在的直线方程为yk(x4)1(k0)，,ky28y32k80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得,弦AB所在的直线方程为4xy150.,1(2009年山东高考)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(),Ay2=4xBy28xCy24xDy28x,【答案】B2(2009年湖南高考)抛物线y28x的焦点坐标是()A(2,0)B(2,0)C(4,0)D(4,0),【解析】由抛物线方程y28x得2p8，2，从而抛物线的焦点为(2,0)故选B.【答案】B,3(2009年全国高考)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k(),【解析】过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由抛物线定义可知，AA1AF，BB1BF，又2|BF|AF|，|AA1|2|BB1|，即B为AC的中点,【答案】D,4(2009年宁夏、海南高考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_【解析】设抛物线方程为y2ax，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，y12ax1，y22ax2，得y12y22a(x1x2)，,【答案】y24x5(2009年四川高考)抛物线y24x的焦点到准线的距离是_【解析】y24x焦点为(1,0)，准线为x1.焦点到准线的距离为2.【答案】2,1抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决2抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应法则，将抛物线y22px(p0)关于y轴、直线xy0与xy0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线y22px(p0)绕原点旋转90或180也可得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系,3焦点弦已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下性